Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R1CzK0auVSEmz

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do ośmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Dziedziną funkcji przedstawionej na płaszczyźnie jest przedział od minus sześciu do siemiu i pół. Funkcja składa się z czterech ukośnych odcinków. Pierwszy od lewej ma początek w punkcie o współrzędnych $\left(-6;5\right)$ i koniec w punkcie o współrzędnych $\left(-5;3\frac{1}{2}\right)$. Ten punkt jest równocześnie początkiem drugiego odcinka, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(-2\frac{1}{2};4\frac{1}{2}\right)$. Punkt ten jest równocześnie początkiem trzeciego odcinka, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(3;-1\frac{1}{2}\right)$. W tym punckie równocześnie zaczyna się czwarty odcinek, którego koniec znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(7\frac{1}{2};6\right)$.

Rozwiązanie:

Wyobraźmy sobie prostą równoległą do osi $X$, która przesuwa się od najniżej położonego punktu na wykresie funkcji do góry, do punktu położonego najwyżej.

Gdy prosta przetnie się z wykresem funkcji, rzutujemy ten punkt na oś $Y$.

Postępujemy tak do wyczerpania miejsc przecięcia się wykresu i prostej.

Na osi $Y$ otrzymujemy przedział, który jest zbiorem wartości funkcji.

R1evhCKJ8Rmjg

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od punktu $-1\frac{1}{2}$ do punktu $6$, przy czym wyróżniono tu też punkt na wysokości $5$.

W przypadku naszego wykresu jest to przedział $⟨-\mathrm{1,5}; 6⟩$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=⟨-\mathrm{1,5}; 6⟩$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RcUyPKpH3YE0W

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do ośmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Funkcja składa się z czterech części. Pierwsza część to półprosta biegnąca od minus nieskończoności do niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-5;1\frac{1}{2}\right)$. Półprosta ta przechodzi również na przykład przez punkt $\left(-6;3\right)$. Druga część wykresu to ukośny odcinek lewostronnie otwarty o początku w niezamalowanym punkcie $\left(-5;\frac{1}{2}\right)$. i końcu w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-3;-\frac{1}{2}\right)$. Trzecia część to fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie o współrzędnych $\left(0;4\right)$. Lewy koniec znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-3;1\right)$, a prawy symetrycznie względem pionowej osi, czyli w punkcie o współrzędnych $\left(3;1\right)$, który również nie jest zamalowany. Czwarta część wykresu to ukośna półprosta o początku w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(3;-1\right)$ przechodząca przez punkt o współrzędnych $\left(4;0\right)$.

Rozwiązanie:

Postępując podobnie, jak w poprzednim przykładzie, odczytujemy na osi $Y$ zbiór wartości funkcji $f$.

R11S60aMoJ6L3

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od punktu $-1$ do plus nieskończoności, przy czym wyróżniono tu też punkty końcowe poszczególnych części wykresu i zrzutowano je na oś pionową. Są to punkty na następujących wysokościach: $-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 1\frac{1}{2}, 4$.

Otrzymaliśmy przedział $\left.⟨-1, \infty \right)$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨-1, \infty \right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

R1GJulSXRpjOz

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do pięciu. Funkcja składa się z trzech części. Pierwsza część to łuk wybrzuszony w stronę początku układu współrzędnych, biegnący od zamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-7;1\right)$ do niezamalowanego punktu o współrzędnych $\left(-2;5\right)$. Druga część wykresu to poziomy odcinek prawostronnie otwarty o początku w zamalowanym punkcie $\left(-2;1\right)$ i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(1;1\right)$. Trzecia część to ukośny odcinek prawostronnie otwarty o początku w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(0;-2\right)$ i końcu w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(5;-\frac{1}{2}\right)$.

Rozwiązanie:

Postępując podobnie, jak w poprzednich przykładach, odczytujemy na osi $Y$ zbiór wartości funkcji $f$.

R3sJYhUGKceXd

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od zamalowanego punktu na wysokości $-2$ do niezamalowanego punktu na wysokości $-\frac{1}{2}$ i dalej od zamalowanego punktu na wysokości $1$ do niezamalowanego punktu na wysokości $5$. Te wyszczególnione punkty są zrzutowanymi na pionową oś końcami poszczególnych części wykresu.

Otrzymaliśmy zbiór $\left.⟨-2; -\mathrm{0,}5\right)\cup \left.⟨1; 5\right)$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left.⟨-2; -\mathrm{0,}5\right)\cup \left.⟨1; 5\right)$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

Sprawdzimy, która z liczb, należących do zbioru $\left\{-2; -\mathrm{0,5}; 0; 5\right\}$ jest wartością funkcji $f$.

RSbFFbtaHhaIq

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do pięciu. Funkcja składa się z trzech części. Pierwsza część to łukowaty fragment krzywej wybrzuszony w stronę początku układu współrzędnych, przy czym wybrzuszenie to jest przesunięte w kierunku górnego końca tej części wykresu. Początek fragmentu krzywej znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-5\frac{1}{2};1\right)$, a koniec znajduje się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(-2;5\right)$. Druga część wykresu to fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołki w punckie $\left(0;-1\right)$. Lewy koniec fragmentu paraboli znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(-2;-5\right)$, a prawy w zamalowanym punkcie $\left(2;-5\right)$. Trzecia część to łuk znajdujący się w pierwszej ćwiartce układu wybrzuszony w stronę początku układu współrzędnych. Początek łuku znajduje się niezamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(2;5\right)$, natomiast koniec znajduje się w zamalowanym punkcie o współrzędnych $\left(6;1\right)$.

Rozwiązanie:

Postępujemy analogicznie, jak w poprzednich przykładach.

R3lLIGv82dkhm

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i przebiega od zamalowanego punktu na wysokości $-5$ do zamalowanego punktu na wysokości $-1$ i dalej od zamalowanego punktu na wysokości $1$ do niezamalowanego punktu na wysokości $5$. Te wyszczególnione punkty są zrzutowanymi na pionową oś końcami poszczególnych części wykresu.

Otrzymaliśmy zbiór $⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨1, 5\right)$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=⟨-5, -1⟩\cup \left.⟨1, 5\right)$.

Sprawdzamy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji $f$:

$-2\in ⟨-5, -1⟩$, czyli należy do zbioru wartości funkcji $f$. To znaczy, że istnieje takie $x\in D_f$, że $f\left(x\right)=-2$.

$-\mathrm{0,5}\notin Z{W}_f$, to znaczy, że nie istnieje takie $x\in D_f$, że $f\left(x\right)=-\mathrm{0,5}$.

Podobnie liczby $0$ i $5$ nie należą do zbioru wartości funkcji $f$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RcWddSv87RqCf

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Wykres składa się z poziomego odcinka o końcach w zamalowanych punktach o współrzędnych: $\left(-4;2\frac{1}{2}\right)$ oraz $\left(4\frac{1}{2};2\frac{1}{2}\right)$.

Rozwiązanie:

Z wykresu możemy odczytać, że funkcja $f$ przyjmuje tylko jedną wartość, równą $\mathrm{2,5}$ dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji.

RILyS93rKDrdi

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i jest to w tym przypadku zbiór jednoelementowy zawierający punkt na wysokości $2\frac{1}{2}$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left\{\mathrm{2,5}\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

RzseUeRc1UKGF

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. Wykres składa się z siedmiu punktów o następujących współrzędnych: $\left(-4;1\right), \left(-3;-1\right), \left(-2;2\right), \left(-1;3\right), \left(1\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right), \left(3;-1\frac{1}{2}\right), \left(4\frac{1}{2};-3\right)$.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $f$ składa się ze skończonej liczby punktów.

Zbiór wartości funkcji $f$ tworzą drugie współrzędne punktów należących do wykresu funkcji.

R65JiMpbJ2Uzx

Ilustracja przedstawia wyżej opisany wykres funkcji, przy czym tutaj mamy rzut wykresu na oś $Y$. Rzut ten jest zbiorem wartości przyjmowanych przez funkcję i jest to w tym przypadku zbiór siedmioelementowy zawierający punkty na wysokościach: $-3, -1\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2}, 1, 2, 3$.

Możemy zapisać to symbolicznie $Z{W}_f=\left\{-3; -\mathrm{1,5}; -1;-\mathrm{0,5}; 1; 2; 3\right\}$.

to zbiór wszystkich tych liczb, które są wartościami funkcji dla wszystkich jej argumentów