Przeczytaj
Znasz zapewne taki typ zadania:
Ułamek okresowy zamień na ułamek zwykły.
Znasz na pewno taką metodę:
Niech . Mnożymy równanie przez , gdyż okres ułamka ma dwie cyfry.
Otrzymujemy: .
Wykonujemy odejmowanie: .
Zatem , czyli .
A teraz rozwiążemy ten sam przykład wykorzystując szeregi geometryczne.
Ułamek okresowy zamienimy na ułamek zwykły.
Rozwiązanie
Zapiszmy ułamek w następujący sposób:
Ułamek ten stanowi sumę szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, w którym i iloraz . Szereg ten jest więc zbieżny, bo , a jego suma jest równa:
.
Odpowiedź: .
Ułamek okresowy zamienimy na ułamek zwykły.
Rozwiązanie
Zapiszmy ułamek w następujący sposób:
Suma tych wszystkich składników, poczynając od drugiego, jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Szereg ten jest więc zbieżny, gdyż , a jego suma jest równa: .
Stąd otrzymujemy:
.
Odpowiedź: .
Teraz pokażemy kilka zastosowań szeregu geometrycznego w zadaniach tekstowych.
Wyznaczymy szereg geometryczny, którego suma jest równa , a suma kwadratów wyrazów tego szeregu wynosi .
Rozwiązanie
Oznaczmy szukany szereg jako: .
Zadanie sprowadza się do znalezienia dwóch parametrów tego ciągu: pierwszego wyrazu i ilorazu .
Ponieważ szereg jest zbieżny, więc .
W takim razie szereg o pierwszym wyrazie i ilorazie też jest zbieżny.
Zapiszmy układ warunków:
Wyliczmy z pierwszego równania: i podstawmy do drugiego:
Wyliczona wartość spełnia warunek zbieżności.
Wyliczamy .
Odpowiedź: , .
Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych jest równa , a suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest równa . Znajdź ten ciąg.
Rozwiązanie
Oznaczmy szukany szereg jako: . Niech będzie pierwszym wyrazem i będzie ilorazem tego ciągu.
Zwróćmy uwagę na to, że szereg geometryczny utworzony z wyrazów o nieparzystych numerach ciągu jest szeregiem geometrycznym zbieżnym o ilorazie i pierwszym wyrazie . Zatem , czyli . Stąd wynika, że szereg jest zbieżny.
Analogicznie możemy stwierdzić, że szereg utworzony z wyrazów o parzystych numerach ciągu jest szeregiem geometrycznym zbieżnym o ilorazie i pierwszym wyrazie .
Zapiszmy zatem sumy szeregów z zadania:
, czyli ,
.
Z układu wynika, że , czyli . Zatem .
Słownik
jeżeli lub , to szereg geometryczny jest zbieżny.
Jeżeli , to .
Jeżeli , to