Przeczytaj

Rekurencja, zwana również rekursją (łac. recurrere – przybiec z powrotem), to jedna z najważniejszych metod informatycznych konstruowania rozwiązań i algorytmów. Algorytm rekurencyjny to taki, który korzysta z samego siebie. Podobnie – istotą definicji rekurencyjnej jest odwoływanie się do samej siebie. W takiej definicji ciągu w wyrażeniu definiującym, obok symbolu zmiennej $n$ występuje symbol definiowanego ciągu. Zatem wyraz ciągu zależy nie tylko od zmiennej $n$ , ale też od jednego lub kilku wyrazów poprzednich.

Definicja rekurencyjna ciągu

Definicja: Definicja rekurencyjna ciągu

Mówimy, że ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli:

określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu (zwykle jest to pierwszy wyraz ciągu lub kilka jego pierwszych wyrazów),

pozostałe wyrazy ciągu są zdefiniowane za pomocą poprzednich wyrazów tego ciągu.

Wzór definiujący ciąg w taki sposób, nazywamy zależnością rekurencyjną.

Aby zapisać zależność rekurencyjną dla ciągu geometrycznego (co najmniej trzywyrazowego), ustalamy najpierw pewną liczbę $a$ (pierwszy wyraz ciągu) i liczbę $q$ (iloraz ciągu).

Wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ :

\{\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n + 1} = a_{n} \cdot q \end{cases},

gdzie:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu,
$n = 1, 2, 3, 4, . . .$

Przykład 1

Zapiszemy wzór rekurencyjny ciągu geometrycznegowzór rekurencyjny ciągu geometrycznego siedmiowyrazowego $(a_{n})$ o wyrazach:

$\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ .

Odczytujemy pierwszy oraz drugi wyraz ciągu i określamy iloraz ciągu.

$a_{1} = \frac{1}{4}$

$q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$

Zapisujemy wzór

$\{\begin{cases} a_{1} = \frac{1}{4} \\ a_{n + 1} = 2 \cdot a_{n} \end{cases}$ , gdzie $n = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ .

Przykład 2

Ciąg geometryczny $(b_{n})$ określony jest wzorem rekurencyjnym:

$\{\begin{cases} b_{1} = - 3 \\ b_{n + 1} = \sqrt{2} \cdot b_{n} \end{cases}$ , gdzie $n = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ ...

Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu.

1 sposób:

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu.

$- 3$ , $- 3 \sqrt{2}$ , $- 6$ , $- 6 \sqrt{2}$ , $- 12$ , $. . .$

Wnioskujemy, że pierwszy wyraz ciągu to $b_{1} = - 3$ , natomiast iloraz ciągu to $q = \frac{- 3 \sqrt{2}}{- 3} = \sqrt{2}$ .

Zapisujemy wzór ogólny:

$b_{n} = - 3 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - 1}$ dla $n = 1, 2$ , $3$ , $4$ , $. . .$

2 sposób:

Na podstawie wzoru rekurencyjnego ustalamy i przekształcamy wyraz $b_{n}$ „cofając się” aż do wyrazu $b_{1}$ tak, aby uzyskać postać

$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

$b_{n} = \sqrt{2} b_{n - 1} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} b_{n - 2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot b_{n - 3} = . . .$

$b_{n} = {(\sqrt{2})}^{1} \cdot b_{n - 1} = {(\sqrt{2})}^{2} \cdot b_{n - 2} = {(\sqrt{2})}^{3} \cdot b_{n - 3} = . . .$

Zauważmy, że suma numeru danego wyrazu i wykładnika potęgi $\sqrt{2}$ jest równa $n$ . Zatem:

$b_{n} = {(\sqrt{2})}^{1} \cdot b_{n - 1} = {(\sqrt{2})}^{2} \cdot b_{n - 2} = {(\sqrt{2})}^{3} \cdot b_{n - 3} = . . . = {(\sqrt{2})}^{n - 1} \cdot b_{1} = - 3 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - 1}$

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu: $b_{n} = - 3 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - 1}$ dla $n = 1, 2$ , $3$ , $4$ , $. . .$

Na podstawie wzoru rekurencyjnego możemy znaleźć dowolny wyraz ciągu, ale procedura jest wtedy znacznie dłuższa, niż przy wykorzystaniu wzoru ogólnego. Gdyż, aby wyznaczyć wyraz $k$ –ty, musimy znać wszystkie wyrazy o numerach mniejszych od $k$ .

Przykład 3

Znajdziemy piąty wyraz ciągu geometrycznego $(c_{n})$ określonego wzorem

${\begin{cases} c_{1} = 1 \\ c_{n + 1} = 3 \cdot c_{n} \end{cases}$ , gdzie: $n = 1$ , $2$ , $3$ , $. . .$

Wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu, aż do $c_{5}$ .

$c_{1} = 1$

$c_{2} = 1 \cdot 3 = 3$

$c_{3} = 3 \cdot 3 = 9$

$c_{4} = 9 \cdot 3 = 27$

$c_{5} = 27 \cdot 3 = 81$

Odpowiedź:

Piąty wyraz ciągu jest równy $81$ .

Wzór rekurencyjny ciągu możemy zapisać również w przypadku, gdy znamy co najmniej dwa wyrazy ciągu geometrycznego lub zależności łączące wyrazy ciągu.

Przykład 4

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , spełniają układ równań

$\{\begin{cases} a_{3} + a_{6} = 420 \\ a_{4} + a_{7} = 280 \end{cases}$ .

Wyznaczymy wzór rekurencyjny tego ciągu.

Aby zapisać wzór rekurencyjny, na podstawie podanego układu równań, będziemy musieli znaleźć pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu $q$ .

Zauważmy, że $a_{4} = a_{3} \cdot q$ i $a_{7} = a_{6} \cdot q$ .

Układ równań zapisany w treści zadania przyjmuje więc postać:

$\{\begin{cases} a_{3} + a_{6} = 420 \\ a_{3} \cdot q + a_{6} \cdot q = 280 \end{cases}$

Po lewej stronie drugiego równania wyłączamy $q$ przed nawias.

$\{\begin{cases} a_{3} + a_{6} = 420 \\ q (a_{3} + a_{6}) = 280 \end{cases}$

Na podstawie treści zadania wnioskujemy, że zarówno wyrazy ciągu, jak i iloraz są różne od zera. Możemy więc podzielić drugie równanie przez pierwsze – otrzymujemy iloraz ciągu.

$q = \frac{280}{420} = \frac{2}{3}$

Zapisujemy wyrazy pierwszego równania za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu.

$a_{3} + a_{6} = 420$

$a_{1} \cdot q^{2} + a_{1} \cdot q^{5} = 420$

W miejsce $q$ podstawiamy wyznaczoną liczbę.

$a_{1} \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} + a_{1} \cdot {(\frac{2}{3})}^{5} = 420$

$\frac{4}{9} \cdot a_{1} + \frac{32}{243} \cdot a_{1} = 420$

Z otrzymanego równania wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$\frac{140}{243} a_{1} = 420$

$a_{1} = 729$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$\{\begin{cases} a_{1} = 729 \\ a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n} \end{cases}$ , gdzie $n = 1$ , $2$ , $3$ , $. . .$

Na podstawie ciągu rekurencyjnego, możemy badać własności ciągu geometrycznego.

Przykład 5

Zbadamy monotoniczność ciągu geometrycznego $(a_{n})$ określonego wzorem:

$\{\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n + 1} = 4 \cdot a_{n} \end{cases}$ , gdzie $n = 1$ , $2$ , $3$ , $. . .$

Obliczamy drugi wyraz ciągu i wyznaczymy iloraz ciągu.

$a_{2} = 3 \cdot 4 = 12$

$q = \frac{a_{2}}{a_{1}}$

$q = 12 : 3 = 4$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1} = \frac{3}{4} \cdot 4^{n}$

Badamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{3}{4} \cdot 4^{n + 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{n} = \frac{9}{4} \cdot 4^{n} > 0$

Różnica jest liczbą dodatnią. Wnioskujemy, że $a_{n + 1} > a_{n}$ , a to oznacza, że ciąg jest rosnący.

Odpowiedź:

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem rosnącym.

Słownik

wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego

wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ :

\{\begin{cases} a_{1} = a \\ a_{n + 1} = a_{n} \cdot q \end{cases}

gdzie:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu,
$n = 1, 2, 3, 4, . . .$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik