Przeczytaj

Geometria fraktalna, czyli zagadnienia związane z obliczeniami wyników funkcji iterowanych IFSIFSIFS, znajduje zastosowanie w kompresji danych.

Przyjrzyjmy się dwóm przykładowym fraktalomfraktalfraktalom zbudowanym z wykorzystaniem IFS. Będą to znane ci już paproć Barnsleya i smok Heighwaya.

Ważne!

W celu graficznego przedstawienia obrazu złożonego z wielu par punktów wygodnie jest użyć modułu matplotlibmatplotlibmatplotlib.

Paproć Barnsleya

Paproć Barnsleya jest fraktalem, który wyróżnia się ze względu na niezwykłe podobieństwo do liści paproci występujących w naturze. Aby utworzyć taki fraktal, należy wielokrotnie (najlepiej ok. 100 000 razy) przekształcać punkt początkowy z wykorzystaniem jednej z czterech funkcji. Funkcji tych trzeba użyć w sposób losowy w proporcjach A : B : C : D wynoszących:

85 : 7 : 7 : 1

Wspomnianymi wcześniej funkcjami są:

f_{1} (x) = (0.85 x + 0.04 y), f_{1} (y) = (- 0.04 x + 0.85 y + 1.6) - e l e m e n t A p r o p o r c j i (85)

f_{2} (x) = (- 0.15 x + 0.28 y), f_{2} (y) = (0.26 x + 0.24 y + 0.44) - e l e m e n t B p r o p o r c j i (7)

f_{3} (x) = (0.20 x - 0.26 y), f_{3} (y) = (0.23 x + 0.22 y + 1.6) - e l e m e n t C p r o p o r c j i (7)

f_{4} (x) = (0), f_{4} (y) = (0.16 y) - e l e m e n t D p r o p o r c j i (1)

Przykład 1

Oto zapisany w postaci pseudokodu algorytm służący do skonstruowania paproci Barnsleya:

paprotka_barnsleya
	utwórz puste tablice X, Y na kolejne wartości x, y
	x, y przypisz współrzędne początkowe (0, 0)

	powtórz n razy:
		q przypisz wartość proporcji od 0 do 100
		w zależności od wartości q wykonaj:
			dla q < 1 oblicz x i y bazując na funkcji (proporcja D)
			dla q < 86 oblicz x i y bazując na funkcji (proporcja A)
			dla q < 93 oblicz x i y bazując na funkcji (proporcja C)
			dla pozostałych q oblicz x i y bazując na funkcji (proporcja B)

		dodaj nowe x, y do tablic X oraz Y

	narysuj obraz zawierający punkty X i Y

Polecenie 1

Przeanalizujmy działanie funkcji generującej rysunek paproci Barnsleya, napisanej na podstawie przedstawionego powyżej pseudokodu.

R3QH7LmM5hYN51

Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Smok Heighwaya

Smok Heighwaya jest obrazem powstającym w wyniku wielokrotnego przekształcenia punktu o współrzędnych (x,y) za pomocą stosowanych naprzemiennie funkcji:

f_{1} (x) = (- 0.4 x - 1), f_{1} (y) = (- 0.4 y + 0.1)

f_{2} (x) = (0.76 x - 0.4 y), f_{2} (y) = (0.4 x + 0.76 y)

Przykład 2

Przeanalizujmy algorytm opisujący tworzenie takiego fraktala:

smok_heighwaya
	utwórz puste tablice X, Y na kolejne wartości x, y
	x, y przypisz współrzędne początkowe (0, 0)

	powtórz n razy:
		wybierz losowo z jednakowym prawdopodobieństwem n 0 lub 1
			jeśli n wynosi 1 wykonaj:
				x = −0.4 * x − 1
				y = −0.4 * y + 0.1
			w przeciwnym wypadku wykonaj:
				x = 0.76 * x − 0.4 * y
				y = 0.4 * x + 0.76 * y

		dodaj nowe x,y do tablic X oraz Y

	narysuj obraz zawierający punkty X i Y

Zdefiniujmy funkcję, która zrealizuje przedstawiony pseudokod w języku Python.

def smok_heighwaya(powtorzen):
	from random import randint
	import matplotlib.pyplot as plt

	X = []
	Y = []
	x, y = 0, 0

	for kolejny in range(powtorzen):
		q = randint(0, 1)

		if q == 1:
			x = -0.4 * x - 1
			y = -0.4 * y + 0.1
		else:
			x = 0.76 * x - 0.4 * y
			y = 0.4 * x + 0.76 * y

		X.append(x)
		Y.append(y)

	# tworzenie wykresu - niebieskie znaki '+'
	plt.plot(X, Y, 'b+')
	plt.show()

Wynikiem działania funkcji będzie następujący obraz:

R1IGfRggeGaJr

Ilustracja przedstawia wykres z funkcją tworzącą smok Heighwaya. Jest to wielokrotnie powtórzona struktura przypominająca odwróconą lustrzanie wyciągniętą literę es. Ustawiono te mniejsze elementy tak, aby tworzyły razem ponownie taki sam kształt jak ta mniesza. Proces ten potwarzany jest aż do wypełnienia ekranu. — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Już wiesz

Podsumujmy najważniejsze elementy bieżącego e‑materiału:

funkcje IFS są używane do generowania fraktali;
moduł matplotlib jest wykorzystywany do generowania rysunków w Pythonie.

Słownik

IFS

(ang. iterated function system) system funkcji iterowanych, wykorzystywany do konstruowania fraktali

fraktal

obiekt samopodobny (taki, którego poszczególne części są podobne do całości)

matplotlib

biblioteka służąca do przedstawienia obrazów złożonych z punktów o współrzędnych x oraz y (wykresów, histogramów, rozkładów itp.); moduł matplotlib nie jest dostępny w standardowej instalacji Pythona; należy go zainstalować, korzystając z mechanizmu pip

Film samouczek

Sprawdź się

Paproć Barnsleya

Smok Heighwaya

Słownik