Przeczytaj

SześciansześcianSześcian jest graniastosłupemgraniastosłupgraniastosłupem, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

RM9qJZjwWm8YI

Na ilustracji przedstawiono sześcian. Widoczne są jego 3 ściany, każda zamalowana innym kolorem. Długość, szerokość oraz wysokość bryły wynosi a.

Każdy sześcian jest:

graniastosłupem prostymgraniastosłup prostygraniastosłupem prostym – ponieważ jego ściany boczne są prostokątami;
graniastosłupem prawidłowymgraniastosłup prawidłowygraniastosłupem prawidłowym – ponieważ jest graniastosłupem prostym, którego podstawa jest wielokątem foremnym;
prostopadłościanemprostopadłościanprostopadłościanem – ponieważ wszystkie jego ściany są prostokątami.

Ciekawostka

Sześcian jest również bryłą platońską (czyli taką bryłą wypukłą, której wszystkie ściany są wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku zbiega się taka sama liczba ścian).Sześcian nazywamy też heksaedrem.

Budowa sześcianu

Każdy sześcian ma $8$ wierzchołków, $12$ równych krawędzi i $6$ przystających ścian.

ReNijFS1YrED1

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DIEiLr7Wl

Na filmie przedstawiono sześcian, o dolnej podstawie ABCD, oraz górnej EFGH. Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są nachylone względem siebie pod kątem dziewięćdziesięciu stopni. Jego długość, wysokość oraz szerokość są równej długości i oznaczono je literą a.

Przykład 1

Wypiszemy wierzchołki, krawędzie i ściany sześcianu na rysunku.

R1Vi7xZeksXFi

Na rysunku przedstawiono sześcian, o podstawie dolnej A B C D oraz górnej E F G H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G, oraz nad wierzchołkiem D wierzchołek H.

Rozwiązanie

Wierzchołki: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ .

Krawędzie: $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ , $A E$ , $B F$ , $C G$ , $D H$ , $E F$ , $F G$ , $G H$ , $H E$ .

Ściany: $A B C D$ , $A B F E$ , $B C G F$ , $C D H G$ , $D A E H$ , $E F G H$ .

Przeciwległe ściany sześcianu są do siebie równoległe. Ściany sześcianu, które mają ze sobą wspólną krawędźkrawędźkrawędź są do siebie prostopadłe.

Przykład 2

Ustalimy wzajemne położenie ścian:

$A B F E, E F G H$ ;
$B C G F, A D H E$ ;
$A D H E, C D H G$

sześcianu na rysunku.

RkNCDauqt526M

Rozwiązanie

Ściana $A B F E$ jest prostopadła do ściany $E F G H$ .
Ściana $B C G F$ jest równoległa do ściany $A D H E$ .
Ściana $A D H E$ jest prostopadła do ściany $C D H G$ .

Krawędzie podstaw sześcianu są prostopadłe do krawędzi bocznych (przypominamy, że proste prostopadłe w przestrzeni nie muszą mieć punktów wspólnych).

Krawędzie boczne sześcianu są do siebie równoległe.

Krawędzie jednej ściany sześcianu są prostopadłe, gdy mają punkt wspólny lub równoległe, gdy nie mają punktu wspólnego.

Krawędzie równoległych ścian sześcianu są równoległe, gdy leżą w jednej płaszczyźnie, w przeciwnym przypadku są prostopadłe.

Przykład 3

Ustalimy wzajemne położenie krawędzi

$B A$ i $G H$ ;
$B F$ i $E H$ ;
$A D$ i $F E$

sześcianu na rysunku.

R1CfiCeK9sfJK

Rozwiązanie

$B A ∥ G H$ ;
$B F ⊥ E H$ ;
$A D ⊥ F E$

Przykład 4

Graniastosłup prosty czworokątny ma wszystkie krawędzie tej samej długości. Czy wynika z tego, że jest to sześcian?

Rozwiązanie

Nie, ponieważ graniastosłup prosty o podstawie rombu niebędącego kwadratem również może mieć wszystkie krawędzie tej samej długości.

Przykład 5

W graniastosłupie prostym wszystkie ściany są parami prostopadłe lub równoległe. Czy wynika z tego, że jest to sześcian?

Rozwiązanie

Nie – prostopadłościan, którego krawędzie są różnej długości również spełnia tę własność.

Ważne!

Każda ściana sześcianu ma dokładnie jedną różną od niej ścianę równoległą.
Każda krawędź sześcianu ma dokładnie trzy różne od niej krawędzie równoległe.

Słownik

graniastosłup

bryła, której przystające podstawy są równoległe, a ściany boczne są równoległobokami

sześcian

graniastosłup, którego wszystkie ściany są kwadratami

krawędź

odcinek, który jest bokiem wielokąta będącego ścianą bryły

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny

prostopadłościan

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami

Wprowadzenie

Aplet

Budowa sześcianu

Słownik