Rozwiążemy równanie $\frac{\sin x}{\sin x+1}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że musimy założyć, że $\sin x\ne -1$.

Warunek ten zachodzi, gdy$x\ne -\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Szukamy rozwiązań równania: $\sin x=0$.

Są nimi następujące liczby: $x=\pi k$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem po uwzględnieniu założeń, otrzymujemy odpowiedź:

$x=\pi k$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $2\sin x+{\cos }^{2}x=2-{\sin }^{2}x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że możemy wykorzystać tożsamość trygonometryczną ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ do zmiany postaci równania:

$2\sin x+{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2=0$,

$2\sin x+1-2=0$,

$2\sin x-1=0$.

Powstaje równanie, które umiemy już rozwiązać:

$\sin x=\frac{1}{2}$.

Rozwiązaniami są: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $4{\sin }^{3}x=\sin x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę:

$4{\sin }^{3}x-\sin x=0$

i zapiszmy wyrażenie po lewej stronie w postaci iloczynowejpostać iloczynowa równaniapostaci iloczynowej:

$\sin x\left(4{\sin }^{2}x-1\right)=0$

$\sin x(2\sin x+1)(2\sin x-1)=0$.

Iloczyn wyrażeń jest równy 0 wtedy, gdy jedno z wyrażeń przyjmuje wartość 0:

$\sin x=0$ lub $\sin x=-\frac{1}{2}$ lub $\sin x=\frac{1}{2}$.

Rozwiązaniami są:

$x=\pi k$ lub $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub lub $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Powyższe rozwiązania można zapisać w skróconej wersji $x=\pi k$ lub $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $4{\sin }^{2}x+2(\sqrt{3}-1)\sin x-\sqrt{3}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Zauważmy, że możemy podstawić $t=\sin x$. Wówczas równanie przyjmuje postać równania kwadratowego:

$4t^2+2(\sqrt{3}-1)t-\sqrt{3}=0$.

Stosujemy zatem metodę rozwiązywania równań kwadratowych:

$\Delta =4(\sqrt{3}-1{)}^2+4·4·\sqrt{3}=16+8\sqrt{3}=4(\sqrt{3}+1{)}^2$

i obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

$t=\frac{-2(\sqrt{3}-1)+2(\sqrt{3}+1)}{8}=\frac{1}{2}$

lub

$t=\frac{-2(\sqrt{3}-1)-2(\sqrt{3}+1)}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rozwiążemy ostatecznie równanie ze zmienną $x$:

$\sin x=\frac{1}{2}$ lub $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rozwiązaniami są:

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{3}+2k\pi$ lub $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $2\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)=1$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$2\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)=1$.

Wykorzystujemy jedynkę trygonometryczną:

$2\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=1$.

Sprowadzamy równanie do wartości jednej funkcji trygonometrycznej; w tym przypadku jest to funkcja $\sin x$:

$2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=1$

$2{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$

${\sin }^{2}x=\frac{1}{4}$

Otrzymujemy:

$\sin x=\frac{1}{2}$ lub $\sin x=-\frac{1}{2}$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Cztery zbiory rozwiązań możemy łatwo zapisać jako dwa zbiory: $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

W tym równaniu pojawia się pewna trudność: występuje $\cos x$, w miejsce którego trudno wprowadzić wyrażenie $\sin x$.

Zbudujemy wobec tego układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos x=\sqrt{2},\\ {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.\end{array}\right.$

Obliczając $\cos x$ z pierwszego równania i podstawiając do drugiego otrzymujemy:

${\sin }^{2}x+{\left(\sqrt{2}-\sin x\right)}^2=1$,

a stąd dostajemy:

$2{\sin }^{2}x-2\sqrt{2}\sin x+1=0$.

Możemy podstawić $t=\sin x$. Wówczas równania przyjmuje postać równania kwadratowego:

$2t^2-2\sqrt{2}t+1=0$.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta =(2\sqrt{2}{)}^2-4·2·1=0$.

Zatem jedynym rozwiązaniem równania kwadratowego jest $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Otrzymujemy stąd: $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Jednak to nie jest ostateczne rozwiązanie. Zwracamy uwagę na to, że $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$, a zatem także musi zachodzić równanie $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Rozwiązując równanie $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ otrzymujemy odpowiedź:

$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ lub $x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

to taka postać równania, gdy po jednej stronie równania występuje $0$, a po drugiej iloczyn kilku czynników; dzięki takiej postaci równanie jest równoważne alternatywie kilku równań