Warto przeczytać

W tym materiale postaramy się odpowiedzieć na pytanie: jaką pracę należy wykonać, aby naładować kondensator? Na początku zastanówmy się nad tym, na czym polega ładowanie kondensatora.

Kondensator to układ dwóch równoległych do siebie płyt przewodzących. Schematyczny model kondensatora płaskiego przedstawiono na Rys. 1.

RTuXWNtirCwKm

Rys. 1. Rysunek przedstawia schematycznie kondensator płaski. Kondensator płaski to kondensator o dwóch płaskich równoległych okładkach, w tym przypadku prostokątnych, koloru ciemno‑niebieskiego. Okładki są oddalone od siebie o odległość oznaczoną małą literą d.

Podłączymy teraz kondensator do źródła napięciaŹródło napięciaźródła napięcia - na przykład baterii. Sytuację taką pokazano na Rys. 2.

R1M9k7eSQbHxI

Rys. 2. Rysunek przedstawia schemat układu elektrycznego. Obwód ma kształt prostokąta. W górnej jego części znajduje się źródło napięcia w postaci dwóch równoległych pionowych linii, z których dłuższa znajduje się po stronie lewej i jest oznaczona znakiem plus, a krótsza po stronie prawej i jest oznaczona znakiem minus. W dolnej części obwodu znajduje się kondensator w postaci dwóch równoległych pionowych linii tej samej długości oznaczony wielką literą C. Z prawej strony obwodu znajduje się wyłącznik w postaci odchylonej poprzeczki, którą można przekręcić, aby zamknąć obwód, co zostało na rysunku pokazane łukowatą strzałką.

Jeśli biegun dodatni baterii będzie podłączony do lewej okładki kondensatora, a biegun ujemny do prawej okładki kondensatora, to przyłożone napięcie spowoduje, że elektrony z lewej okładki odpłyną, przez baterię, na prawa okładkę. Kiedy ruch elektronów ustaje, mówimy, że kondensator został naładowany. Lewa okładka zostaje naładowana dodatnio, a prawa ujemnie - Rys. 3.

RuSmDhcbcolcU

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono ten sam obwód elektryczny, co na rysunku 2 (Rys. 2. Rysunek przedstawia schemat układu elektrycznego. Układ elektryczny narysowano i opisano kolorem czarnym. Obwód ma kształt prostokąta. W górnej jego części znajduje się źródło napięcia w postaci dwóch równoległych pionowych linii, z których dłuższa znajduje się po stronie lewej i jest oznaczona znakiem plus, a krótsza po stronie prawej i jest oznaczona znakiem minus. W dolnej jego części znajduje się kondensator w postaci dwóch równoległych pionowych linii tej samej długości, oznaczony wielką literą C. Z prawej strony obwodu znajduje się wyłącznik w postaci odchylonej poprzeczki, którą można przekręcić, aby zamknąć obwód, co zostało na rysunku pokazane łukowatą strzałką), z dwiema różnicami. Pierwsza różnica: wyłącznik jest zamknięty, gdyż kreska wychodząca z górnego punktu nie jest teraz skośna, lecz pionowa i sięga do drugiego punktu. Przy symbolu kondensatora pojawiły się punkty z oznaczeniami plus i minus w środku. Punkty oznaczone jako plus znajdują się przy lewej okładce kondensatora (która połączona jest z dodatnim biegunem napięcia). Punkty oznaczone jako minus znajdują się przy prawej okładce (połączonej z ujemnym biegunem napięcia). Punkty symbolizują ładunki elektryczne na okładkach.

Ładunek na okładkach zmienia się od 0 do wartości oznaczonej jako $Q$, natomiast napięcie rośnie od 0 do wartości $\Delta V$.

Teraz, kiedy już wiemy, jak wygląda ładowanie kondensatora, zastanówmy się, jaką pracę należy wykonać, aby ten kondensator naładować.

Praca $W$ potrzebna do przeniesienia ładunku $q$ w polu elektrycznym przy różnicy potencjałów $\Delta V$ jest równa

Druga trudność w wyobrażeniu sobie ostatecznego wyniku wynika z faktu, że różnica potencjałów podczas ładowania nie jest stała. Wprowadzenie każdej „porcji” ładunku $\Delta q$ wiąże się ze wzrostem różnicy potencjałów o $\Delta V$. Dlatego też wzór na pracę powinien mieć formę sumy, w której dodajemy do siebie prace związane z przeniesieniem każdej porcji ładunku, aż do uzyskania końcowej wartości ładunku $Q$ (takiej, że $Q={\sum }_{i=1}^n{q}_i$):

Wiemy, że pojemność kondensatora jest wartością stałą, którą możemy wyrazić jako iloraz wartości ładunku i różnicy potencjałów.

W związku z tym zależność różnicy potencjałów od ładunku na kondensatorze możemy przedstawić jak na wykresie pokazanym na Rys. 4.

R1Ptu1rrLRdYN

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres zależności różnicy potencjałów między okładkami kondensatora a zgromadzonym na nich ładunkiem. Narysowano prostokątny układ współrzędnych z pionową osią oznaczoną wielkimi literami: delta i V oraz z poziomą osią oznaczoną małą literą q. W układ wrysowano wykres schodkowy, rosnący wraz ze wzrostem q. Każdy schodek ma tę samą szerokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i mała litera q z indeksem dolnym jeden. Każdy schodek ma tę samą wysokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i wielka litera V z indeksem dolnym jeden. Pole pod wykresem schodkowym pomalowano na niebiesko.

Wykres pokazany na Rys. 4. składa się z wąskich prostokątów. Każdy z tych prostokątów obrazuje zmianę różnicy potencjałów $\Delta V$ w zależności od wartości ładunku na okładkach. Zakładamy, że na nienaładowany kondensator wprowadzamy niewielką porcję ładunku $\mathrm{\Delta }{q}_1$, a wprowadzenie tej porcji powoduje wzrost wartości ładunku na okładkach kondensatora do wartości $\mathrm{\Delta }{q}_1$ oraz wzrost różnicy potencjałów do wartości $\Delta V_1$. Praca, którą należy wykonać, aby nanieść ten ładunek, jest równa polu powierzchni pod wykresem, czyli aby nanieść ładunek $\Delta q_1$ należy wykonać pracę $W_1$, której wartość jest równa $W_1=\Delta q_1\Delta V_1$.

Skoro tak, to praca potrzebna do naładowania kondensatora jest równa sumie prac potrzebnych do naniesienia każdej z „porcji ładunku”

Zauważmy teraz, że jeśli przeprowadzimy prostą przechodzącą przez środek górnej podstawy każdego z prostokątów, to otrzymamy trójkąt prostokątny. Sytuację tę przedstawia Rys. 5.

RBINXjtUTcVCB

Rys. 5. Rysunek przedstawia wykres zależności różnicy potencjałów między okładkami kondensatora a zgromadzonym na nich ładunkiem. Narysowano prostokątny układ współrzędnych z pionową osią oznaczoną wielkimi literami: delta i V oraz z poziomą osią oznaczoną małą literą q. W układ wrysowano wykres schodkowy, rosnący wraz ze wzrostem q. Każdy schodek ma tę samą szerokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i mała litera q z indeksem dolnym jeden. Każdy schodek ma tę samą wysokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i wielkalitera V z indeksem dolnym jeden. Pole pod wykresem schodkowym pomalowano na niebiesko. Wzdłuż schodków narysowano czerwoną linię przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

Dla każdego z prostokątów obszar nad prostą jest równy „pustemu” obszarowi pod prostą; możemy go zatem przedstawić jako trapez. Zsumowanie wszystkich tych trapezów daje nam trójkąt prostokątny (Rys. 6.).

RQe8s0JHuUVNu

Rys. 6. Rysunek pierwszy przedstawia wykres zależności różnicy potencjałów między okładkami kondensatora a zgromadzonym na nich ładunkiem. Narysowano prostokątny układ współrzędnych z pionową osią oznaczoną wielkimi literami: delta i V oraz z poziomą osią oznaczoną małą literą q. W układ wrysowano wykres schodkowy, rosnący wraz ze wzrostem q. Każdy schodek ma tę samą szerokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i mała litera q z indeksem dolnym jeden. Każdy schodek ma tę samą wysokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i wielka litera V z indeksem dolnym jeden. Pole pod wykresem schodkowym pomalowano na niebiesko. Wzdłuż schodków narysowano czerwoną linię przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Środkowe schodki wraz z czerwoną linią powiększono i przedstawiono je w niebieskim okręgu. W powiększeniu wyraźnie pokazano, że fragment każdego schodka, który wystaje ponad czerwoną linię, idealnie uzupełnia brak pod linią. Wynika z tego, że taki wykres schodkowy można aproksymować właśnie czerwoną linią.

R1NAqJEVqxm7w

Rys. 6. Rysunek drugi przedstawia wykres zależności różnicy potencjałów między okładkami kondensatora a zgromadzonym na nich ładunkiem. Narysowano prostokątny układ współrzędnych z pionową osią oznaczoną wielkimi literami: delta i V oraz z poziomą osią oznaczoną małą literą q. W układ wrysowano wykres schodkowy, rosnący wraz ze wzrostem q. Każdy schodek ma tę samą szerokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i mała litera q z indeksem dolnym jeden. Każdy schodek ma tę samą wysokość oznaczoną na rysunku jako wielka litera delta i wielka litera V z indeksem dolnym jeden. Wzdłuż schodków narysowano czerwoną linię przechodzącą przez początek układu współrzędnych, po czym schodki usunięto z wykresu, pozostawiając jedynie czerwoną funkcję liniową. Obszar pod nią pomalowano na zielono. Maksymalną wartość zgromadzonego ładunku oznaczono wielką literą Q.

Pracę potrzebną do naładowania kondensatora możemy wyrazić jako pole powierzchni tego trójkąta, które obliczamy jako połowę iloczynu długości podstawy i wysokości

Praca wykonana podczas ładowania kondensatora jest równa elektrycznej energii potencjalnej zgromadzonej w kondensatorze (czyli różnicy energii kondensatora naładowanego i nienaładowanego).

Energia ta jest zatem równa:

Ponieważ

to

oraz

Powyżej przedstawiono trzy wzory służące do obliczenia energii naładowanego kondensatora. To, który z tych wzorów należy zastosować, zależy od sytuacji. Jeśli kondensator jest stale podłączony do źródła napięcia, to różnica potencjałów na nim jest wartością stałą. Zmienia się wartość ładunku na okładkach. Jeśli kondensator nie jest podłączony do źródła napięcia, wówczas wartość ładunku na kondensatorze jest stała (ładunek nie ma gdzie „odpłynąć”), może jednak zmieniać się różnica potencjałów między okładkami.

Słowniczek