Przeczytaj
Wykres funkcji wykładniczejfunkcji wykładniczej określonej wzorem , gdzie oraz , możemy dowolnie przekształcać na przykład względem osi układu współrzędnych.
Przekształcenie wykresu funkcji oznacza przesunięcie wykresu funkcji o jednostek w górę dla lub jednostek w dół dla .
Rozpatrzmy funkcje określone wzorami oraz .
Tabele wartości tych funkcji dla niektórych argumentów przedstawiają się następująco:
Argumenty i Wartości Funkcji | |||||
---|---|---|---|---|---|
Argumenty i Wartości Funkcji | |||||
---|---|---|---|---|---|
Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych:
Zauważmy, że wykres funkcji możemy otrzymać poprzez przesunięcie wykresu funkcjiprzesunięcie wykresu funkcji o jednostkę w dół.
Porównajmy niektóre własności dla obu tych funkcji:
zbiorem wartości funkcji jest przedział , funkcji przedział ,
wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych , zaś wykres funkcji przez punkt o współrzędnych ,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta , a wykresu funkcji prosta ,
funkcja nie ma miejsc zerowych, a miejscem zerowym funkcji jest liczba .
Dla wykresów funkcji określonych wzorami oraz zachodzą następujące własności:
funkcje mają te same dziedziny, ale różne zbiory wartości,
wykresy mają różne asymptoty poziome,
przesunięcie wykres funkcji w dół powoduje powstanie miejsca zerowego.
Przesunięcie w górę lub w dół wykresu funkcji wykładniczej nie zmienia monotoniczności tej funkcji. Funkcje przed i po przesunięciu wykresu są różnowartościowe.
Naszkicujemy wykres oraz określimy kilka własności funkcji zadanej wzorem .
Wykres funkcji przedstawia się następująco:
Odczytujemy własności funkcji z wykresu:
zbiorem wartości tej funkcji jest przedział ,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta ,
punkt przecięcia z osią ma współrzędne ,
miejscem zerowym jest liczba ,
funkcja jest malejąca,
dla argumentów mniejszych od funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Nie każdy wykres funkcji wykładniczej po przesunięciu wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych będzie miał miejsce zerowe.
Funkcje określone wzorami , oraz nie mają miejsc zerowych, ponieważ ich wykresy znajdują się nad osią układu współrzędnych.
Określmy funkcję wzorem . Niech . Wyznaczymy:
a) zbiór wartości funkcji ,
b) miejsca zerowe funkcji .
Rozwiązania:
a) ponieważ wykres funkcji otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji o jednostki w dół wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych, zatem zbiorem wartości jest przedział .
b) funkcję zapiszemy wzorem .
Do wyznaczenia miejsc zerowych rozwiążemy równanie:
, czyli .
Równanie możemy zapisać w postaci , zatem z tego, że funkcja jest różnowartościowa
, więc .
Miejscem zerowym funkcji jest liczba .
Słownik
funkcja postaci , gdzie oraz
przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi o jednostek w górę lub w dół