Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Przypomnij sobie najpierw definicję algebraiczną wartości bezwzględniej liczby rzeczywistej a.

a=a,dla a0-a,dla a<0
Przykład 1

Oblicz wartość wyrażenia

a=-5+2·-34-212.

Obliczamy najpierw wartości modułów, które pojawiły się w przykładzie.

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

-5=5

-34=34

212=212

Następnie, pamiętając o kolejności wykonywania działań, obliczamy wartość wyrażenia a.

a=5+2·34-212=5+32-212=5+112-212=4

Przykład 2

Oblicz wartość wyrażenia

b=3-23-22+-3·--2--2·-3-2.

Obliczamy najpierw wartości modułów, które pojawiły się w przykładzie.

Ponownie korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

3=3

--2=2=2

Ostatnią wartość bezwzględną możemy obliczyć dwoma sposobami.

I sposób

Doprowadzamy wyrażenie pod modułem do najprostszej postaci i określamy jego znak, a następnie opuszczamy symbol wartości bezwzględnej.

R1QL8xFuDolcx

II sposób

Określamy znak wyrażenia pod modułem i opuszczamy symbol wartości bezwzględnej.

R1X0ukKgTyItJ

Teraz, pamiętając o kolejności wykonywania działań oraz zasadach dodawania i odejmowania pierwiastków, obliczamy wartość wyrażenia b.

b=3-23-22+-3·2+2·3-2=

=3-23-22-32+2·3-2=

=-3-52+23-22=3-72

=oznacznie kolorem niebieskim 3-23 koniec oznaczenia

oznaczenie kolorem zielonym-22-32koniec oznaczenia +

2·3-2=

=oznacznie kolorem niebieskim -3koniec oznaczenia-oznacznie kolorem zielonym 52koniec oznaczenia oznacznie kolorem niebieskim +23koniec oznaczenia oznaczenie kolorem zielonym-22koniec oznaczenia=3-72

Pierwiastki, które maja taka samą liczbę podpierwiastkową oznaczono takim samym kolorem.

Własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej
Własność: Własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej

Przypomnij sobie poznane własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

  1. a0, a

  2. a=-a, a

  3. a2=a, a

  4. a·b=a·b, a, b

  5. ab=ab, a, b0

Przykład 3

Zapisz wyrażenie x-1+x-2+3 w najprostszej postaci, wiedząc, że x<1.

Określamy znak wyrażeń znajdujących się pod symbolami wartości bezwzględnej aby, korzystając z definicji, opuścić te symbole.

Możemy to zrobić następująco:

  1. Korzystamy z założenia:
    x<1.

  2. Odejmujemy od obu stron nierówności 1, tak aby po lewej stronie nierówności otrzymać wyrażenie tożsame z tym, które znajduje się w pierwszej wartości bezwzględnej.
    x<1 -1
    x-1<0

  3. Otrzymaliśmy nierówność, dzięki której wiemy, że wyrażenie znajdujące się pod pierwszym modułem jest ujemne, a zatem:
    x-1=-x+1.

  4. Ponownie korzystamy z założenia
    x<1.

  5. Tym razem od obu stron nierówności odejmujemy 2, tak aby po lewej stronie nierówności otrzymać wyrażenie tożsame z tym, które znajduje się w drugiej wartości bezwzględnej.
    x<1 -2
    x-2<-1<0

  6. A zatem wyrażenie znajdujące się pod drugim modułem jest również ujemne, stąd:
    x-2=-x+2.

Zapisujemy wyrażenie x-1+x-2+3 w najprostszej postaci, dla x<1.

x-1+x-2+3=-x+1+-x+2+3=-x+1-x+2+3=-2x+6

Przykład 4

Zapisz wyrażenie x-2-2·4-x-4 w najprostszej postaci, wiedząc, że x2, 4.

Określamy znak wyrażeń znajdujących się pod symbolami wartości bezwzględnej aby, korzystając z definicji, opuścić te symbole.

Możemy to zrobić następująco:

  1. Korzystamy z założenia
    2x4.

  2. Otrzymaliśmy nierówność, dzięki której wiemy, że wyrażenie znajdujące się w pierwszym module jest nieujemne, a zatem
    x-2=x-2.

  3. Ponownie korzystamy z założenia.
    2x4

  4. Tym razem, aby otrzymać wyrażenie, które znajduje się w drugiej wartości bezwzględnej, musimy dokonać przekształceń.
    2x4 ·-1 – mnożymy strony nierówności przez -1
    -2-x-4
    -4-x-2 +4 – do stron nierówności dodajemy 4:
    0-x+42.

  5. A zatem wyrażenie znajdujące się w drugim module jest również nieujemne, stąd:
    4-x=4-x.

Zapisujemy wyrażenie x-2+2·4-x-4 w najprostszej postaci, dla x2, 4.

x-2+2·4-x-4=x-2+2·4-x-4=x-2+8-2x=6-x

Przykład 5

Zapisz wyrażenie x-2-2x bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, dla x.

W tym przykładzie najpierw zapisujemy wyrażenie x-2 bez symbolu wartości bezwzględnej zgodnie z definicją modułumoduł liczby rzeczywistej amodułu.

x-2=x-2,dla x-20-x-2,dla x-2<0,

czyli

x-2=x-2,dla x22-x,dla x<2.

Zapisujemy wyrażenie x-2-2x bez użycia symbolu wartości bezwzględnej.

  1. dla x2
    x-2-2x=x-2-2x=-x-2

  2. dla x<2
    x-2-2x=2-x-2x=2-3x

Podsumowując:

x-2-2x=-x-2,dla x22-3x,dla x<2.

Przykład 6

Zapisz wyrażenie 2x-4-x-5 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, dla x.

Najpierw zapisujemy wyrażenia bez symbolu wartości bezwzględnej zgodnie z definicją modułu.

2x-4=2x-4,dla 2x-40-2x-4,dla 2x-4<0,

czyli

2x-4=2x-4,dla x24-2x,dla x<2

oraz

x-5=x-5,dla x-50-x-5,dla x-5<0,

czyli

x-5=x-5,dla x55-x,dla  x<5.

Możemy wykonać rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy znak wartości wyrażeń znajdujących się w modułach, w wyznaczonych wyżej przedziałach liczbowych.

Rh5MA5Itsc4L1

A zatem:

1. Dla x-, 2 mamy:

2x-4<0, więc 2x-4=4-2xx-5<0, więc x-5=5-x.

2. Dla x2, 5 mamy:

2x-4>0, więc 2x-4=2x-4x-5<0, więc x-5=5-x.

3. Dla x5, + mamy:

2x-4>0, więc 2x-4=2x-4x-5>0, więc x-5=x-5.

Zapisujemy wyrażenie 2x-4-x-5 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej.

1. Dla x-, 2:

2x-4-x-5=4-2x-5-x=4-2x-5+x=-x-1.

2. Dla x2, 5:

2x-4-x-5=2x-4-5-x=2x-4-5+x=3x-9.

3. Dla x5, +:

2x-4-x-5=2x-4-x-5=2x-4-x+5=x+1.

Podsumowując:

2x-4-x-5=-x-1,dla x-, 23x-9,dla x2, 5x+1,dla x5, +.

Słownik

moduł liczby rzeczywistej a
moduł liczby rzeczywistej a

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida