Przeczytaj

Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać w postaci $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi oraz $q$ jest różne od zera.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem $ℚ$ pochodzącym od pierwszej litery angielskiego słowa quotient oznaczającego iloraz.

Każda liczba całkowitaliczba całkowitaliczba całkowita jest liczbą wymierną, bo można ją zapisać jako iloraz jej samej przez $1$ , ale oczywiście istnieje nieskończenie wiele możliwości. Wystarczy wykonać rozszerzenie ułamka, np. $3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = . . .$ , $- 5 = \frac{- 5}{1} = \frac{- 10}{2} = \frac{- 15}{3} = . . .$

Każda liczba o skończonym rozwinięciu dziesiętnym jest liczbą wymiernąliczba wymiernaliczbą wymierną.

Ponadto prawdziwe jest twierdzenie:

Liczba o okresowym rozwinięciu dziesiętnym

Twierdzenie: Liczba o okresowym rozwinięciu dziesiętnym

Każda liczba o okresowym rozwinięciu dziesiętnym jest liczbą wymierną.

Dowód twierdzenia wymaga użycia pojęcia granicy, więc go pominiemy.

Przykład 1

Aby zamienić ułamek zwykły na formę dziesiętną, wystarczy rozszerzyć ułamek do mianownika, który jest naturalną potęgą liczby $10$ .

Można też wykonać dzielenie licznika przez mianownik.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0,375$

Przykład 2

Przedstawimy podane liczby w postaci ułamków zwykłych:

a) $1, 2345$

$1,2345 = \frac{12345}{10000} = \frac{2469}{2000}$

b) $1, (3)$

Oznaczmy rozważaną liczbę przez $x$ , czyli $x = 1,33333 . . .$

Wówczas $10 x = 13,33333 . . .$

Jeśli od lewej strony drugiej równości odejmiemy lewą stronę pierwszej równości oraz od prawej strony drugiej równości odejmiemy prawą stronę pierwszej równości, to otrzymamy:

$10 x - x = 13,33333 . . . - 1,33333 . . .$

$9 x = 12$

$x = \frac{4}{3}$

Zatem

$1, (3) = \frac{4}{3}$ .

Można też udowodnić twierdzenie:

Liczba wymierna

Twierdzenie: Liczba wymierna

Liczba jest wymierna dokładnie wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe.

Dowód pomijamy.

Przykład 3

Rozważmy liczbę $0, 123456789101112131415161718192021222324252627282930 . . .$ .

Kolejne cyfry jej rozwinięcia powstają przez “doklejanie” kolejnych liczb naturalnych. Oczywiście rozwinięcie to nie jest skończone (bo liczb naturalnych jest nieskończenie wiele) ani okresowe. Zatem liczba ta jest niewymierna.

Zauważmy, że suma, różnica, iloczyn i iloraz (poza dzieleniem przez zero) liczb wymiernych są liczbami wymiernymi. Spostrzeżenie wydaje się oczywiste, jeśli pomyślimy o dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu ułamków zwykłych – wynikiem w każdym z tych przypadków jest również ułamek zwykły. Rzeczywiście dla liczb całkowitych $p$ , $q$ , $r$ , $s$ , gdzie $q$ i $s$ nie są równe zeru, mamy:

$\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p r}{q s}$

$\frac{p}{q} : \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} = \frac{p s}{q r}$ , dla $r \neq 0$

$\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{p s + q r}{q s}$

$\frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{p s - q r}{q s}$

Ponieważ iloczyn, suma i różnica liczb całkowitych są liczbami całkowitymi, więc otrzymane liczby są ilorazami liczb całkowitych, zatem liczbami wymiernymi.

Przypomnijmy jeszcze najważniejsze własności działań na liczbach wymiernych: dodawanie i mnożenie liczb wymiernych jest łączne i przemienne, ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.

Zero jest elementem neutralnym dodawania, zaś jedynka – elementem neutralnym mnożenia.

Każda liczba wymiernaliczba wymiernaliczba wymierna ma liczbę przeciwnąliczba przeciwnaliczbę przeciwną (suma takich liczb jest równa zeru), a jeśli nie jest zerem, to również liczbę odwrotnąliczba odwrotnaliczbę odwrotną (iloczyn takich liczb jest równy $1$ ).

Przykład 4

Podamy liczby odwrotne i przeciwne do podanych.

Liczba wymierna	Liczba przeciwnaliczba przeciwnaLiczba przeciwna	Liczba odwrotnaliczba odwrotnaLiczba odwrotna
$x$	$- x$	$\frac{1}{x}$
$2$	$- 2$	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{3}$	$3$
$- \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{3}{2}$
$- 2, 3$	$2, 3$	$- \frac{1}{2, 3} = - \frac{1}{\frac{23}{10}} = - \frac{10}{23}$

Przykład 5

Obliczymy sumę

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + . . . + \frac{1}{47 \cdot 48} + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50}$

Zauważmy, że $\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2}$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2 \cdot 3}$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3 \cdot 4}$

$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{4 \cdot 5} - \frac{4}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4 \cdot 5}$

$. . .$

$\frac{1}{47} - \frac{1}{48} = \frac{48}{47 \cdot 48} - \frac{47}{47 \cdot 48} = \frac{1}{47 \cdot 48}$

$\frac{1}{48} - \frac{1}{49} = \frac{49}{48 \cdot 49} - \frac{48}{48 \cdot 49} = \frac{1}{48 \cdot 49}$

$\frac{1}{49} - \frac{1}{50} = \frac{50}{49 \cdot 50} - \frac{49}{49 \cdot 50} = \frac{1}{49 \cdot 50}$

Ogólnie

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n \cdot (n + 1)} - \frac{n}{n \cdot (n + 1)} = \frac{1}{n \cdot (n + 1)}$

Zatem prawdziwa jest równość:

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + . . . + \frac{1}{47 \cdot 48} + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50} =$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{47} - \frac{1}{48} + \frac{1}{48} - \frac{1}{49} + \frac{1}{49} - \frac{1}{50} =$

$= 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$

Przykład 6

Obliczymy

$\frac{1}{9 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 15} + . . . + \frac{1}{51 \cdot 53} + \frac{1}{53 \cdot 55} + \frac{1}{55 \cdot 57}$

Zuważmy, że $\frac{1}{9} - \frac{1}{11} = \frac{11}{9 \cdot 11} - \frac{9}{9 \cdot 11} = \frac{2}{9 \cdot 11}$ , zatem $\frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11})$

$\frac{1}{11} - \frac{1}{13} = \frac{13}{11 \cdot 13} - \frac{11}{11 \cdot 13} = \frac{2}{11 \cdot 13}$ , zatem $\frac{1}{11 \cdot 13} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13})$

$\frac{1}{13} - \frac{1}{15} = \frac{15}{13 \cdot 15} - \frac{13}{13 \cdot 15} = \frac{2}{13 \cdot 15}$ , zatem $\frac{1}{13 \cdot 15} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15})$

$. . .$

$\frac{1}{51} - \frac{1}{53} = \frac{53}{51 \cdot 53} - \frac{51}{51 \cdot 53} = \frac{2}{51 \cdot 53}$ , zatem $\frac{1}{51 \cdot 53} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{51} - \frac{1}{53})$

$\frac{1}{53} - \frac{1}{55} = \frac{55}{53 \cdot 55} - \frac{53}{53 \cdot 55} = \frac{2}{53 \cdot 55}$ , zatem $\frac{1}{53 \cdot 55} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{53} - \frac{1}{55})$

$\frac{1}{55} - \frac{1}{57} = \frac{57}{55 \cdot 57} - \frac{55}{55 \cdot 57} = \frac{2}{55 \cdot 57}$ , zatem $\frac{1}{55 \cdot 57} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{55} - \frac{1}{57})$

Wobec powyższego

$\frac{1}{9 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 15} + . . . + \frac{1}{51 \cdot 53} + \frac{1}{53 \cdot 55} + \frac{1}{55 \cdot 57} =$

$= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) + . . .$

$. . . + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{51} - \frac{1}{53}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{53} - \frac{1}{55}) + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{55} - \frac{1}{57}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + . . . + \frac{1}{51} - \frac{1}{53} + \frac{1}{53} - \frac{1}{55} + \frac{1}{55} - \frac{1}{57}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{57}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{171} - \frac{3}{171}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{171} = \frac{8}{171}$

Słownik

liczba wymierna

iloraz dwóch liczb całkowitych, z których dzielnik jest różny od zera

liczba całkowita

liczba naturalna lub liczba przeciwna do naturalnej

liczba przeciwna

mówimy, że $b$ jest liczbą przeciwną do liczby $a$ , jeśli $a + b = 0$

liczba odwrotna

mówimy, że $b$ jest liczbą odwrotną do liczby $a \neq 0$ , jeśli $a \cdot b = 1$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik