Przeczytaj
Zaczniemy od definicji wektorów prostopadłych
Mówimy, że niezerowe wektory są prostopadłe, gdy ich kierunki są prostopadłe (zawarte są w prostych prostopadłych).
Nie definiujemy prostopadłości wektorów dla wektora zerowego.
Poniżej przedstawiono pary wektorów prostopadłych wraz ze współrzędnymi. Czy widzisz jakiś związek między współrzędnymi wektorów prostopadłych?
Zwróć uwagę, że aby otrzymać wektor prostopadły do danego wystarczy zamienić miejscami współrzędne danego wektora i dokładnie jednej z nich zmienić znak na przeciwny.
Uzasadnimy teraz, że wektory i są prostopadłe. W tym celu zaczepimy oba wektory w początku układu współrzędnych. Wówczas końce tych wektorów mają współrzędne i .
Wyznaczmy teraz równania prostych zawierających oba wektory.
Jeśli lub , to wektory zawarte są w osiach układu współrzędnych, czyli są to wektory prostopadłewektory prostopadłe. Jeśli i , to ponieważ obie proste przechodzą przez początek układu współrzędnych, ich równania są postaci , gdzie jest współczynnikiem kierunkowym.
Równanie prostej zawierającej wektor otrzymamy, podstawiając współrzędne punktu do równania :
,
czyli prosta ma równanie .
Analogicznie wyznaczamy równanie prostej zawierającej wektor :
.
Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy , to proste są prostopadłe, zatem i wektory oraz są prostopadłe. Podobnie dowodzimy, że wektory oraz są prostopadłe.
Przypomnijmy jeszcze tylko, że wektor , gdzie , jest równoległy do wektora , zatem jest prostopadły do wektorów oraz .
Kryterium prostopadłości wektorówKryterium prostopadłości wektorów
Wektory o współrzędnych i są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy .
Rozstrzygniemy, czy podane niżej wektory są prostopadłe. Wektor jest prostopadły do wektora , bo . Wektor nie jest prostopadły do wektora , bo .
Wyznaczymy wartości parametru tak, aby wektory i były prostopadłe. Aby wektory były prostopadłe wystarczy, aby spełnione było równanie , którego rozwiązaniem jest .
Słownik
niezerowe wektory, które są zawarte w prostych prostopadłych
niezerowe wektory o współrzędnych i są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek .