Warto przeczytać

Energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej obliczamy z definicji jako:

gdzie $I$ – moment bezwładności tej bryły względem osi, wokół której następuje obrót, $\omega$ – prędkość kątowa, z jaką bryła ta się obraca wokół tej osi.

Jeśli chcielibyśmy zatem wyznaczyć energię kinetyczną np. obracającego się koła rowerowego, musielibyśmy w tym celu wyznaczyć dwie wielkości: jego moment bezwładności oraz jego prędkość kątową.

Aby obliczyć moment bezwładności bryły sztywnej należy wiedzieć, jaki jest rozkład masy w tej bryle – dla koła rowerowego można przyjąć uproszczony model, że jest to cienkościenna obręcz. Znaczy to, że uznajemy masę szprych za zaniedbywalną w stosunku do masy obręczy, dętki i opony. Wtedy wystarczy zważyć całe koło, otrzymując wynik $m$, oraz zmierzyć jego promień $R$. Następnie, korzystając z tablic fizycznych odczytujemy, że moment bezwładności dla takiej bryły to:

Prędkość kątową obracającego się obiektu można mierzyć na wiele sposobów – ale w przypadku roweru najprościej skorzystać z często montowanego w rowerze licznikaKomputer rowerowylicznika obrotów. Składa się on z układu cyfrowego z wyświetlaczem, montowanym na kierownicy, jak na Rys. 1., podłączonego do niego czujnika, instalowanego na widelcu (czyli części ramy rowerowej, która łączy się z osią koła) oraz z przymocowanego do szprychy małego magnesu. Za każdym razem, gdy magnes mija czujnik, czujnik zapisuje czas, w którym to się zdarzyło. Zatem mierząc kolejne „minięcia się” z magnesem licznik wie, ile czasu zajmuje pełen obieg koła oraz jaka jest częstotliwość obrotów (ile razy na minutę mija się z czujnikiem). W ten sposób licznik mierzy prędkość kątową, a znajomość wielkości promienia koła można obliczyć prędkość liniową roweru, z zależności $v=\omega R$. Jak tę wiedzę wykorzystać do obliczeń? Spójrzmy na następujący przykład.

R1WL2kdE6roKZ

Rys. 1. Zdjęcie pokazuje licznik rowerowy zawieszony na kierownicy roweru. Dużą część tarczy licznika zajmuje ekran, na którym wyświetla się prędkość i liczba przebytych kilometrów.

Przykład 1

Przyjmijmy, że licznik zmierzył częstotliwość obrotu koła jako $f$ = 120 obr/min. Masa całego roweru (ramy i kół) razem z rowerzystą to $m_r$ = 90 kg, masa koła to $m_k$ = 3 kg, a jego średnica to $d$ = 70 cm. Jaka jest energia mechaniczna tego układu?

Najpierw wykorzystajmy informację o częstotliwości obrotu koła. Możemy z niej obliczyć prędkość kątową obrotu kół jako:

Znając prędkość kątową i promień koła, możemy obliczyć prędkość liniową roweru, jako:

Większość masy koła, którą stanowi obręcz, dętka i opona, rozłożona jest na jego obwodzie. W części wewnętrznej znajdują się lekkie szprychy. Możemy zatem przyjąć, że koło rowerowe to cienka obręcz, zatem jej moment bezwładności wyniesie:

Możemy teraz obliczyć wartość energii kinetycznej ruchu obrotowego koła rowerowego, jako:

Znając masę całości, możemy obliczyć energię ruchu postępowego:

Jaka jest całkowita energia kinetyczna? Będzie to suma energii kinetycznej ruchu postępowego całego układu (roweru i rowerzysty) oraz energia kinetyczna ruchu obrotowego dwóch kół, stąd:

Warto zwrócić uwagę na aspekt praktyczny – obniżenie masy dowolnego fragmentu roweru sprawia, że mniejszą pracę muszą wykonać nasze mięśnie, aby rozpędzić ten rower, czyli nadać mu odpowiednią energię mechaniczną. Jednakże redukcja masy koła daje nam podwójny zysk – zarówno zmniejsza się masa całego roweru, ale też zmniejsza się moment bezwładności koła. Spójrzmy jeszcze raz na równanie całkowitej energii mechanicznej, gdzie wcześniej podaliśmy masę całego układu jako jedną wartość:

Wykonaliśmy powyżej sporo obliczeń – jednakże, aby dowiedzieć się, jaka jest energia kinetyczna takiego obracającego się układu, wcale nie musimy obliczać jej ze wskazanego wzoru, wymagającego znajomości momentu bezwładności i prędkości kątowej. Szczególnie, jeśli nie mamy do czynienia z bryłą o znanym momencie bezwładności (np. ma nieregularny kształt, a nie mamy możliwości wyznaczenia eksperymentalnie momentu bezwładności) lub gdy pomiar prędkości kątowej jest utrudniony (nie posiadamy licznika albo analizujemy ruch elementu, który jest schowany wewnątrz innej konstrukcji, osłonięty). W tej sytuacji możemy wyznaczyć energię w zupełnie inny sposób – korzystając z zasady zachowania energii! Wiemy na jej podstawie, że zmiana energii układu wymaga wykonania pracy nad tym układem. Wartość wykonanej pracy W odpowiada zmianie energii $E$ układu . Możemy zatem zbudować układ, w którym będziemy wiedzieć, jaką wykonano pracę lub jaka nastąpiła zmiana energii – i na tej podstawie wnioskować, jaka jest energia kinetyczna ruchu obrotowego. Jak mógłby wyglądać taki układ? Przykład widać na Rys. 2. Rozkręcone koło rowerowe zamontowane jest na niewidocznej tutaj nieruchomej osi. Na oś nawija się lina, do której z drugiej strony doczepiony jest ciężar – naprężenie nici unosi ciężar do góry. W tym czasie rozkręcone koło będzie hamować, aż się zatrzyma, unosząc ciężar o masie $M$ na wysokość $H$. Co to oznacza? Że siła naciągu nici, pochodząca z nawijania jej na obracające się koło, wykonała pracę $W=MgH$. Jaka była energia kinetyczna tego koła? Zgodnie z zasadą zachowania energii – również $MgH$ (zakładając brak strat energii w tym układzie).

R10rcmy3RNKH7

Rys. 2. Na rysunku znajduje się koło rowerowe osadzone na osi. Nad kołem narysowano łuk zakończony strzałką wskazującą kierunek obrotu koła zgodny z ruchem wskazówek zegara. Prędkość kątowa oznaczona jest grecką literą małe omega. Na oś koła nawija się od góry pionowa lina. Górny koniec liny przechodzi na prawo przez 2 bolce zamocowane wzdłuż poziomej linii. Za drugim bolcem lina zwisa pionowo, a do jej końca przymocowany jest ciężarek. Do ciężarka przyłożony jest wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół oraz wektor naciągu liny skierowany pionowo w górę , Oba wektory mają tę samą wartość. Dwie strzałki pokazują kierunek ruchu pionowych fragmentów liny. Z prawej strony lina z ciężarkiem przesuwa się do góry. Z lewej strony lina, która nawija się na oś koła, przesuwa się w dół. Prędkości obu fragmentów liny oznaczone są literą małe v.

W ten sposób wystarczy sam pomiar linijką wysokości ciężarka (którego masę nominalną znamy lub zważyliśmy go na wadze), żeby wyznaczyć początkową energię kinetyczną tego koła – mimo, że nie znaliśmy ani jego rozmiarów, ani wartości prędkości kątowej, z jaką się obracał. Natomiast jeśli nie znaliśmy np. prędkości kątowej koła z Rys. 2., ale zmierzyliśmy miarką jego promień $R$ i zważyliśmy je, otrzymując masę $m$ możemy tę prędkość wyznaczyć:

Metoda ta potrafi być bardzo użyteczna również w innych sytuacjach – zwróćmy uwagę, że rozpatrywanie niektórych zagadnień poprzez analizę sił może być skomplikowane. Na przykład, aby wyznaczyć moc silnika samochodowego można, znając szczegóły mechaniki układu napędowego, obliczać momenty sił powstające na wale korbowym… Ale byłoby to trudne. Jednakże można wielkość tę wyznaczyć prościej. Wystarczy podjechać pod górkę o znanej wysokości, mierząc czas, który to zajęło. Zmiana wysokości oznacza zmianę energii potencjalnej, czyli wykonanie przez silnik pracy. Moc obliczamy dzieląc pracę przez czas, w jakim ją wykonano. Oczywiście część pracy silnika została zużyta na przezwyciężenie oporów ruchu (tarcia i oporu powietrza), co należałoby uwzględnić w dokładniejszych obliczeniach.

W innych przykładach, poprzez wyznaczenie całkowitej zmiany energii i prosty pomiar jednego parametru (jak promień koła), można wyznaczyć inny parametr, trudniejszy do zmierzenia eksperymentalnie (jak prędkość kątowa). Analogicznie możemy przyjrzeć się hamowaniu koła w poniższym przykładzie.

Kolejny przykład:

RXKEQ0EVKYga6

Rys. 3. Na rysunku znajduje się koło rowerowe, którego promień oznaczony jest literą wielkie R. Nad kołem narysowano łuk zakończony strzałką wskazującą kierunek obrotu koła przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Prędkość kątowa oznaczona jest grecką literą małe omega. Do obręczy koła przyciśnięty jest hamulec o kształcie podłużnej płytki ułożonej wzdłuż obręczy. W puncie styku hamulca z obręczą narysowano wektor siły działającej na obręcz, styczny do obręczy i skierowany przeciwnie do kierunku obrotu kola. Wektor siły oznaczony jest literą wielkie F ze strzałką nad nią.

Zaciśnięcie szczęk hamulca powoduje przyłożenie siły o wartości $F$ do ramy koła na jego obręczy, czyli w odległości $R$ od jego środka (Rys. 3.). Powoduje to powstanie momentu siły hamującego ruch obrotowy – w efekcie prędkość kątowa koła się zmniejsza. Jak wyznaczyć wartość siły hamującej, czyli jak ocenić sprawność hamulca? Można rozkręcić koło o znanym momencie bezwładności do znanej prędkości kątowej – pozwoli to obliczyć energię kinetyczną ruchu obrotowego. Następnie zaciskamy szczęki hamulca i mierzymy kąt, o jaki przesunęło się koło od początku hamowania do całkowitego zahamowania. W zależności od wartości prędkości kątowej i siły hamowania wartość tego kąta będzie się bardzo zmieniać, trzeba więc zastosować różne metody pomiaru. Przykładowo, jeśli kąt będzie bardzo mały, potrzebna może być kamera nagrywająca film w zwolnionym tempie i analiza filmu klatka po klatce. Możliwe jest też pokrycie piasty łatwo ścierającą się substancją, np. markerem suchościeralnym do tablic, przez co widać będzie, w którym punkcie rozpoczęło się hamowanie, a w którym zakończyło. Jeśli koło obraca się wolniej, może wystarczyć pojedynczy znacznik, np. kropka na piaście namalowana markerem permanentnym – zacisk hamulca następuje w momencie, gdy kropka jest pomiędzy szczękami. Niezależnie od techniki eksperymentalnej, otrzymujemy z różną dokładnością wynik – zmierzymy kąt $\alpha$. Jaką informację da nam pomnożenie tego kąta przez promień koła? Drogę, na jakiej działała siła $F$. Innymi słowy, możemy dokonać następującego rachunku:

Iloczyn siły i drogi, na jakiej ta siłą działa, daje nam informację o pracy wykonanej przez tę siłę. A praca ta została wykonana, aby zmniejszyć energię kinetyczną ruchu obrotowego do zera, zatem:

Podsumowując: analiza przemian energii i wykonanej pracy pozwala wyznaczać pożądane parametry układu.

Słowniczek