Przeczytaj
Nasze rozważania rozpoczniemy od wprowadzenia własności pochodnej sumy dwu funkcji.
Jeśli funkcje , gdzie , są różniczkowalne w dowolnym punkcie , to w punkcie istnieje również pochodna sumy funkcji sumy funkcji oraz
Innymi słowy, pochodna sumy funkcji różniczkowalnych jest równa sumie pochodnych tych funkcji.
Wyznaczymy pochodną funkcji .
Rozwiązanie
Korzystając z powyższego twierdzenia dla funkcji i oraz z wzoru na pochodną funkcji potęgowej, otrzymamy
Wyznaczymy pochodną sumy funkcji postaci i dla .
Rozwiązanie
Skorzystamy z powyższego twierdzenia oraz z wzoru opisującego pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym. Wówczas
.
Własność analogiczna do powyższej zachodzi również dla pochodnej różnicy funkcji.
Jeśli funkcje , gdzie , są różniczkowalne w dowolnym punkcie , to w punkcie istnieje także pochodna różnicy funkcji różnicy funkcji oraz
Tak więc pochodna różnicy funkcji różniczkowalnych to różnica pochodnych tych funkcji.
Pochodna różnicy funkcji w punkcie jest równa różnicy pochodnych funkcji i w tym punkcie. Zauważ, że fakt ten wynika bezpośrednio z poprzedniego twierdzenia, gdyż różnicę funkcji możemy zapisać w postaci .
Wyznaczymy pochodną funkcji dla .
Rozwiązanie
Wykorzystamy powyższe twierdzenie. Pochodną różnicy funkcji w punkcie można wyrazić jako różnicę pochodnych tych funkcji, zatem dla funkcji i , dostaniemy
.
Twierdzenia wyrażające pochodne sumy bądź różnicy dwóch funkcji pozostają prawdziwe dla sumy bądź różnicy dowolnej liczby funkcji, o czym mówi następujące twierdzenie.
Jeśli funkcje , gdzie , , są różniczkowalne w dowolnym punkcie , to w punkcie istnieje również pochodna funkcji oraz
Wyznaczymy pochodną funkcji dla .
Rozwiązanie
Skorzystamy z wprowadzonej wyżej własności. Wówczas
.
W kolejnym twierdzeniu wprowadzimy własność, dzięki której wyznaczymy pochodną dowolnego iloczynu funkcji.
Jeżeli funkcje , gdzie , są różniczkowalne w dowolnym punkcie , to w punkcie istnieje również pochodna iloczynu funkcji iloczynu funkcji oraz
Szczególnym przypadkiem powyższego wzoru jest sytuacja, w której jedna z funkcji występujących w iloczynie jest funkcją stałą.
Jeśli funkcja , gdzie , jest różniczkowalna w dowolnym punkcie oraz , to w punkcie istnieje również pochodna iloczynu oraz
Zauważ, że powyższy wzór bezpośrednio wynika z wcześniejszego twierdzenia. Dla otrzymamy
Wyznaczymy najpierw przykładową pochodną iloczynu funkcji przez stałą.
Wyznaczymy pochodną funkcji .
Rozwiązanie
Zgodnie z wprowadzonym powyżej wzorem, stałą możemy wyłączyć przed znak pochodnej. Zatem dla , uzyskamy .
W kolejnym przykładzie znajdziemy pochodną iloczynu dwu funkcji potęgowych.
Wyznaczymy pochodną iloczynu funkcji postaci .
Rozwiązanie
Stosując wprowadzony powyżej wzór dla funkcji i , pochodna iloczynu będzie postaci .
Powyższe twierdzenia stają się bardzo użyteczne przy wyznaczaniu pochodnych funkcji będących sumą bądź różnicą funkcji potęgowych, co pokażemy w kolejnym przykładzie.
Wyznaczymy pochodną funkcji dla .
Rozwiązanie
Wykorzystując przedstawione twierdzenia dotyczące pochodnych sumy funkcji, różnicy funkcji oraz iloczynu funkcji przez stałą, otrzymamy
.
W kolejnym twierdzeniu poznamy wzór pozwalający wyznaczyć pochodną ilorazu funkcji.
Jeżeli funkcje , gdzie , są różniczkowalne w dowolnym punkcie i dla , to istnieje pochodna ilorazu funkcji ilorazu funkcji oraz
Wyznaczymy pochodną funkcji dla .
Rozwiązanie
Stosując wzór na pochodną ilorazu dla funkcji i , dostaniemy .
Wykorzystamy teraz wszystkie wprowadzone powyżej wzory wyrażające własności arytmetyczne pochodnej.
Wyznaczymy pochodną funkcji .
Rozwiązanie
Korzystając z własności arytmetycznych pochodnej, otrzymamy
.
Słownik
to funkcja , gdzie , zdefiniowana jako
dla wszystkich
to funkcja , gdzie , zdefiniowana jako
dla wszystkich
to funkcja , gdzie , zdefiniowana jako
dla wszystkich
to funkcja , gdzie , zdefiniowana jako
dla wszystkich