Zbiór wartości funkcji liczbowej to zbiór wszystkich tych liczb, które są wartościami funkcji dla wszystkich jej argumentów.
Wypisanie wszystkich wartości funkcji jest możliwe tylko w przypadku, gdy dziedziną funkcji jest zbiór skończony.
Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór nieskończony, to wypisanie wszystkich wartości funkcji nie jest możliwe.
W takiej sytuacji pomocnym może być wykres funkcji.
Ważne!
Pamiętamy, że wykres funkcji f, to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych , gdzie , a jest wartością funkcji dla argumentu .
Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi .
Poniższe przykłady pokażą nam sposoby wyznaczania zbioru wartości funkcji na podstawie wykresu tej funkcji.
Przykład 1
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu.
R1CzK0auVSEmz
Rozwiązanie:
Wyobraźmy sobie prostą równoległą do osi , która przesuwa się od najniżej położonego punktu na wykresie funkcji do góry, do punktu położonego najwyżej.
Gdy prosta przetnie się z wykresem funkcji, rzutujemy ten punkt na oś .
Postępujemy tak do wyczerpania miejsc przecięcia się wykresu i prostej.
Na osi otrzymujemy przedział, który jest zbiorem wartości funkcji.
R1evhCKJ8Rmjg
W przypadku naszego wykresu jest to przedział .
Możemy zapisać to symbolicznie .
Przykład 2
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu.
RcUyPKpH3YE0W
Rozwiązanie:
Postępując podobnie, jak w poprzednim przykładzie, odczytujemy na osi zbiór wartości funkcji .
R11S60aMoJ6L3
Otrzymaliśmy przedział .
Możemy zapisać to symbolicznie .
Przykład 3
Wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu.
R1GJulSXRpjOz
Rozwiązanie:
Postępując podobnie, jak w poprzednich przykładach, odczytujemy na osi zbiór wartości funkcji .
R3sJYhUGKceXd
Otrzymaliśmy zbiór .
Możemy zapisać to symbolicznie .
Przykład 4
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu.
Sprawdzimy, która z liczb, należących do zbioru jest wartością funkcji .
RSbFFbtaHhaIq
Rozwiązanie:
Postępujemy analogicznie, jak w poprzednich przykładach.
R3lLIGv82dkhm
Otrzymaliśmy zbiór .
Możemy zapisać to symbolicznie .
Sprawdzamy, która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji :
, czyli należy do zbioru wartości funkcji . To znaczy, że istnieje takie , że .
, to znaczy, że nie istnieje takie , że .
Podobnie liczby i nie należą do zbioru wartości funkcji .
Czy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji może być zbiorem jednoelementowym?
Odpowiedź na to pytanie znajdziemy analizując kolejny przykład.
Przykład 5
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu.
RcWddSv87RqCf
Rozwiązanie:
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje tylko jedną wartość, równą dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji.
RILyS93rKDrdi
Możemy zapisać to symbolicznie .
Przykład 6
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu.
RzseUeRc1UKGF
Rozwiązanie:
Wykres funkcji składa się ze skończonej liczby punktów.
Zbiór wartości funkcji tworzą drugie współrzędne punktów należących do wykresu funkcji.
R65JiMpbJ2Uzx
Możemy zapisać to symbolicznie .
Słownik
zbiór wartości funkcji liczbowej
zbiór wartości funkcji liczbowej
to zbiór wszystkich tych liczb, które są wartościami funkcji dla wszystkich jej argumentów