Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Zaczniemy od definicji wektorów prostopadłych

wektory prostopadłe
Definicja: wektory prostopadłe

Mówimy, że niezerowe wektory są prostopadłe, gdy ich kierunki są prostopadłe (zawarte są w prostych prostopadłych).

Nie definiujemy prostopadłości wektorów dla wektora zerowego.

Przykład 1

Poniżej przedstawiono pary wektorów prostopadłych wraz ze współrzędnymi. Czy widzisz jakiś związek między współrzędnymi wektorów prostopadłych?

bg‑lime

Zwróć uwagę, że aby otrzymać wektor prostopadły do danego wystarczy zamienić miejscami współrzędne danego wektora i dokładnie jednej z nich zmienić znak na przeciwny.

Uzasadnimy teraz, że wektory [a;b][-b;a] są prostopadłe. W tym celu zaczepimy oba wektory w początku układu współrzędnych. Wówczas końce tych wektorów mają współrzędne (a;b)(-b;a).

R1QYFOvwnxHzq

Wyznaczmy teraz równania prostych zawierających oba wektory. Jeśli a=0 lub b=0, to wektory zawarte są w osiach układu współrzędnych, czyli są to wektory prostopadłewektory prostopadłewektory prostopadłe. Jeśli a0b0, to ponieważ obie proste przechodzą przez początek układu współrzędnych, ich równania są postaci y=mx, gdzie m jest współczynnikiem kierunkowym.

Równanie prostej zawierającej wektor [a;b] otrzymamy podstawiając współrzędne punktu (a;b) do równania y=mx:

b=mam=ba, czyli prosta ma równanie y=bax. Analogicznie wyznaczamy równanie prostej zawierającej wektor [-b;a]: y=-abx. Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy -1, to proste są prostopadłe, zatem i wektory [a;b] oraz [-b;a] są prostopadłe.

Podobnie dowodzimy, że wektory [a;b] oraz [b;-a] są prostopadłe. Przypomnijmy jeszcze tylko, że wektor [ka;kb], gdzie k0, jest równoległy do wektora [a;b], zatem jest prostopadły do wektorów [-kb;ka] oraz [kb;-ka].

bg‑lime

Kryterium prostopadłości wektorówkryterium prostopadłości wektorówKryterium prostopadłości wektorów

Wektory o współrzędnych [a;b][c;d] są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ac+bd=0.

Przykład 2

Rozstrzygniemy, czy podane niżej wektory są prostopadłe. Wektor [1;-3] jest prostopadły do wektora [6;2], bo 1·6+(-3)·2=6-6=0. Wektor [1;-3] nie jest prostopadły do wektora [6;3], bo 1·6+(-3)·3=6-9=-30.

Przykład 3

Wyznaczymy wartości parametru m tak, aby wektory [m+1;3][2;-m] były prostopadłe. Aby wektory były prostopadłe wystarczy, aby spełnione było równanie 2(m+1)-3m=0, którego rozwiązaniem jest m=2.

Słownik

wektory prostopadłe
wektory prostopadłe

niezerowe wektory, które są zawarte w prostych prostopadłych

kryterium prostopadłości wektorów
kryterium prostopadłości wektorów

niezerowe wektory o współrzędnych [a;b][c;d] są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ac+bd=0.