Przeczytaj
Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać w postaci , gdzie i są liczbami całkowitymi oraz jest różne od zera.
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem pochodzącym od pierwszej litery angielskiego słowa quotient oznaczającego iloraz.
Każda liczba całkowitaliczba całkowita jest liczbą wymierną, bo można ją zapisać jako iloraz jej samej przez , ale oczywiście istnieje nieskończenie wiele możliwości. Wystarczy wykonać rozszerzenie ułamka, np. ,
Każda liczba o skończonym rozwinięciu dziesiętnym jest liczbą wymiernąliczbą wymierną.
Ponadto prawdziwe jest twierdzenie:
Każda liczba o okresowym rozwinięciu dziesiętnym jest liczbą wymierną.
Dowód twierdzenia wymaga użycia pojęcia granicy, więc go pominiemy.
Aby zamienić ułamek zwykły na formę dziesiętną, wystarczy rozszerzyć ułamek do mianownika, który jest naturalną potęgą liczby .
Można też wykonać dzielenie licznika przez mianownik.
Przedstawimy podane liczby w postaci ułamków zwykłych:
a)
b)
Oznaczmy rozważaną liczbę przez , czyli
Wówczas
Jeśli od lewej strony drugiej równości odejmiemy lewą stronę pierwszej równości oraz od prawej strony drugiej równości odejmiemy prawą stronę pierwszej równości, to otrzymamy:
Zatem
.
Można też udowodnić twierdzenie:
Liczba jest wymierna dokładnie wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe.
Dowód pomijamy.
Rozważmy liczbę .
Kolejne cyfry jej rozwinięcia powstają przez “doklejanie” kolejnych liczb naturalnych. Oczywiście rozwinięcie to nie jest skończone (bo liczb naturalnych jest nieskończenie wiele) ani okresowe. Zatem liczba ta jest niewymierna.
Zauważmy, że suma, różnica, iloczyn i iloraz (poza dzieleniem przez zero) liczb wymiernych są liczbami wymiernymi. Spostrzeżenie wydaje się oczywiste, jeśli pomyślimy o dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu ułamków zwykłych – wynikiem w każdym z tych przypadków jest również ułamek zwykły. Rzeczywiście dla liczb całkowitych , , , , gdzie i nie są równe zeru, mamy:
, dla
Ponieważ iloczyn, suma i różnica liczb całkowitych są liczbami całkowitymi, więc otrzymane liczby są ilorazami liczb całkowitych, zatem liczbami wymiernymi.
Przypomnijmy jeszcze najważniejsze własności działań na liczbach wymiernych: dodawanie i mnożenie liczb wymiernych jest łączne i przemienne, ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Zero jest elementem neutralnym dodawania, zaś jedynka – elementem neutralnym mnożenia.
Każda liczba wymiernaliczba wymierna ma liczbę przeciwnąliczbę przeciwną (suma takich liczb jest równa zeru), a jeśli nie jest zerem, to również liczbę odwrotnąliczbę odwrotną (iloczyn takich liczb jest równy ).
Podamy liczby odwrotne i przeciwne do podanych.
Liczba wymierna | Liczba przeciwnaLiczba przeciwna | Liczba odwrotnaLiczba odwrotna |
---|---|---|
Obliczymy sumę
Zauważmy, że
Ogólnie
Zatem prawdziwa jest równość:
Obliczymy
Zuważmy, że , zatem
, zatem
, zatem
, zatem
, zatem
, zatem
Wobec powyższego
Słownik
iloraz dwóch liczb całkowitych, z których dzielnik jest różny od zera
liczba naturalna lub liczba przeciwna do naturalnej
mówimy, że jest liczbą przeciwną do liczby , jeśli
mówimy, że jest liczbą odwrotną do liczby , jeśli