1. Uzupełnienie opisu układu z Rys. 4.

Wróćmy do Rys. 4. Problem - po części dotyczący tylko nazewnictwa - pojawia się dla części linii, których tam nie umieszczono, a o których odruchowo myślimy jako o przechodzących przez wyróżniony punkt w połowie odcinka łączącego ładunki. Warto jednak zadać sobie pytanie: czy przez ten punkt przechodzą linie pola? Jeśli tak, to ile i jakie są ich zwroty?

W oderwaniu od interpretacji „gęstości linii” jako natężenia, może to wyglądać jak na Rys. 4a. poniżej. Postaramy się wyjaśnić rolę czerwonego kółka między ładunkami - jest to dość specyficzny punkt. Oznaczmy go (w myślach, żeby nie psuć rysunku) przez $s$.

R13SunXLyWZ14

Rys. 4a. Na rysunku znajdują się wszystkie elementy rysunku czwartego. Dodano czerwone kółeczko oznaczone literą małe s, zaznaczające punkt na środku odcinka łączącego ładunki oraz cztery linie pola w obszarze między ładunkami. Dodatkowa linia wychodząca z lewego ładunku to linia o początkowym kierunku w prawo i w górę, która wygina się do góry i dalej ma kierunek pionowy, a strzałka na niej zwrócona jest do góry. Druga dodatkowa linia wychodząca z lewego ładunku to linia o początkowym kierunku w prawo i w dół, która wygina się do dołu i dalej ma kierunek pionowy, a strzałka na niej zwrócona jest w dół. Symetrycznie do tych linii narysowano dodatkowe linie wychodzące z prawego ładunku. Jedna z nich ma początkowo kierunek w lewo i w górę, dalej wygina się do góry, przybierając kierunek pionowy, a strzałka na niej zwrócona jest do góry. Druga dodatkowa linia wychodząca z prawego ładunku to linia o początkowym kierunku w lewo i w dół, która wygina się do dołu i dalej ma kierunek pionowy, a strzałka na niej zwrócona jest w dół.

Przede wszystkim zauważmy, że na odcinku łączącym ładunki oraz na jego symetralnej pole elektryczne zmienia zwrot. Np. „idąc” w prawo od ładunku po lewej stronie, mamy coraz słabsze pole skierowane w prawo. W punkcie $s$ natężenie wynosi zero, a podczas zbliżania się do ładunku po prawej - obserwujemy coraz silniejsze pole skierowane w lewo. Natomiast jeśli pójdziemy „od dołu, z daleka” po symetralnej, stwierdzimy, że wektory pola są skierowane „w dół”, a wartość natężenia osiąga maksimum (jest to widoczne na Rys. 4., ale wymaga dość wnikliwego spojrzenia). Następnie, przecinając odcinek łączący ładunki, stwierdzimy, że natężenie pola wynosi zero. Kontynuując ruch „do góry”, obserwujemy pole skierowane „do góry”, a po maksimum natężenia zaobserwujemy jego zanik - spowodowany rosnącą odległością od źródeł.

Hipotetyczna (jedna) linia pola łącząca ładunki sugerowałaby, że w jej środku jest ładunek ujemny. Gdyby z kolei chcieć całej symetralnej nadać sens jednej linii pola, musielibyśmy uznać, że w punkcie $s$ jest ładunek dodatni. Tymczasem w punkcie tym nie istnieje wektor styczny do żadnej linii pola, po prostu dlatego, że $\vec{E}(s) = 0$. Skoro ma zerową wartość, jego kierunek jest nieokreślony i mówienie o jego styczności do czegokolwiek nie ma sensu. Gdyby taki wektor styczny istniał, oznaczałoby to, że linie się krzyżują, co prowadziłoby do pytań o jednoznaczność definicji pola wektorowego i jego linii. Pole wektorowe jest funkcją - jej argumentami są punkty przestrzeni, wartościami - wektory. Jak wiesz z lekcji matematyki, funkcja w każdym punkcie, w którym jest określona, ma dokładnie jedną wartość.

Oznacza to, że oprócz zakrzywionych linii z Rys. 4. (początkiem każdej z nich jest jeden z ładunków, końce nie istnieją, chyba że zgodzimy się na stwierdzenie, że są „w nieskończoności”, co ma swój sens), istnieje też sześć linii prostych, w tym cztery „specjalne”:

• dwie poziome półproste - od każdego z ładunków do nieskończoności.

• dwa otwarte (tj. pozbawione obu punktów końcowych) odcinki - łączące $s$ z ładunkami,

• dwie pionowe półproste, które można opisać jako symetralną odcinka łączącego ładunki z usuniętym punktem $s$,

2. Alternatywne graficzne przedstawienie natężenia pola elektrostatycznego

Na Rys. 4b. i 4c. przedstawiamy - w dwóch skalach - zestaw strzałek, symbolizujących natężenie pola elektrostatycznego od dwóch ładunków dodatnich, czyli modyfikację Rys. 4. Natężenie jest tu oddane za pomocą kolorów - od czerwonego (najwyższe), przez żółty, zielony, jasnoniebieski aż do szergo (najniższe, czyt. praktycznie zerowe). „Zagęszczenie” strzałek (ani odruchowo „rysowanych” w myślach linii) nie ma tu nic wspólnego z natężeniem pola - narysowano ich tyle, żeby było to w miarę czytelne.

RJEE9U4RlqxL2

Rys. 4b. Na rysunku znajdują się dwa wyróżnione punkty leżące na linii poziomej. Cały obszar rysunku pokrywają strzałki w różnych kolorach. W pobliżu wyróżnionych punktów strzałki skierowane są promieniście od punktów i mają barwę czerwoną. W większych odległościach barwa strzałek staje się pomarańczowa, dalej żółta, zielona, niebieska i najdalej od punktów szara. Zmienia się też kierunek strzałek, tak że stają się styczne do linii pola pokazanych na rysunku czwartym. W obszarze bliskim punktowi małe s na środku odcinka łączącego ładunki strzałki maja barwę szarą, co symbolizuje najsłabsze pole elektryczne.

R1A1E95Q88lbL

Rys. 4c. Rysunek pokazuje w powiększeniu fragment rysunku 4b w okolicach punktu małe s. W punkcie tym nie ma żadnej strzałki, a otaczają go strzałki o barwie szarej. Na linii poziomej strzałka z lewej strony zwrócona jest w prawo, a strzałka z prawej strony zwrócona jest w lewo. Na linii pionowej strzałka leżąca nad punktem zwrócona jest do góry, a strzałka leżąca pod punktem z zwrócona jest w dół. W większych odległościach od punktu małe s strzałki mają barwę niebieską, a najdalsze strzałki barwę zieloną.

Być może masz odruch „poprowadzenia” linii pola przez kolejne strzałki, zwłaszcza jeśli zwroty zmieniają się niewiele i przy grocie „poprzedniej” strzałki pojawia się początek „następnej”. Postępowanie to zawsze obarczone jest pewnym błędem, wynikającym ze skończonej odległości punktów, w których rysujemy strzałki. Ale im gęstsza taka siatka punktów, tym bliższa byłaby tak skonstruowana krzywa rzeczywistej (i tym mniej czytelny rysunek). Czym jest ta „prawdziwa” krzywa? Matematycy nazywają ją krzywą całkową pola wektorowego. Można więc (i należy) powiedzieć, że linie pola elektrostatycznego z definicji są jego krzywymi całkowymi. Znalezienie ich - ściśle rzecz biorąc - wymaga rozwiązania pewnego równania, rysunkowe wersje na podstawie skończonego zestawu wektorów są tylko przybliżeniami. Równanie to nie jest algebraiczne, ale jego interpretacja geometryczna nie jest niczym nowym - równanie to jest żądaniem, by w każdym punkcie poszukiwanej krzywej jej kierunek styczny pokrywał się z kierunkiem pola wektorowego w tym punkcie. Opisane wyżej dwa odcinki i cztery półproste to także rozwiązania tego równania, ale w przypadkach w pewnym sensie „zdegenerowanych” - ma to miejsce, gdy kąt nachylenia pola względem kierunku poziomego jest całkowitą wielokrotnością kąta prostego - oczekujemy zatem pojawienia się linii prostych, pionowych albo poziomych, z różnymi zwrotami. Wtedy jedno z wyrażeń w równaniu wynosi zero bądź jest nieskończone i wymaga osobnego potraktowania.