Warto przeczytać

Wiarygodny pomiar masy od starożytności był ważną działalnością techniczną człowieka, gdyż umożliwiał sprawny, rzetelny i uczciwy handel. Wyznaczanie masy ciał było na tyle istotne, że ówcześni ludzie uznali za stosowne uwiecznienie tego procesu, jak widać na Rys. 1. i Rys. 2., w różnych dziełach sztuki – na malowidłach ściennych, na obrazach i na zdobionych wazach. Jak wyznaczano masę ciał w zamierzchłych czasach?

R19oKcPcCC3Df

Rys. 1. Reprodukcja staroegipskiego papirusu przedstawia scenę pomiaru masy. Jest to fragment większego papirusu przedstawiającego Sąd nad umarłym. W centralnej części pokazana jest waga szalkowa w postaci pionowego czarnego słupka, do wierzchołka którego przymocowano belkę podpartą w połowie o pionowy słupek. Ramiona belki po prawej i lewej stronie są jednakowej długości. Na końcach ramion zawieszono identyczne szalki. Na lewej szalce widoczny jest małe gliniane naczynie, a na prawej mały kwiat. Waga jest w położeniu równowagi. Obok słupka, pod szalkami, z lewej strony pokazano boga Anubisa, przedstawionego jako człowieka z głową szakala. Anubis klęczy i wskazuje na wagę. Bóg ten w mitologii egipskiej łączony był z życiem pozagrobowym i mumifikacją. Po prawej stronie od słupka, pod ramieniem wagi widoczna jest druga postać to Ammit, według wierzeń Egipcjan to właśnie w nim ukryta była dusza. Pokazany jako demon z głową krokodyla, tułowiem lwa i zadem hipopotama. Po lewej stronie od wagi raz jeszcze pokazano boga Anubisa, patrzącego w prawą stronę. Po prawej stronie wagi widoczny jest bóg Thot, uosobienie mądrości i rozwagi, przedstawiony jako człowiek z głową ibisa, patrzy w lewo. Nad wagą widoczne są bardzo liczne hieroglify.

RM8sYt8cqu6v4

Rys. 2. Reprodukcja szesnastowiecznej, indyjskiej ryciny przedstawia scenę ważenia. Pod czerwonym baldachimem pokazano drewnianą wagę szalkową, na której cesarz waży swojego syna w złocie. Na prawej szalce wagi siedzi chłopiec, a na lewej umieszczono złoto. Szalka, na której siedzi chłopiec znajduje się niżej niż szalka z kruszcem, zatem masa chłopca jest większa niż masa złota. Przed chłopcem stoi mężczyzna, prawdopodobnie jego ojciec cesarz, za plecami chłopca stoi grupa mężczyzn, czterech ustawionych jest w szeregu.

Na Rys. 1. widać wyobrażenia wagi szalkowej ze starożytnego Egiptu, a na Rys. 2. z szesnastowiecznych Indii. Przyjrzyjmy się konstrukcji wagi szalkowej, przedstawionej na Rys. 3.

R1TFpydwXOOHC

Rys. 3. Rysunek przedstawia schemat wagi szalkowej. Waga składa się z poziomej podstawy i pionowego słupka. Do górnej części słupka przymocowana jest belka stanowiąca ramiona wagi. Lewe ramię szalki ma długość opisaną małą literą r z indeksem dolnym jeden. Prawe ramię ma długość opisaną małą literą r z indeksem dolnym dwa. Długości ramion wagi stanowią wartości wektorów ramion siły przyłożonych do końca poszczególnych ramion szalki. Na końcach ramion zamocowano szalki narysowane w postaci półkola. Na lewej i prawej szalce znajdują się odważniki. Odważniki wyglądają jakby były tej samej wielkości. Lewa szalka znajduje się niżej niż prawa. Do lewej szalki przyłożono wektor siły wielka litera F z indeksem dolnym jeden, a do prawej szalki przyłożono wektor siły wielka litera F z indeksem dolnym dwa. Wektory sił narysowano w postaci pionowych niebieskich strzałek skierowanych pionowo w dół. Wektory sił mają podobne długości.

Zasada działania tej wagi opiera się na równowadze dźwigni dwustronnej o równych długościach ramienia. Zawieszona poziomo poprzeczna belka ma przymocowane do końców równej masy szalki. Położenie ciała na takiej szalce sprawia, że przyłożona do niego siła grawitacji wytwarza siłę nacisku na szalkę, dzięki czemu powstaje moment siły obracający belkę. Aby zrównoważyć wagę, należy na przeciwległej szalce umieścić ciężar, który wytworzy taki sam moment siły. Ponieważ długości ramion belki $r_1$ i $r_2$ są sobie równe, to znaczy, że w stanie równowagi masa umieszczona na drugiej szalce musi być taka sama, jak ta na pierwszej szalce. Do zrównoważenia wagi służą odważniki o znanej masie, których dokładanie i zdejmowanie pozwala zobaczyć, na którą stronę przechyla się wskazówka wagi. Po osiągnięciu stanu równowagi można odczytać i zsumować masę użytych obciążników, ustalając tym samym, jaka jest masa nieznanego obiektu. Wagi te potrafią być bardzo precyzyjne. Używane były w laboratoriach, jednakże zasadniczym problemem jest konieczność stosowania wspomnianych obciążników, co czyni proces ważenia czasochłonnym (a zgubienie odważnika – kosztownym). Z tego powodu do użytku weszły wagi sprężynowe, zaprezentowane na Rys. 4.

RpKGZLpqZebcP

Rys. 4. Zdjęcie przedstawia metalowy siłomierz nazywany również wagą sprężynową. Siłomierz pokazano na tle białej ściany budynku i fragmentu drewnianego dachu. Siłomierz wisi na okrągłym metalowym uchwycie na gwoździu wbitym w drewniany legar dachu. Siłomierz to mosiężna blaszka, w której w dolnej części wyryta jest pionowa skala i suwak wskazujący wynik pomiaru. Poniżej blaszki umieszczony jest hak, na którym zawieszano przedmiot, którego masę mierzono. Na odwrocie blaszki umieszczona jest sprężyna, która pod wpływem obciążenia rozciąga się i przesuwa suwak widoczny obok skali. Im bardziej rozciągnięta jest sprężyna tym niżej jest suwak i tym większą masę wskazuje urządzenie.

Wagi sprężynowe również trzeba zrównoważyć. Jednak w przeciwieństwie do wagi szalkowej, gdzie równowaga zachodzi pomiędzy dwoma siłami nacisku, w wadze sprężynowej mamy do czynienia z równowagą pomiędzy siłą nacisku a siłą sprężystości. Położenie ciężaru na szalce sprawia, że ugina się sprężyna o stałej sprężystości $k$, skracając się o dystans $\Delta x$. Powoduje to powstanie siły sprężystości o wartości $F=k\Delta x$. Im większa masa na szalce, tym większe musi być skrócenie sprężyny, aby zrównoważyć ciężar tej masy. Równowaga zachodzi, gdy $mg=k\Delta x$, a ponieważ $g$ i $k$ to znane stałe fizyczne, to de facto pomiar na wadze sprężynowej jest pomiarem długości skrócenia sprężyny. W praktyce układ łączy się ze wskazówką, która wraz ze zmianą długości sprężyny obraca się dookoła wyskalowanej w kilogramach skali.

Wagi sprężynowe to nie jedyny wynalazek, który pozwolił na ważenie bez użycia obciążników o zmiennej masie. Rys. 5. przedstawia wagę kolumnową, obecną kiedyś w każdej szkole. Waga ta również korzysta z zasady działania dźwigni dwustronnej, jednakże tym razem ramiona dźwigni mają różną długość. Równowaga oznacza, że ${\overrightarrow{r}}_1\times {\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{r}}_2\times {\overrightarrow{F}}_2$. Osoba stająca na podeście obciąża ukryty w kolumnie i głowicy wagi mechanizm, który sprawia, że do ramienia wagi, w małej odległości od jego osi obrotu, przykładany jest ciężar. W efekcie, wytworzony moment siły jest niewielki, mimo znacznej masy. Równowagę zapewnia się przez przesuwanie ciężarka po dłuższym ramieniu – po skali, wyskalowanej w kilogramach.

Rld1xx5LrZRtT

Rys. 5. Zdjęcie przedstawia wagę kolumnową, wykorzystywaną często w szkołach, gabinetach lekarskich zanim pojawiły się wagi elektroniczne. Waga jest w kolorze białym, składa się z pionowego słupka, u góry znajduje się metalowy mechanizm pomiarowy. Mechanizm pomiarowy składa się z dwóch równoległych poziomych prętów. Dolny pręt służy do mocowania wagi na słupku oraz do pomiaru szacunkowego masy. Pomiędzy dwoma punktami mocowania umieszczony jest duży ciężarek, który może być przesuwany wzdłuż pręta. Na górnym pręcie umieszczony jest mały odważnik, który może być przesuwany wzdłuż pręta. Na górnym i dolnym pręcie znajduje się noniusz, z którego odczytuje się wynik pomiaru. Po prawej stronie umieszczone są dwa zaostrzone pręty przymocowane do słupka wagi i do dwóch poziomych metalowych prętów. Czubki tych prętów skierowane są naprzeciw siebie. Po odpowiednim ustawieniu położeń ciężarków ostrza prętów znajdują się dokładnie naprzeciw siebie, na tej samej wysokości. Waga znajduje się wtedy w położeniu równowagi, a z noniuszy można odczytać wynik pomiaru masy.

Postęp technologiczny przyniósł nam jednak coś więcej, niż tylko kolejne usprawnienia mechaniczne – przyniósł nam rozwiązania elektroniczne. Dwa przykłady zaprezentowano na Rys. 6. To odpowiednio waga tensometryczna i waga kwarcowa. Jak działają?

RheziYDxj9lSq

Rys. 6. Pokazano dwa zdjęcia. Po lewej przedstawiono wagę elektroniczną w postaci płaskiego urządzenia o kształcie prostopadłościanu. Dolna część prostopadłościanu jest biała, a górna metalowa. Na frontowej ściance dolnej części umieszczony jest wyświetlacz ciekłokrystaliczny na czarnym panelu kontrolnym z czerwonymi przyciskami. Z wyświetlacza odczytywany jest wynik pomiaru masy. Górna, metalowa część służy do umieszczenia na niej przedmiotu lub osoby, którego lub której masa będzie mierzona. Prawe zdjęcie przedstawia wagę kwarcową w postaci cienkiego, okrągłego metalowego dysku. Na środku dysku widoczne jest żółte koło i żółty pas odchodzący w lewo. Od żółtego koła w prawo odchodzi brązowy pas. Do boków dysku przymocowane są dwa druciki przymocowane do dwóch pionowych, metalowych szpikulców. Szpikulce zamocowane są w metalowej poziomej poprzeczce.

Tensometry to urządzenia służące do pomiarów naprężeń, pozwalające zamienić odkształcenie urządzenia na wielkość elektryczną. Przykładem niech będą tensometry oporowe. Bazują one na ściskaniu i rozciąganiu drutów oporowych pod wpływem przyłożonych do nich sił. Ściśnięcie takiego drutu zmienia wartość jego oporu elektrycznegoOpór elektrycznyoporu elektrycznego. Zmianę tę można zmierzyć w układzie elektronicznym, a następnie przeskalować na pożądane jednostki, jak gramy czy kilogramy. W ten sposób funkcjonują współczesne wagi kuchenne, jubilerskie, łazienkowe i proste wagi laboratoryjne. Jeśli jednak chcemy zmierzyć bardzo niewielką masę, zmiany związane z odkształceniem mogą być zbyt małe w stosunku do możliwości tensometrów. Możemy wtedy skorzystać z wag kwarcowych. Kwarc to kryształ, będący piezoelektrykiemPiezoelektrykpiezoelektrykiem. Po przyłożeniu do niego napięcia, kwarc odkształca się. Przyłożenie zmiennego napięcia o dobrze dobranej częstotliwości, tak zwanej częstotliwości rezonansowej, wprawia kryształ w regularne drgania o znanej częstotliwości. Jeśli taki drgający kryształ połączy się z szalką, jak na Rys. 6., ona również będzie drgała. Kiedy przymocuje się do szalki niewielki ciężar, zwiększy to jej bezwładność, a w efekcie zmieni się częstotliwość drgań. Pomiar zmiany częstotliwości można przeliczyć na pomiar masy, z dokładnością do nanogramów! Podobne urządzenia wykorzystuje się w ultraprecyzyjnych pomiarach laboratoryjnych, na przykład do wyznaczenia masy pojedynczej komórki bakterii.

Warto zwrócić uwagę na to, że dopiero ostatni z omówionych przykładów przy wyznaczaniu masy nie korzysta z pomiaru siły grawitacji ważonego obiektu, tylko wykorzystuje bezwładność tej masy. Ta uwaga otwiera nam nowe możliwości – pomiar masy w przestrzeni kosmicznej, gdzie nie mamy możliwości, aby „stanąć na wadze”, gdyż waga, mierząca de facto siłę grawitacji, wskazywałaby „0”. Tymczasem pomiar masy w kosmosie ma znaczenie chociażby dla kondycji medycznej astronautów przebywających na Międzynarodowej Stacji Kosmicznej. Nasze ciała ewoluowały w ziemskim polu grawitacyjnym i cały układ kostno‑szkieletowy oraz układ krążenia dostosowane są do pracy w warunkach skierowanej pionowo w dół siły grawitacji. Orbitując wokół Ziemi lub będąc w trakcie misji kosmicznej, astronauci doświadczają stanu nieważkości, co prowadzi do istotnych zmian w ich ciele, w tym utraty masy mięśniowej i kostnej. Muszą zatem podejmować codzienne treningi, aby utrzymać odpowiednie parametry ciała. Pomiar masy ciała jest jednym z narzędzi do oceny ich stanu fizycznego. Jak odbywa się pomiar masy w przestrzeni kosmicznej?

Ponieważ w warunkach nieważkości nie możemy wykorzystać masy jako źródła siły grawitacji, wykorzystuje się masę jako miarę bezwładności. Pierwsze z dwóch urządzeń, które omówimy, nosi akronim SLAMMD, od Space Linear Acceleration Mass Measurement Device, czyli urządzenie do pomiaru liniowego przyspieszenia w celu pomiaru masy. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, jeśli do ciała o masie $m$ przyłożona jest siła $\overrightarrow{F}$, wówczas ciało to będzie poruszać się z przyspieszeniem $a=\frac{F}{m}$. Urządzenie SLAMMD składa się z platformy, której chwyta się astronauta. Następnie platforma wypychana jest ze znaną siłą $\overrightarrow{F}$, a układ czujników mierzy przyspieszenie, jakie osiąga astronauta. Po obliczeniu $m=\frac{F}{a}$ otrzymujemy masę astronauty.

Drugie z urządzeń nosi akronim BMMD, od Body Mass Measurement Device, czyli urządzenie do pomiaru masy. W nazwie tym razem nie kryje się zasada działania – opiera się ona, podobnie jak w przypadku rezonatora kwarcowego, na pomiarze zmiany częstotliwości oscylacji układu. Układ składa się z poruszającego się regularnie ze znaną częstotliwością $f_0$ chwytaka, którego chwyta się astronauta tak, że również oscyluje wraz z tym chwytakiem. Częstotliwość oscylacji zmienia się o $\Delta f$, ponieważ zwiększa się bezwładność układu, a nie zmienia się siła wymuszająca drgania. Na Rys. 7. widoczne jest urządzenie w trakcie pracy.

Rv0jXI1uJ8lJ2

Rys. 7. Zdjęcie przedstawia astronautę w międzynarodowej stacji kosmicznej, dokonującego pomiaru swojej masy. Urządzenie do pomiaru masy ma kształt niebieskiego słupka z dwoma chwytakami u dołu i oparciem na klatkę piersiową u góry. Astronauta ubrany w szare spodnie i żółtą koszulkę pokazany jest w pozycji, w której układa klatkę piersiową na górnym oparciu urządzenia i obiema rękami łapie za chwytaki poniżej. Wygląda to tak, jakby przytulał się do urządzenia. Urządzenie wykonuje samoczynnie ruch oscylacyjny ze stałą częstotliwością zależną od jego masy. Kiedy "przytulony" astronauta zwiększa masę układu, częstotliwość oscylacji maleje. Z różnicy częstotliwości wyznaczana jest masa. W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że rozpatrując ruch drgający, zmiana masy układu jest proporcjonalna do odwrotności różnicy kwadratów częstotliwości oscylacji urządzenia bez i z astronautą. W tle widać białe pomieszczenie stacji kosmicznej z różnego rodzaju aparaturą przymocowaną do ścian. Z tyłu pomieszczenia widoczny jest inny astronauta wykonujący pracę w stacji kosmicznej.

To tylko kilka przykładów na to, jak można mierzyć masę ciał – w przypadku układów atomowych lub astronomicznych oczywiście również korzysta się z innych relacji fizycznych, niż nacisk obiektu na wagę. Zachęcamy do samodzielnej lektury w tym zakresie.

Słowniczek