Rozwiążemy nierówność: $\sin x\sin 2x>0$.

Rozwiązanie

• Sposób 1

Zapiszemy równoważnie nierówność jako:

($\sin x>0$ i $\sin 2x>0$) lub ( $\sin x<0$ i  $\sin 2x<0$). Rozważmy zatem przypadki.

Przypadek 1

Nierówność $\sin x>0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in (2k\pi ,\pi +2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Nierówność $\sin 2x>0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in (k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem w przypadku pierwszym rozwiązaniem nierównościrozwiązanie nierównościrozwiązaniem nierówności jest zbiór $(2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przypadek 2

Nierówność $\sin x<0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in (\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Nierówność $\sin 2x<0$ jest równoważna warunkowi:

$x\in (\frac{\pi }{2}+k\pi ,\pi +k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem w przypadku drugim rozwiązaniem jest zbiór $x\in (\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,2\pi +2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Biorąc pod uwagę obydwa przypadki, odpowiedź do zadania jest następująca:

$x\in (\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,2\pi +2k\pi )$ lub $x\in (2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

• Sposób 2

Rysujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy dwóch funkcji $y=\sin x$ i $y=\sin 2x$ oraz odczytujemy w jakich przedziałach te funkcje mają ten sam znak.

Zwróćmy uwagę na to, że wspólnym okresem tych funkcji jest liczba $t=2\pi$, a więc możemy rozważyć rozwiązania tylko w przedziale $⟨0,2\pi )$, a potem uogólnić rozwiązanie.

R17mW3kio5Otv

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch pi oraz z pionową osią Y od minus półtora do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji, wykres funkcji y równa się sinus x, która ma okres równy dwa pi, a jej miejsca zerowe to punkty: $\left(0;0\right)$, $\left(\pi ;0\right)$, $\left(2\pi ;0\right)$. Druga funkcja określona jest wzorem y równa się 2 x i jest to funkcja sinus ściśnięta pionowo, to znaczy jej okres wynosi pi, natomiast wartości tej funkcji mają taki sam zakres, czyli zawierają się w przedziale obustronnie domkniętym od minus jeden do jeden. Miejsca zerowe tej funkcji to $\left(0;0\right)$, $\left(\frac{\pi }{2};0\right)$, $\left(\pi ;0\right)$, $\left(\frac{3\pi }{2};0\right)$, $\left(2\pi ;0\right)$. Poza wykresami zaznaczono na dodatniej półosi OX dwa odcinki obustronnie otwarte, które reprezentują przedziały otwarte. Pierwszy ograniczony jest niezamalowanymi punktami $\left(0;0\right)$ i $\left(\frac{\pi }{2};0\right)$. Drugi odcinek ograniczony jest niezamalowanymi punktami $\left(\frac{3\pi }{2};0\right)$ i $\left(2\pi ;0\right)$.

Odczytując zaznaczone przedziały, otrzymujemy rozwiązanie: $x\in (\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,2\pi +2k\pi )$ lub $x\in (2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy nierówność: $\sin x\left|\sin x\right|\le \frac{3}{4}$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeżeli $\sin x<0$, to nierówność z zadania jest spełniona, gdyż lewa strona nierówności jest ujemna, a prawa strona jest dodatnia. Zatem nierówność jest spełniona dla $x\in (\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Jeżeli $\sin x\ge 0$, to nierówność z zadania przyjmuje postać: ${\sin }^{2}x\le \frac{3}{4}$. Ponieważ $\sin x\ge 0$, zatem otrzymujemy w tym przypadku nierówność: $0\le \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ta nierówność jest spełniona dla $x\in ⟨2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ⟩\cup ⟨\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,2\pi +2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu obydwu przypadków otrzymujemy odpowiedź: $x\in ⟨\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,\frac{7\pi }{3}+2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy nierówność: $|4\sin x-1|<1$.

Rozwiązanie

Zapiszmy nierówność w postaci:

$-1<4\sin x-1<1$

$0<4\sin x<2$

$0<\sin x<\frac{1}{2}$

Rysujemy wykres funkcji $y=\sin x$, następnie zaznaczamy proste o równaniach: $y=0$ i $y=\frac{1}{2}$ i odczytujemy, dla jakich argumentów fragmenty wykresu funkcji $y=\sin x$ znajdują się między tymi prostymi.

RhsJbOIRiRdXN

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch pi oraz z pionową osią Y od minus półtora do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się sinus x, dwie poziome proste i dwa odcinki otwarte na dodatniej półosi OX reprezentujące dwa przedziały otwarte. Poziome proste zadane są równaniami: y równa się jedna druga i y równa się zero. Odcinki otwarte ograniczone są niezamalowanymi punktami: pierwszy $\left(0;0\right)$ i $\left(\frac{\pi }{6};0\right)$, gdzie z punktu $\left(\frac{\pi }{6};0\right)$ poprowadzono linią przerywaną pionową odcinek do wykresu funkcji sinus x. Drugi odcinek ograniczony jest punktami $\left(\frac{5\pi }{6};0\right)$ i $\left(\pi ;0\right)$. Z punktu $\left(\frac{5\pi }{6};0\right)$ poprowadzono pionowy odcinek linią przerywaną do wykresu funkcji sinus x.

Stąd otrzymujemy odpowiedź:

$x\in (2k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi )\cup (\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,\pi +2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność: $\sin x<9x^2-6x+2$.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia zapiszmy nierówność w postaci:

$\sin x<(3x-1{)}^2+1$.

Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą nierówności: $1\le (3x-1{)}^2+1$ oraz $\sin x\le 1$. Stąd otrzymujemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność: $\sin x\le (3x-1{)}^2+1$.

Pozostaje udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi warunek: $\sin x\ne (3x-1{)}^2+1$.

Zauważmy, że funkcja $y=(3x-1{)}^2+1$ przyjmuje wartość $1$ tylko dla argumentu $x=\frac{1}{3}$, ale funkcja $y=\sin x$ przyjmuje dla tego argumentu wartość mniejszą od $1$.

Zatem dowiedliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność: $\sin x<9x^2-6x+2$.

Rozwiążemy nierówność: $(2\sin x-1)(4{\sin }^{2}x-3)<0$.

Rozwiązanie

Nierówność można rozwiązać rozważając przypadki: ($2\sin x-1>0$ i  $4{\sin }^{2}x-3<0$) lub ($2\sin x-1<0$ i  $4{\sin }^{2}x-3>0$).

Ale wybierzemy inna metodę: metodę podstawienia.

Podstawmy: $t=\sin x$.

Otrzymujemy nierówność wielomianową: $(2t-1)(4t^2-3)<0$,

$(2t-1)(2t-\sqrt{3})(2t+\sqrt{3})<0$.

Pierwiastkami wielomianu $W\left(t\right)=(2t-1)(2t-\sqrt{3})(2t+\sqrt{3})$ są: $\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Rysujemy wykres wielomianu i rozwiązujemy nierówność.

R1AKUIY3ffZ5t

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do pi oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech i pół. Na płaszczyźnie narysowano wykres wielomianu i dwa przedziały na osi X. Wykres biegnie od minus nieskończoności niemal pionowo, przecina oś X w niezamalowanym punkcie $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, biegnie dalej osiągnięcia wartości około 4,3, po czym funkcja zaczyna maleć, przecina oś Y w punkcie $\left(0;3\right)$. Następnie wykres przecina oś X w niezamalowanym punkcie $\left(\frac{1}{2};0\right)$. Po osiągnięciu wartości minus jedna druga, funkcja znowu zaczyna rosnąć, przecina ponownie oś X w niezamalowanym punkcie $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, po czym wykres biegnie niemal pionowo do góry. Na osi X zaznaczono dwa przedziały otwarte. Pierwszy reprezentuje pozioma półprosta leżąca na ujemnej półosi OX i biegnie od minus nieskończoności do niezamalowanego punktu $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$. Drugi przedział otwarty reprezentuje poziomy odcinek otwarty leżący na dodatniej półosi OX. Odcinek jest ograniczony dwoa niezamalowanymi punktami: $\left(\frac{1}{2};0\right)$ oraz $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Rozwiązaniem nierówności $(2t-1)(2t-\sqrt{3})(2t+\sqrt{3})<0$ jest zbiór

$(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{2})\cup (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Zatem wróćmy do zmiennej $x$. Otrzymujemy nierówności:

$\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $\frac{1}{2}<\sin x<\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi )\cup (\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi )\cup (\frac{4\pi }{3}+2k\pi ,\frac{5\pi }{3}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

zbiór wszystkich elementów dziedziny nierówności, które spełniają tę nierówność.