Przeczytaj

Walcem nazywamy bryłę geometryczną, która powstała poprzez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jego bok lub wokół prostej zawierającej jego oś symetrii.

RXvGHcWqjZXmm

Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jego dłuższy bok. Na rysunku zaznaczono także podstawę walca będąca kołem, promień podstawy walca, tworzącą oraz wysokość mającą taką samą długość oraz oś obrotu przechodzącą przez środek podstawy pod kątem prostym.

Prostą, wokół której obracamy prostokąt, nazywamy osią obrotu walcaoś obrotu walcaosią obrotu walca. Prostopadłe do osi obrotu boki zakreślają dwa koła będące podstawami walcapodstawy walcapodstawami walca. Z kolei równoległy do osi obrotu bok prostokąta zakreśla powierzchnię boczną walcapowierzchnia boczna walcapowierzchnię boczną walca. Odcinek przesuwający się prostopadle wzdłuż podstawy walca, który wykreśla powierzchnię boczną, nazywamy tworzącątworząca walcatworzącą walca. Wysokością walca nazywamy każdy odcinek (oraz jego długość), który jest prostopadły do obydwu podstaw walca. W szczególności każda tworząca jest jego wysokościąwysokośćwysokością.

Przykład 1

Mamy prostokąt o wymiarach $\sqrt{2}$ oraz $\frac{7}{5}$ . Obliczymy pole podstawy walca otrzymanego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół:

dłuższego boku,
krótszego boku.

Obliczymy długość tworzącej w obydwu przypadkach.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $\sqrt{2} > \frac{7}{5}$ .

Jeśli walec powstaje w wyniku obrotu wokół dłuższego boku, to jego wymiary są takie jak na rysunku poniżej.
R1cXyCkpVZDOW
Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono także długość promienia podstawy walca r o długości siedem piątych. Promień podstawy jest jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość h będąca jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Odcinek ten ma długość $\sqrt{2}$ .
Pole podstawy $P_{p}$ jest wówczas równe:
$P_{p} = π r^{2} = π \frac{7^{2}}{5^{2}} = \frac{49}{25} π$ .
Z kolei tworząca ma taką samą długość jak wysokość, czyli $\sqrt{2}$ .
W tym przypadku nasz walec wygląda tak:
RRV2SHu50VdPl
Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono także długość promienia podstawy walca r o długości $\sqrt{2}$ . Promień podstawy jest jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość h będąca jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Odcinek ten ma długość siedem piątych.
Zatem nasze pole podstawy wynosi:
$P_{p} = π r^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} π = 2 π$
Tworząca ponownie ma taką samą długość jak wysokość, czyli $\frac{7}{5}$ .

Przykład 2

Pola podstaw walców powstałych w wyniku obrotu prostokąta wokół jego boków wynoszą $36 π$ i $16 π$ ${cm}^{2}$ . Obliczymy długość przekątnej tego prostokąta.

Rozwiązanie:

RjDvhtGwKKLs3

Ilustracja przedstawia walec powstały poprzez obrót prostokąta zawartego wewnątrz bryły. Na rysunku zaznaczono promień podstawy walca oznaczony jako a, będący jednocześnie krótszym bokiem prostokąta. Wewnątrz bryły zaznaczona została także wysokość bryły oznaczona poprzez literkę b, będąca jednocześnie dłuższym bokiem prostokąta. Literką c, zaznaczono przekątną prostokąta.

R136E83Sw95kC

Z pierwszego rysunku widzimy, że:

$π a^{2} = 16 π \Rightarrow a^{2} = 16$ ,

z drugiego mamy:

$π b^{2} = 36 π \Rightarrow b^{2} = 36$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

$a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow c^{2} = 16 + 36 \Rightarrow c = \sqrt{52}$ .

Przykład 3

Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta wokół krótszego boku, który ma długość $7$ . Kąt między przekątnymi tego prostokąta znajdujący się naprzeciwko dłuższego boku ma $120 °$ . Obliczymy promień podstawy tego walca.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od sporządzenia rysunku.

RcT1Z3LCU0Q9j

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi przecinającymi się w punkcie E. Wewnątrz figury został zaznaczony kąt A E B o mierze stu dwudziestu stopni. Przez bok B C poprowadzona została przerywana prosta, będącą osią obrotu.

Wiadomo, że $|A D| = |B C| = 7$ oraz $|∢ A E B| = 120 °$ .

Poprowadźmy wysokość trójkąta $A B E$ . Oznaczmy ją poprzez odcinek $|E F|$ , który ma długość $\frac{7}{2}$ .

R5Hvj8TCSaRmv

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D z zaznaczonymi dwoma przekątnymi przecinającymi się w punkcie E. Powstał trójkąt równoramienny A B E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość na bok A B w punkcie F. Wewnątrz nowego trójkąta prostokątnego A F E zaznaczony został kąt F E A o mierze sześćdziesięciu stopni. Przez bok B C poprowadzona została przerywana prosta, będącą osią obrotu.

Wówczas trójkąt $A F E$ jest trójkątem o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ . Zatem odcinek $|A F|$ ma długość $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ . Wtedy odcinek $|A B|$ , będący promieniem, ma długość $7 \sqrt{3}$ .

Słownik

oś obrotu walca

prosta, wokół której obracany jest prostokąt w celu otrzymania walca

podstawy walca

dwa koła wykreślone przez prostopadłe do osi obrotu boki prostokąta

powierzchnia boczna walca

powierzchnia wykreślana przez równoległe do osi obrotu boki prostokąta

tworząca walca

każdy odcinek równoległy do osi obrotu i łączący brzegi obu podstaw walca

wysokość

każdy odcinek (oraz jego długość), którego końce są zawarte w płaszczyznach zawierających podstawy, będący prostopadły do tych płaszczyzn

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik