Warto przeczytać

Tor ruchu to krzywa składająca się ze wszystkich możliwych położeń ciała podczas ruchu. Możemy tę krzywą opisać na różne sposoby. Można opisać ją słowami – na przykład „tor ciała jest linią prostą” – ten sposób przydaje się, gdy zależy nam jedynie na jakościowym opisie ruchu.

Można opisać tor w postaci parametrycznej, czyli w przypadku ruchu odbywającego się na płaszczyźnie podać zależności obu współrzędnych od jakiegoś parametru – na przykład od czasu:

Ten sposób jest wygodny, gdy chcemy wyznaczać położenie ciała w dowolnej chwili czasu, ale często na podstawie tych równań trudno na pierwszy rzut oka określić kształt toru.

Można też krzywą przedstawić w postaci jawnej. Na płaszczyźnie $XY$ jest to równanie postaci $f(x,y) = 0$, z którego może dać się wyznaczyć np. zależność $y(x)$. W przypadku krzywej niezawierającej się w żadnej płaszczyźnie musimy podać dwa równania tego typu,

z których - w zależności od stopnia skomplikowania $F$ i $G$ - można starać się wyznaczać jedną współrzędną z pomocą pozostałych.

W tej postaci łatwiej określić kształt krzywej, natomiast nie da się określić, w której chwili ciało znajdowało się w danym punkcie.

R1Eu3iXS0vqy8

Fot. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia zawodników grających w koszykówkę. Jeden z nich jest w ruchu (podskoku) i rzutu piłki do kosza, reszta osób obseruję tę sytuację.

Rzut ukośny jest ruchem, w którym ciało ma pewną prędkośćPrędkośćprędkość początkową $\vec{v}_0$ i porusza się z przyspieszeniemPrzyspieszenieprzyspieszeniem grawitacyjnym. Jest to ruch odbywający się na płaszczyźnie wyznaczonej przez wektor prędkości początkowej i wektor przyspieszenia.

RzjRCM6p99aRm

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany w postaci czarnych strzałek. Oś wartości skierowana ku górze opisana jest, jako mała litera y. Oś pozioma, skierowana w prawo opisana jest, jako mała litera x. Początek układu opisany jest jako punkt zero. Z punktu zero wychodzi czarna strzałka skierowana ukośnie w górę i w prawo. Kąt pomiędzy strzałką i osią mała litera x oznaczony jest jako mała grecka litera alfa. Strzałka reprezentuje wektor prędkości początkowej w rzucie ukośnym i jest podpisana, jako mała litera v z indeksem dolnym zero i strzałką u góry.

Na Rys. 1. przedstawiona jest właśnie taka sytuacja. Ciało ma prędkość początkową $\vec{v}_0$ skierowaną pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi. Przyspieszenie grawitacyjne jest skierowane pionowo w dół. Ruch ciała będziemy rozpatrywać w dwóch kierunkach: wzdłuż osi $x$ i wzdłuż osi $y$; oś $x$ umieszczamy równolegle do powierzchni Ziemi, oś $y$ pionowo, a cały układ ustawiamy w taki sposób, by wektor prędkości początkowej znajdował się w płaszczyźnie $xy$. Środek układu współrzędnych umieszczamy tam, gdzie znajdowało się ciało w chwili $t = 0$.

Mając układ współrzędnych, możemy zapisać współrzędne wektorów przyspieszenia, prędkości początkowej i położenia początkowego:

gdzie $g$ jest wartością przyspieszenia grawitacyjnego.

Oznacza to, że ruch wzdłuż osi $x$ jest ruchem jednostajnymRuch jednostajnyruchem jednostajnym, bo składowa przyspieszenia wzdłuż tej osi jest równa 0, natomiast ruch wzdłuż osi $y$ będzie ruchem jednostajnie zmiennymRuch jednostajnie przyspieszonyruchem jednostajnie zmiennym – składowa przyspieszenia wzdłuż osi $y$ jest stała.

Zatem równania zależności poszczególnych współrzędnych wektora położenia od czasu będą następujące:

Otrzymane równania są oczywiście parametrycznym opisem toru. Jeśli chcemy otrzymać równanie toru w postaci jawnej – czyli w postaci funkcji $y\left(x\right)$ z pierwszego równania musimy wyznaczyć $t$:

i wstawić otrzymany rezultat do drugiego. Dostaniemy wtedy funkcję

Słowniczek