Przeczytaj
Wzory skróconego mnożenia często są pomocne w dowodzeniu twierdzeń z teorii podzielności, czy rozkładzie wyrażeń algebraicznych na czynniki. W tym materiale przykłady takich zastosowań wzoru na sumę sześcianów oraz wzoru na różnicę sześcianów.
Pokażemy najpierw sposób wyprowadzenia wzoru na sumę sześcianówwzoru na sumę sześcianów, co pomoże zrozumieć niuanse algebraiczne związane z tym wzorem.
Wzór na sumę sześcianów:
W podobny sposób, jak w Przykładzie 1, można wyprowadzić wzór na różnicę sześcianów.
Wzór na różnicę sześcianów:
Wykażemy, że wartość wyrażenia dla każdej liczby naturalnej jest liczbą podzielną przez .
Przekształcamy wyrażenie tak, aby skorzystać ze wzoru na sumę sześcianów.
W dalszych przekształceniach wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz wzór na kwadrat różnicy.
Iloczyn liczby i liczby naturalnej jest liczbą podzielną przez , co należało wykazać.
Wykażemy, że każda liczba rzeczywista spełnia równanie
.
Przekształcamy równanie, grupując odpowiednio wyrazy.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i przekształcamy pierwszy składnik.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianówwzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i przekształcamy drugi składnik.
Otrzymaliśmy równość prawdziwą dla każdej liczby rzeczywistej , co kończy dowód.
Rozwiążemy teraz uwspółcześniony problem związany z rozważaniami Diofantosa na temat rozwiązalności równań w zbiorze liczb całkowitych.
Znajdziemy wszystkie pary liczb całkowitych , spełniających równanie
.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów oraz ze wzoru na kwadrat sumy i rozkładamy lewą i prawą stronę równania na czynniki.
Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.
Zatem
lub
Z pierwszego otrzymanego równania wnioskujemy, że rozwiązaniem równania są wszystkie pary liczb takich, że , czyli pary .
Załóżmy teraz, że .
Przekształcamy drugie z otrzymanych równań.
Zauważmy, że składniki lewej strony równania to liczby nieujemne i ich suma jest równa .
Wynika stąd, że
i .
Czyli
i .
Ponieważ , to liczby całkowite, więc , .
Po sprawdzeniu potencjalnych rozwiązań, uzyskujemy pary liczb spełniających rozpatrywane równanie:
, , , , .
Odpowiedź:
Równanie spełniają wszystkie pary liczb , gdzie jest liczbą całkowitą, oraz pary , , , , .
W następnym przykładzie skorzystamy z twierdzenia, które znakomicie ułatwia rozwiązywanie wielu problemów dotyczących np. rozkładu wielomianów na czynniki.
Dowolne liczby rzeczywiste , , spełniają warunek
Wniosek:
Jeżeli to
Liczby , , spełniają warunek .
Wykażemy, że co najmniej dwie z tych liczb są równe.
Skorzystamy z powyższego twierdzenia.
Oznaczmy:
Wtedy
, czyli .
lub lub
lub lub
C.n.d