Warto przeczytać

Okres drgańokres drgań (T)Okres drgań to czas wykonania jednego pełnego drgania. Okres drgańokres drgań (T)Okres drgań wahadła (Rys. 1.) to najkrótszy czas powrotu wahadła do położenia odpowiadającego tej samej fazie drgańfaza drgańfazie drgań. Położenie równowagi wahadła nie musi odpowiadać tej samej fazie drgańfaza drgańfazie drgań, gdyż przechodząc przez to położenie, wahadło może poruszać się w przeciwne strony. W ciągu okresu wahadło przebywa drogę równą czterem amplitudom i dwa razy przechodzi przez położenie równowagi.

RCdBz3O4fh695

Rys. 1. Ilustracja składa się z pięciu rysunków pokazujących kolejne fazy ruchy wahadła, czyli kulki zawieszonej na nitce. Pod każdym rysunkiem zapisano czas. Pierwszy rysunek, w chwili małe t równe zero, przedstawia wahadło wychylone maksymalnie w lewo. Nitka tworzy kąt ostry z pionową linią przerywaną wychodzącą z punktu zaczepienia górnego końca nitki. Drugi rysunek, w chwili małe t równe jedna czwarta okresu, przedstawia wahadło w położeniu równowagi. Nitka ma kierunek pionowy. Pod kulką wahadła narysowano poziomy wektor prędkości kulki, skierowany w prawo. Trzeci rysunek, w chwili małe t równe jedna druga okresu, przedstawia wahadło wychylone maksymalnie w prawo. Czwarty rysunek, w chwili małe t równe trzy czwarte okresu, przedstawia wahadło w położeniu równowagi. Nitka ma kierunek pionowy. Pod kulką wahadła narysowano poziomy wektor prędkości kulki, skierowany w lewo. Piąty rysunek, w chwili małe t równe jeden okres, przedstawia wahadło wychylone maksymalnie w lewo.

Podobna sytuacja występuje podczas drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie (Rys. 2.). Ciężarek znajdujący się w chwili początkowej w położeniu x = A wraca do tego położenia po czasie równym okresowi drgań T.

R16BpGTNDGkDZ

Rys. 2. Ilustracja składa się z pięciu rysunków pokazujących kolejne fazy ruchy ciężarka zawieszonego na sprężynie. Pod każdym rysunkiem zapisano czas. Przy każdym rysunku znajduje się pionowa oś, na której odłożono położenie ciężarka, oznaczone literą małe x. Na osi zaznaczono punkt zero oraz dwa punkty równoodlegle od punktu zero. Nad punktem zero znajduje się punkt oznaczony jako wielkie A, pod punktem zero, punkt oznaczony jako minus wielkie A. Pierwszy rysunek, w chwili małe t równe zero, przedstawia ciężarek wychylony maksymalnie w górę. Ciężarek znajduje się w położeniu wielkie A. Drugi rysunek, w chwili małe t równe jedna czwarta okresu, przedstawia ciężarek w położeniu równowagi. Ciężarek znajduje się w położeniu zero. Obok ciężarka narysowano pionowy wektor prędkości kulki, skierowany w dół. Trzeci rysunek, w chwili małe t równe jedna druga okresu, przedstawia ciężarek wychylony maksymalnie w dół. Ciężarek znajduje się w położeniu minus wielkie A. Czwarty rysunek, w chwili małe t równe trzy czwarte okresu, przedstawia ciężarek w położeniu równowagi. Ciężarek znajduje się w położeniu zero. Obok ciężarka narysowano pionowy wektor prędkości kulki, skierowany w górę. Piąty rysunek, w chwili małe t równe jeden okres, przedstawia ciężarek wychylony maksymalnie w górę. Ciężarek znajduje się w położeniu wielkie A.

Rejestracja zmian położenia ciężarka na sprężynie (Rys. 3.), poruszającego się ruchem drgającym wokół położenia równowagi (x = 0), umożliwia obserwację wykresu zależności wychylenia od czasu x(t). Jeśli wykres ma kształt przedstawiony na Rys. 3., to jest opisany funkcją harmoniczną (np. sinus lub cosinus).

RNZ4HQO6T4CAv

Rys. 3. Na rysunku z lewej strony znajduje się ciężarek zawieszony na sprężynie. Na prawo od niego narysowano układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas oznaczony literą małe t, a na osi pionowej położenie ciężarka oznaczone literą małe x. Początek układu, który wskazuje położenie ciężarka w stanie równowagi, oznaczono cyfrą zero. Ciężarek na rysunku znajduje się w położeniu poniżej osi poziomej. W układzie narysowano wykres o kształcie sinusoidy. Wykres zaczyna się na osi pionowej poniżej punktu zero, w puncie wyznaczonym przez położenie ciężarka. Następnie wznosi się w górę i w prawo, aż osiągnie maksimum w punkcie nad osią poziomą. Dalej opada w prawo i w dół, osiągając minimum pod osią poziomą, na tym samym poziomie co punkt początkowy wykresu. Na rysunku widoczne jest jeszcze jedno maksimum i minimum. Narysowano 2 poziome odcinki zakończone strzałkami. Jeden z nich zaczyna się na osi pionowej w punkcie początkowym wykresu, gdzie wykres ma pierwsze minimum, a kończy się w drugim minimum. Drugi odcinek zaczyna się na w pierwszym maksimum wykresu, a kończy się w drugim maksimum. Oba odcinki oznaczono literą wielkie T.

Takie drgania zwane są drganiami harmonicznymi, a zależność wychylenia od czasu opisuje równanie:

gdzie $A$ to amplituda drgań, $\omega$ – częstość kołowaczęstość kołowa drgań (ωomega)częstość kołowa, $(\omega t+\phi )$ – faza drgańfaza drgańfaza drgań, a $\phi$ – faza początkowa, czyli faza drgańfaza drgańfaza drgań dla t = 0. W przypadku wykresu na Rys. 5. faza początkowa $\phi =-\pi /2$.

Funkcja sinus, której argumentem jest kąt wyrażony w radianachRadian (rad)radianach, jest funkcją okresową o okresie $2\pi$. Na wykresie x(t) na osi poziomej jest czas, więc okres T jest wyrażany w sekundach.

Okres drgań T jest związany z częstością kołowączęstość kołowa drgań (ωomega)częstością kołową (odpowiednikiem prędkości kątowej w ruchu jednostajnym po okręgu) równaniem:

Częstotliwość drgań f, czyli liczbę drgań na sekundę, można obliczyć jako odwrotność okresu T:

Okres drgańokres drgań (T)Okres drgań oscylatora harmonicznegooscylator harmonicznyoscylatora harmonicznego zależy od rodzaju i własności fizycznych drgającego układu.

W przypadku ciężarka zawieszonego na sprężynie okres drgańokres drgań (T)okres drgań T zależy od masy m ciężarka i stałej sprężystości sprężyny k:

Natomiast okres drgańokres drgań (T)okres drgań wahadła matematycznego (którego dobrym przybliżeniem jest zawieszona na długiej i nieważkiej nici kulka) przy małych kątach odchylenia od pionu nie zależy od masy i wynosi:

gdzie l to długość nici, g – przyspieszenie ziemskie.

Krzywa zmian jasności cefeidy, przedstawiona na Rys. b. jest krzywą okresową, ale nie jest opisana funkcją harmoniczną.

Przykład 1

Rys. 4. przedstawia wykres wychylenia od czasu x(t) w ruchu harmonicznym dla fazyfaza drgańfazy początkowej równej zeru. Odczytaj z wykresu okresokres drgań (T)okres i amplitudę drgań. Oblicz częstotliwość i częstość kołowączęstość kołowa drgań (ωomega)częstość kołową.

RwSlly9QUozIH

Rys. 4. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach, a na osi pionowej wychylenie w metrach. Wykres ma kształt sinusoidy i zaczyna się w punkcie początkowym układu (t równe zero i x równe zero). Następnie wznosi się w górę i w prawo, aż osiągnie maksimum w punkcie o współrzędnych: t równe 0,025 sekundy, x równe 0,2 metra. Dalej wykres opada w prawo i w dół, osiągając minimum w punkcie o współrzędnych: t równe 0,075 sekundy, x równe minus 0,2 metra. Wykres przecina oś czasu w punktach o współrzędnych: 0,05 sekundy, 0,1 sekundy, 0,15 sekundy oraz 0,2 sekundy.

Okres drgańokres drgań (T)Okres drgań T = 0,1 s, amplituda A = 0,2 m.

Częstotliwość $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,1s}=10Hz$.

Częstość kołowaczęstość kołowa drgań (ωomega)Częstość kołowa $\omega =2\pi f=20\pi \frac{\mathrm{\text{rad}}}{s}$

Przykład 2

Okres drgańokres drgań (T)Okres drgań harmonicznych ciężarka zawieszonego na sprężynie jest równy 2 sekundy. Jaką długość powinno mieć wahadło matematyczne o tym samym okresie drgańokres drgań (T)okresie drgań? Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego g = 9,81 m/sIndeks górny 2², a wynik podaj z dokładnością do 1 cm.

Okres drgańokres drgań (T)Okres drgań wahadła matematycznego:

Zatem:

Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

Ciekawostką jest, że wahadło matematyczne o długości 1 m jest nazywane wahadłem sekundowym, pomimo że okres drgańokres drgań (T)okres drgań takiego wahadła jest równy 2 sekundy.

Słowniczek

Radian (rad)

Radian (rad)

(ang. radian) jednostka kąta w układzie SI.

Kąt ($\alpha$) w radianach (zwany kątem w mierze łukowej) jest zdefiniowany jako stosunek długości łuku (s) do promienia tego łuku (r):

$\alpha =\frac{s}{r}$

RzvTg0oBSfhiW

Na rysunku znajduje się okrąg, którego środek oznaczono literą wielkie O. Narysowano 2 promienie tworzące kąt ostry, oznaczony grecką litera alfa. Długość promienia oznaczono literą małe r. Łuk okręgu zawarty między końcami promieni oznaczono literą małe s.

Kąt jest równy jednemu radianowi, gdy długość łuku jest równa jego promieniowi. Kąt pełny jest równy $2\pi rad.$