Prostopadłościan to wielościan o trzech parach przeciwległych równoległych ścian, które są prostokątami.

RV7WXoHP6jaC7

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu to prostokąt, którego boki są podpisane literami a oraz b. Krawędź boczna prostopadłościanu jest podpisana literą c. Przekątna podstawy jest podpisana literą p i ma kolor zielony. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d i ma kolor różowy.

ProstopadłościanprostopadłościanProstopadłościan ma sześć ścian, osiem wierzchołków oraz dwanaście krawędzi.

Dla prostopadłościanu o długościach krawędzi podstawy $a$ i $b$ oraz wysokości $c$ prawdziwe są następujące wzory:

• objętość prostopadłościanu $V=abc$,

• pole powierzchni całkowitej $P_c=2\left(ab+ac+bc\right)$,

• pole powierzchni bocznej $P_b=2\left(ac+bc\right)$,

• długość przekątnej prostopadłościanu $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

R1P4CErjkq1YR

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu to kwadrat, którego boki są podpisane literą a. Krawędź boczna tego prostopadłościanu również jest podpisana literą a. Przekątna podstawy jest podpisana literą p i ma kolor zielony. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d i ma kolor różowy.

Objętość sześcianu $V=a^3$.

Pole powierzchni całkowitej $P_c=6a^2$.

Pole powierzchni bocznej $P_b=4a^2$.

Długość przekątnej sześcianu $d=a\sqrt{3}$.

Czy wentylator o wydajności $300 \frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{h}}$ wymieni w ciągu $10$ minut całe powietrze z pomieszczenia o wymiarach $5 \mathrm{m}\times 4 \mathrm{m}\times 3 \mathrm{m}$?

Rozwiązanie:

Objętość tego pomieszczenia wynosi $V=5·4·3=60 {\mathrm{m}}^3$.

Obliczamy, ile powietrza wymienia ten wentylator w ciągu $10$ minut, czyli w ciągu $\frac{1}{6} \mathrm{h}$:

$300=\frac{x}{\frac{1}{6}}$

$x=50 {\mathrm{m}}^3$

Wentylator w ciągu $10$ minut wymieni $50 {\mathrm{m}}^3$ powietrza.

Odp. Danemu wentylatorowi nie wystarczy $10$ minut na wymianę całego powietrza w tym pomieszczeniu.

Jakie wymiary ma jednokilogramowa sześcienna sztabka czystego złota? Wykonaj obliczenia wiedząc, że gęstość złota wynosi $19300 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$.

Rozwiązanie:

Z gęstości złota dowiadujemy się, że $1 {\mathrm{m}}^3$ tego kruszcu waży ponad $19$ ton. Chcąc obliczyć wymiary jednokilogramowej sztabki, zamieniamy jednostkę na kilogram na centymetr sześcienny.

$\rho =19300 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}=19,3 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{dm}}^3}=0,0193 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{cm}}^3}$

Z definicji gęstości wynika, że: $V=\frac{m}{\rho }$.

Obliczamy objętość jednokilogramowej sztabki złota.

$V=\frac{1}{0,0193}\approx 52 {\mathrm{cm}}^3$

Objętość sześcianusześciansześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem $a^3$, zatem:

$a^3=52$

$a\approx 3,7$

Odp. Jednokilogramowa sześcienna sztabka czystego złota ma krawędź długości ok. $3,7 \mathrm{cm}$.

Ile waży puste prostopadłościenne pudło o wymiarach $65 \mathrm{cm}\times 25 \mathrm{cm}\times 30 \mathrm{cm}$ zbudowane z papieru o gramaturze $300 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^2}$?

Rozwiązanie:

Zauważmy, że w definicji gramatury papieru nie ma znaczenia jego grubość, a jedynie pole powierzchni arkusza (jest wyrażana w gramach na metr kwadratowy). W związku z tym, aby obliczyć masę papieru potrzebnego do zbudowania pudła, potrzebujemy pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu.

$P_c=2\left(0,65·0,25+0,65·0,3+0,25·0,3\right)=0,865 {\mathrm{m}}^2$

Masę wyrażoną w gramach obliczamy następująco:

$m=0,865·300=259,5 \mathrm{g}$

Odp. Pudło waży $259,5 \mathrm{g}$.

RG1jCqYC181Y81

Grafika przedstawia samochód dostawczy. Samochód obrócony jest w lewą stronę. Kabina ciężarówki jest zielona. Przyczepa ma kształt prostokąta i jest w kolorze niebieskim.

Pan Adam dysponuje samochodem dostawczym o przestrzeni bagażowej będącej prostopadłościanem o wewnętrznych wymiarach (długość $\times$ szerokość $\times$ wysokość) $3 \mathrm{m}\times 2 \mathrm{m}\times 2 \mathrm{m}$, spód bagażnika jest zawieszony $50 \mathrm{cm}$ nad ziemią. Pan Adam chce przewieźć tym autem pręt o długości $5 \mathrm{m}$, mocując go po przekątnej całej przestrzeni, jednak pręt wystaje. Okazuje się, że trasa przejazdu przebiega pod wiaduktem o wysokości $3 \mathrm{m}$. Czy panu Adamowi uda się w ten sposób przetransportować załadunek? Grubość pręta uważamy za pomijalną.

Rozwiązanie:

Rr6hJdfrUfVvJ

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu to prostokąt, którego boki mają długość 3 i 2. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość 2. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d i ma kolor różowy.

Najpierw obliczamy, jaka jest długość przekątnej przestrzeni bagażowej, czyli jaka część pręta zmieści się w samochodzie.

$d=\sqrt{3^2+2^2+2^2}\approx 4,12$

Zatem co najmniej $4,12 \mathrm{m}$ pręta będzie przewożone wewnątrz auta.

Pozostaje jeszcze $0,88 \mathrm{m}$ pręta, który będzie wystawał. Rzutując prostopadle odcinek oznaczający pręt na płaszczyznę podstawy otrzymujemy boki trójkąta prostokątnego $IJB$.

R1c86dCFXFQ5w

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu to prostokąt, którego boki mają długość 3 i 2. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość 2. Przekątna podstawy łączy wierzchołek B z wierzchołkiem D. Oba wierzchołki należą do dolnej podstawy. Przekątna podstawy została wydłużona, w taki sposób, że poza prostopadłościanem powstał odcinek JD. Przekątna prostopadłościanu łączy wierzchołek B z wierzchołkiem H. Przekątna prostopadłościanu wraz z przedłużeniem ma długość 5. Przekątna prostopadłościanu została wydłużona, w taki sposób, że poza prostopadłościanem powstał odcinek HI. Odcinek łączący punkt J z punktem I jest podpisany literą h. Pomiędzy przekątną podstawy a krawędzią boczną, którą tworzy odcinek DH został zaznaczony kąt prosty. Pomiędzy odcinkiem IJ i przedłużeniem przekątnej podstawy JD również został zaznaczony kąt prosty.

RzMk5hZoiOeEZ

Rysunek przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Trójkąty te są trójkątami podobnymi. Posiadają wspólny wierzchołek B oraz taki sam kąt pomiędzy przeciwprostokątną a dłuższą przyprostokątną. Kąt ten jest podpisany literą alfa. Trójkąt pierwszy o wierzchołkach: B, I, J jest większym trójkątem. Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest odcinek B,I. Dłuższą przyprostokątną w tym trójkącie jest odcinek BJ. Odcinek BJ ma orientację poziomą. Krótszą przyprostokątną jest odcinek J,I i jest on podpisany literą h. Trójkąt drugi o wierzchołkach: B, D, H jest częścią pierwszego trójkąta. Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest odcinek BH, który ma długość 4,12. Dłuższa przyprostokątna to odcinek BD, który jest częścią odcinka BJ. Krótsza przyprostokątna, którą stanowi odcinek DH ma długość 2. Odcinek H,I, który jest fragmentem przeciwprostokątnej większego trójkąta ma długość 0,88.

Trójkąty $IJB$ oraz $HDB$ są podobne z cechy kąt, kąt, kąt, ponieważ oba są prostokątne i mają wspólny kąt o mierze $\alpha$ (zatem $\left|\sphericalangle JIB\right|=\left|\sphericalangle DHB\right|=90°-\alpha$). Z tego faktu wynika, że:

$\frac{\left|BH\right|}{\left|BI\right|}=\frac{\left|HD\right|}{\left|IJ\right|}$

$\frac{4,12}{5}=\frac{2}{h}$

$h\approx 2,427$

$h<2,43$

Spód bagażnika jest umieszczony $0,5 \mathrm{m}$ nad ziemią, zatem górny koniec pręta znajduje się niżej niż $2,93 \mathrm{m}$.

Odp. Pan Adam może przetransportować pręt w zaplanowany sposób.

to wielościan o trzech parach przeciwległych równoległych ścian, które są prostokątami

to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami

stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości: $\rho =\frac{m}{V}$

masa wyrobu papierniczego wyrażona w gramach podana na metr kwadratowy