Przeczytaj
Nauczyliśmy się rozwiązywać równania postaci , gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą. W tej lekcji każde równanie, o ile to tylko możliwe, będziemy starali się sprowadzić do równania postaci .
Rozwiążemy równanie w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Zauważmy, że musimy założyć, że .
Warunek ten zachodzi, gdy, gdzie .
Szukamy rozwiązań równania: .
Są nimi następujące liczby: , gdzie .
Zatem po uwzględnieniu założeń, otrzymujemy odpowiedź:
, gdzie .
Rozwiążemy równanie: w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Zauważmy, że możemy wykorzystać tożsamość trygonometryczną do zmiany postaci równania:
,
,
.
Powstaje równanie, które umiemy już rozwiązać:
.
Rozwiązaniami są: , gdzie .
Każde równanie, o ile to możliwe, staramy się sprowadzić do równania z jedną tylko funkcją trygonometryczną.
Rozwiążemy równanie: w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Przenieśmy wszystkie wyrażenia na jedną stronę:
i zapiszmy wyrażenie po lewej stronie w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej:
.
Iloczyn wyrażeń jest równy 0 wtedy, gdy jedno z wyrażeń przyjmuje wartość 0:
lub lub .
Rozwiązaniami są:
lub lub lub lub , gdzie .
Powyższe rozwiązania można zapisać w skróconej wersji lub , gdzie .
Każde równanie, o ile to możliwe, próbujemy sprowadzić do postaci iloczynowej.
Rozwiążemy równanie: w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Zauważmy, że możemy podstawić . Wówczas równanie przyjmuje postać równania kwadratowego:
.
Stosujemy zatem metodę rozwiązywania równań kwadratowych:
i obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:
lub
.
Rozwiążemy ostatecznie równanie ze zmienną :
lub .
Rozwiązaniami są:
lub lub lub , gdzie .
Rozwiążemy równanie: w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
.
Wykorzystujemy jedynkę trygonometryczną:
.
Sprowadzamy równanie do wartości jednej funkcji trygonometrycznej; w tym przypadku jest to funkcja :
Otrzymujemy:
lub .
Stąd otrzymujemy odpowiedź: lub lub lub , gdzie .
Cztery zbiory rozwiązań możemy łatwo zapisać jako dwa zbiory: lub , gdzie .
Rozwiążemy równanie: w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie
W tym równaniu pojawia się pewna trudność: występuje , w miejsce którego trudno wprowadzić wyrażenie .
Zbudujemy wobec tego układ równań:
Obliczając z pierwszego równania i podstawiając do drugiego otrzymujemy:
,
a stąd dostajemy:
.
Możemy podstawić . Wówczas równania przyjmuje postać równania kwadratowego:
.
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
.
Zatem jedynym rozwiązaniem równania kwadratowego jest . Otrzymujemy stąd: . Jednak to nie jest ostateczne rozwiązanie. Zwracamy uwagę na to, że , a zatem także musi zachodzić równanie .
Rozwiązując równanie i otrzymujemy odpowiedź:
lub lub , gdzie .
Podsumowanie
Zwróćmy uwagę na kilka charakterystycznych elementów rozwiązywania równań:
Sprawdzamy dziedzinę równania. Najczęściej wypisujemy założenia związane z dzieleniem i pierwiastkowaniem: mianownik ułamka musi być różny od 0 i wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być nieujemne.
Sprowadzamy równanie do wartości jednej funkcji trygonometrycznej. W tej lekcji sprowadzaliśmy wszystkie równania do równań z funkcją .
Często stosujemy podstawienie .
Słownik
to taka postać równania, gdy po jednej stronie równania występuje , a po drugiej iloczyn kilku czynników; dzięki takiej postaci równanie jest równoważne alternatywie kilku równań