Warto przeczytać

Dobrym sposobem na porównanie różnych zmiennych przebiegów napięcia jest „sprowadzenie” ich pod względem energetycznym do napięcia stałego.

Gdy napięcie jest stałe, wydzieloną w ciągu czasu ∆t na oporniku energię obliczamy następująco: $\Delta W=IU\Delta t$, gdzie I jest natężeniem prądu płynącego przez opornik, U - napięciem przyłożonym do jego końców. Oczywiście, wzór możemy przekształcić, korzystając z prawa Ohma i zapisać:

$\Delta W=I^{2}R\Delta t$ albo $\Delta W=\frac{U^2}{R}\Delta t$.

Dla napięcia zmieniającego się w czasie, nie możemy w tak prosty sposób obliczyć wydzielonej energii, gdyż w ciągu czasu ∆t napięcie ulega zmianie. Dlatego musimy zastosować metodę sumowania małych ∆W przy ∆t dążących do zera. Taka operacja nazywa się całkowaniem. Graficznym odpowiednikiem wartości całki jest pole powierzchni pod wykresem $W\left(t\right)$.

Wprowadzimy teraz pojęcie mocymoc elektrycznamocy skutecznej (średniej) prądu zmiennego. Moc skuteczna równa jest liczbowo energii wydzielonej na oporniku wskutek jego przepływu, podzielonej przez czas, w którym ten prąd płynie. Zapiszmy to symbolicznie:

gdzie W oznacza energię wydzieloną w oporniku w ciągu czasu T.

To właśnie moc skuteczna jest wielkością charakteryzującą pod względem energetycznym każdy prąd okresowo zmienny w czasie. Możemy sobie teraz wyobrazić napięcie stałe w czasie, dla którego moc ma tę samą wartość. Zapiszemy wtedy:

gdzie P_ oznacza moc napięcia stałego, a UIndeks dolny sk_sk - takie napięcie stałe, dla którego zachodzi równość: PIndeks dolny Sk_Sk = P_. To napięcie nazywa się napięciem skutecznymnapięcie skuteczne (okresowo zmiennego napięcia)napięciem skutecznym UIndeks dolny sk_sk napięcia okresowo zmiennego.

Zobaczmy, jaka jest jego wartość, w przypadku napięcia przemiennego o przebiegu sinusoidalnym.

Wykres U(t) dla jednego okresu napięcia przemiennego, wyrażonego funkcją $U\left(t\right)=U_{max}\cdot sin(\omega t)$, przedstawiony jest na rysunku 1.

R15l5ZLv90UDu

Rys. 1. Rysunek przedstawia fioletowy wykres jednego okresu funkcji sinus naniesiony na szarą prostokątną siatkę, stanowiący wykres zależności napięcia opisanego wielką literą U od czasu opisanego małą literą t.

Na Rys. 2. pokazano wykres P(t), mocy chwilowej wydzielonej na oporniku o wartości R w funkcji czasu, obliczonej ze wzoru $P=\frac{{U(t)}^2}{R}$.

RLfWHbSvOScSf

Rys. 2. Rysunek przedstawia czerwony wykres funkcji sinus podniesionej do kwadratu naniesiony na szarą prostokątną siatkę, stanowiący wykres zależności mocy opisanej wielką literą P od czasu opisanego małą literą t. Wykres ten stanowi kwadrat jednego okresu funkcji sinus. Przyjmuje wartości zero, gdy funkcja sinus przyjmuje wartości zero. Gdy funkcja sinus przyjmuje wartość maksymalną lub minimalną wykres tej funkcji przyjmuje wartość maksymalną oznaczoną niebieską, poziomą przerywaną linią i ułamkiem, w którego liczniku znajduje się wielka litera U z indeksem dolnym „max” wzięta do kwadratu, a w mianowniku znajduje się wielka litera R.

Maksymalna moc wydzielana jest w tych chwilach, w których wartość bezwzględna napięcia jest maksymalna, co zostało zaznaczone na wykresie.

Pole powierzchni pod wykresem P(t) jest miarą energii wydzielonej na oporniku w ciągu okresu. Obliczenie wartości tego pola wydaje się bardzo trudne. Zauważ jednak, że krzywa P(t) ma kształt przesuniętej sinusoidy. Stąd widzimy, że przecięcie tej krzywej w połowie da identyczne fragmenty krzywej nad i pod linią cięcia. Łatwo teraz obliczyć pole pod krzywą. Wystarczy postąpić tak, jak pokazuje to rysunek 3.

R7KBPJrKZvQyj

Rys. 3. Rysunek przedstawia czerwony wykres funkcji sinus podniesionej do kwadratu naniesiony na szarą prostokątną siatkę, stanowiący wykres zależności mocy opisanej wielką literą P od czasu opisanego małą literą t. Wykres ten stanowi kwadrat jednego okresu funkcji sinus. Przyjmuje wartości zero, gdy funkcja sinus przyjmuje wartości zero. Gdy funkcja sinus przyjmuje wartość maksymalną lub minimalną wykres tej funkcji przyjmuje wartość maksymalną oznaczoną niebieską, poziomą przerywaną linią i ułamkiem, w którego liczniku znajduje się wielka litera U z indeksem dolnym „max” wzięta do kwadratu, a w mianowniku znajduje się wielka litera R. Pole pod wykresem funkcji pomalowano na zielono. W wykres wrysowano także ciągłą, niebieską, poziomą linię oznaczoną ułamkiem, w którego liczniku znajduje się wielka litera U z indeksem dolnym „max” wzięta do kwadratu, a w mianowniku dwa i wielka litera R. Na rysunku pokazano, że częścią pola funkcji znajdującą się ponad tą linią można uzupełnić pole funkcji znajdujące się pod linią w taki sposób by powstał prostokąt o wysokości równej połowie wartości maksymalnej funkcji oraz szerokości opisanej wielką literą T.

W wyniku tej operacji otrzymujemy prostokąt. Energia wydzielona na oporniku, gdy napięcie przyłożone do niego jest sinusoidalnie zmienne, w ciągu okresu równa jest polu prostokąta: $\frac{U_{max}^2}{2R}\cdot T$ . Wobec tego, moc skuteczna (średnia) wynosi$$$P_{\mathrm{\text{sk}}}=\frac{U_{max}^2}{2R}$ .

Skorzystamy teraz z definicji napięcia skutecznegonapięcie skuteczne (okresowo zmiennego napięcia)napięcia skutecznego. Przyrównamy obliczoną moc do mocy wydzielanej na oporniku zasilanym napięciem stałym skutecznym, czyli PIndeks dolny sk_sk = P_. Otrzymamy:

Skąd, po przekształceniu, mamy:

Taki jest więc związek napięcia skutecznego z napięciem maksymalnym dla prądu przemiennego o przebiegu sinusoidalnym.

Rozważaliśmy na razie pojęcie napięcia skutecznego - a jaka jest wartość natężenia skutecznegonatężenie skuteczne (okresowo zmiennego natężenia prądu)natężenia skutecznego? Zdefiniowane jest analogicznie do napięcia skutecznego. Jeśli skorzystamy z prawa Ohmaprawo Ohmaprawa Ohma, to otrzymamy identyczną zależność między maksymalną wartością natężenia prądu a jego wartością skuteczną. Podzielmy uzyskany związek napięć obustronnie przez R.

Napięcie skuteczne UIndeks dolny sk_sk podzielone przez opór R, to skuteczne natężenie prądu IIndeks dolny sk_sk, a wiec dla prądu przemiennego:

Ten sam związek uzyskalibyśmy, przeprowadzając rozumowanie analogiczne do przestawionego wyżej dla napięcia, jeśli zastosowalibyśmy wzór na moc prądu w postaci:  $P\left(t\right)={I(t)}^2\cdot R$.

Słowniczek