Istota logicznego rachunku zdań

Podwaliny pod logiczny rachunek zdań w znanej nam dzisiaj postaci położyli antyczni stoicy. Nazwa „rachunek zdań” bierze się ze statusu zdania w sensie logicznym jako podstawowej kategorii rozumowania w tym rachunku. Antyczni stoicy wierzyli, że świat znajduje się w ciągłym ruchu, a naszą wiedzę o nim czerpiemy z obserwacji kolejnych zmieniających się stanów rzeczy – zdanie w sensie logicznym to stwierdzenie, że zachodzi jakiś stan rzeczy. Wiedza o świecie bierze się według nich po pierwsze z możliwości weryfikacji empirycznej tych wyjściowych stwierdzeń, a po drugie z wniosków logicznych, jakie z nich wyciągamy. Wnioski te zaś mają zawsze postać kolejnych stwierdzeń na temat świata. Można powiedzieć, że rachunek zdań w ujęciu antycznych stoików to zespół zasad regulujących sposoby niepodważalnego przechodzenia od jednych zdań (których prawdziwość stwierdziliśmy na drodze obserwacji) do drugich zdań (których prawdziwość jest dla nas z różnych powodów ważna).

W czasach późniejszych w rachunku zdań w znacznie większym stopniu wyeksponowane zostało badanie różnych relacji, jakie mogą zachodzić między prostymi zdaniami. Relacje te ujmowane są za pomocą funktorów prawdziwościowych. To określenie oddaje po prostu spójniki (np. i, lub czy nieprawda, że), za pomocą których zmienia się sens jakiegoś zdania lub łączy dwa zdania w nową całość, by następnie ocenić wartość logiczną (prawdziwość lub fałszywość) tej nowej całości. Rachunek ten może przyjąć mniej lub bardziej sformalizowaną postać, ale w każdej z postaci chodzi o działanie, w efekcie którego zestawienie określonego zbioru zdań o wyraźnie sprecyzowanych wartościach logicznych jest samo ocenione w kategorii wartości logicznej.

W związku z tym możemy zdefiniować rachunek zdań następująco: rachunek zdań jest to sztuczny i bardzo uproszczony język, na gruncie którego:

Jako taki rachunek zdań jest jednym z najważniejszych narzędzi treningu zasad i umiejętności poprawnego wnioskowania.

Podstawowe narzędzia logicznego rachunku zdań

Poszczególne elementy logicznego rachunku zdań były już na przestrzeni kolejnych lekcji stopniowo wprowadzane, jakkolwiek w sposób rozproszony. Poniżej przedstawiamy zestawienie najważniejszych składników oraz ich znaczenie, uzupełniając je także o kilka nowych elementów.

zdanie w sensie logicznym

zdanie w sensie logicznym

Zdanie oznajmujące użyte w taki sposób, że jest albo prawdziwe, albo fałszywe.

wartość logiczna zdania

wartość logiczna zdania

Prawda (wyrażana symbolem 1) lub fałsz zdania (wyrażany symbolem 0).

funktor

funktor

Wyrażenie niebędące nazwą, za pomocą którego tworzy się nazwy, zdania lub łączy się zdania; nazwy lub zdania, przy których stoi funktor nazywa się jego argumentami.

funktor prawdziwościowy

funktor prawdziwościowy

Wyrażenie, za pomocą którego łączy się proste zdanie w bardziej rozbudowane całości, ale w taki sposób, że mając dane wartości logiczne łączonych zdań, potrafimy bardzo jednoznacznie określić wartość logiczną tego połączenia. W rachunku zdań funktory prawdziwościowe reprezentowane są za pomocą symboli. W logice stosuje się najczęściej następujące funktory oraz ich symbole (istnieją różne sposoby symbolizowania funktorów – poniżej podajemy jeden z częściej występujących zapisów):

R15FGZXtR5mxq

Tabela przedstawiająca symbole wraz z nazwą i znaczeniem. Symbol: tylda, nazwa: negacja, znaczenie: nieprawda, że. Symbol: strzałka w prawo, nazwa: implikacja, znaczenie: jeżeli… to. Symbol: fał, nazwa: alternatywa nierozłączna, znaczenie: lub. Symbol: odwrócone fał, nazwa: koniunkcja, znaczenie: i. Symbol: odwrócone T, nazwa: alternatywa rozłączna, znaczenie: albo… albo. Symbol: strzałka dwustronna, nazwa: równoważność, znaczenie: wtedy i tylko wtedy, gdy.

zmienna zdaniowa

zmienna zdaniowa

Symbole reprezentujące dowolne proste zdanie w sensie logicznym, jak Tomasz mieszka w Warszawie. W rachunku zdań wykorzystuje się małe litery ze zbioru od p do końca alfabetu ({p, q, r, s, t,...}).

zasada zastępowalności zmiennej zdaniowej

zasada zastępowalności zmiennej zdaniowej

Wymóg, według którego każde sformalizowane zdanie rachunku zdań, jeśli podstawić pod nie dowolne inne jasno sformułowane składniki o tej samej wartości logicznej, zachowa tę samą wartość logiczną.

Jeżeli podstawimy pod p i q odpowiednie zmienne zdaniowe o określonej wartości logicznej (że na przykład p = 1 i q = 0), to wartość logiczna zdania będzie zawsze taka sama (w tym przypadku akurat 1) bez względu na to, jakie konkretne zdania są symbolizowane przez zmienne zdaniowe. Załóżmy, że mamy dwa prawdziwe zdania:
p – Tomasz mieszka w Warszawie.
q – Tomasz przez okno swojego domu widzi Lasy Sobiborskie.
Zdania te, ujęte w powyższą formułę, dają prawdziwe sformułowanie: Jeżeli Tomasz mieszka w Warszawie, to nieprawda, że z okna swojego domu widzi Lasy Sobiborskie.
Istotą zastępowalności zmiennych zdaniowych w logicznym rachunku zdań jest, że jakiekolwiek dwa inne zdania prawdziwe podstawilibyśmy pod ten schemat, to powstała w ten sposób całość też musi być prawdziwa.

Zdarza się, że jakaś dłuższa wypowiedź zawiera kilka stwierdzeń połaczonych funktorami prawdziwościowymi.funktor prawdziwościowyfunktorami prawdziwościowymi. Żeby wskazać, które dwa zdania łączy dany funktor, stosuje się w logice nawiasy analogicznie do działań matematycznych. Oto przykład takiego złożonego zdania.

Jeżeli nie wrócisz do domu na czas, to albo nie zjesz obiadu, albo nie pójdziemy do kina.

Zdanie to zapiszemy następująco:

~p → (~ q ⊥ ~r)

Dzięki temu schematowi widzimy wyraźnie, że implikacja w tym przypadku łączy ze sobą jedno zdanie w sensie logicznym nieprawda, że wrócisz do domu na czas z alternatywą rozłączną składającą się z dwóch zdań w sensie logicznym. Implikacja nie odnosi się zatem do wartości logicznej jednego ze zdań alternatywy rozłącznej, ale do wartości logicznej powstałej na skutek zastosowania alternatywy rozłącznej do dwóch zdań.

Zastosowania logicznego rachunku zdań

Ujmowanie wszelkich naszych codziennych wypowiedzi w logiczny rachunek zdań mogłoby się wydawać uciążliwe. Jednak mimo to rachunek zdań jest bardzo przydatnym narzędziem. Sięgamy po niego przede wszystkim z dwu powodów. Po pierwsze robimy to w celu sprawdzenia wartości logicznej jakiejś dłuższej wypowiedzi. W codziennych rozmowach, zwłaszcza gdy zależy nam na przekonaniu kogoś do czegoś, zazwyczaj nie operujemy prostymi stwierdzeniami, lecz łączymy je w bardziej złożone struktury, w których nie szczędzimy funktorów takich jak i, jeżeli…, to, albo itp. Łatwo się w tym pogubić. Dlatego, żeby się upewnić, czy dłuższa wypowiedź zawierająca funktory jest prawdziwa, możemy przełożyć ją na logiczny rachunek zdań i dzięki temu sprawdzić, czy jest prawdziwa, czy fałszywa. Podobnie można postąpić w przypadku lektury złożonego tekstu filozoficznego lub naukowego. Jeśli jego autor ma skłonność do nadużywania funktorów, utrudniając tym czytelnikowi ocenę wartości rozumowania, możemy sprawdzić prawdziwość głoszonych przez niego konkluzji za pomocą rachunku zdań.

Drugim zastosowaniem logicznego rachunku zdań jest, jak o tym już wyżej wzmiankowaliśmy, ćwiczenie umiejętności poprawnego rozumowania. Rozumując, łączymy wiele zdań w złożone ciągi, używamy koniunkcji, alternatywy, implikacji czy negacji. Ćwicząc się w rachunku zdań, zyskujemy większą sprawność i łatwość budowania poprawnych logicznie, rozbudowanych argumentacji, łatwiej też nam przychodzi do głowy sposób na jasne wyartykułowanie i uzasadnienie swojego stanowiska.

Niektóre bardziej zaawansowane narzędzia badania zdań:

Współcześnie logikę dzieli się zazwyczaj na trzy działy.

Z kolei jednym z działów semiotyki logicznej jest syntaktykasyntaktykasyntaktyka, która bada relacje zachodzące między głównymi kategoriami konstrukcyjnymi wypowiedzi. Kategoriami tymi są nazwa, zdanie i funktor. Logicy często sięgają do narzędzi syntaktycznych (syntaktyczny rozbiór zdania) w celu pogłębienia i uściślenia rozumienia wypowiedzi przedstawianej w ramach rachunku zdań.

Inne przykłady:

Stosując syntaktyczny rozbiór zdań, każdemu elementowi zdania przyporządkowujemy odpowiednią kategorię, odpowiednio ją zapisując, np.:

Wszystkie funktory prawdziwościowe to funktory zdaniotwórcze. W tej grupie wyróżniamy funktory jednoargumentowe, tj. od jednego argumentu zdaniowego, oraz funktory dwuargumentowe, tj. od dwóch argumentów zdaniowych. Żeby uchwycić istotę działania danego funktora, musimy zrozumieć pewną prawidłowość. Kiedy dany funktor dołączymy do jakiegoś zdania lub kiedy połączymy za jego pomocą jakieś dwa zdania, zaobserwujemy zmianę wartości logicznej wypowiedzi. Żeby tę różnicę uchwycić, musimy znać najpierw wartość logiczną wypowiedzi wyjściowej (zdania lub zdań), a potem ocenić wartość logiczną wypowiedzi po dołączeniu funktora prawdziwościowego. Ponieważ wyjściowa wypowiedź może mieć tylko jedną z dwu wartości (prawda lub fałsz), to wskutek dodania funktora mamy skończoną liczbę kombinacji. Zacznijmy od kombinacji dla funktora prawdziwościowego z jednym argumentem zdaniowym:

Zdanie wyjściowe p (fałszywe) + funktor x = ?
Zdanie wyjściowe p (prawdziwe) + funktor x = ?

Rozważywszy wszystkie możliwe efekty takiej analizy, dochodzimy do matematycznego wniosku, że istnieją cztery możliwe kombinacje, co najwygodniej ująć w postaci następującej tabeli.

Tabelę tę należy rozumieć w ten sposób, że jeśli na przykład dodamy funktor 1 do zdania o dowolnej wartości logicznej, to w rezultacie zawsze uzyskamy zdanie prawdziwe. W przypadku funktora 4 byłoby odwrotnie.

O ile w przypadku jednoargumentowych funktorów prawdziwościowych istnieją tylko cztery kombinacje, o tyle w przypadku dwuargumentowych funktorów prawdziwościowych istnieje ich, matematycznie rzecz biorąc, dwadzieścia. Na szczęście nie musisz ich wszystkich zapamiętywać, o większości z nich w ogóle nie musisz myśleć, gdyż w rozumowaniu i stosowanych w takich przypadkach spójnikach języka naturalnego używa się tylko kilku z tych kombinacji.

Tabela funktorów prawdziwościowych prezentuje w następujący sposób:

Zdarza się wprawdzie, że którejś z nieużywanych w logice kombinacji odpowiada jakiś stosunkowo rzadki termin z języka potocznego, jednak nie używa się go w logice ze względu na małą przydatność argumentacyjną. Takim funktorem jest np. słowo „zaiste” czy jego synonim „zaprawdę” – kiedy powiadamy na przykład: „Zaprawdę (zaiste), ta klasówka z fizyki była bardzo łatwa”. Opisuje go schemat prawdziwościowy opatrzony symbolem funktor 2 z naszego zestawienia. Jego właściwością jest, że po dołączeniu do dowolnego zdania prawdziwego, daje zdanie prawdziwe, a po dodaniu do dowolnego zdania fałszywego, daje zdanie fałszywe.

Słownik