W tym równaniu również nie występuje zmienna $x$. Oznacza to, że dla dowolnego $x$ wartość zmiennej $y$ zawsze równa będzie $\left(-2\right)$. Możemy tę zależność zilustrować tabelką:

Zwróćmy jeszcze uwagę, że liczby $x$ wybraliśmy zupełnie losowo. Równanie $y=-2$ jest spełnione przez punkty $A=\left(-7,-2\right)$, $B=\left(-4,-2\right)$, $C=\left(-1,-2\right)$, $D=\left(2,-2\right)$, $E=\left(5,-2\right)$.

R9fPRs8pkQ2G7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, natomiast oś pionowa jako Y. Na osi X znajdują się liczby od -9 do 9, a na osi Y od -5 do sześć. Zaznaczono pięć punktów: $A=\left(-7;-2\right)$, $B=\left(-4;-2\right)$, $C=\left(-1;-2\right)$, $D=\left(2;-2\right)$, $E=\left(5;-2\right)$.

Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych możemy przez nie poprowadzić prostą o równaniu $y=-2$.

RsbyYIVULtg3P

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Układ posiada oś poziomą oznaczoną jako X, pionową jako Y. Na osi poziomej X liczby są z zakresu od -9 do 9, na osi pionowej Y od -5 do sześć. W trzeciej i czwartej ćwiartce zaznaczono punkty: $A=\left(-7;-2\right)$, $B=\left(-4;-2\right)$, $C=\left(-1;-2\right)$, $D=\left(2;-2\right)$, $E=\left(5;-2\right)$. Następnie poprowadzono przez nie prostą, ma ona równanie $y=-2$.

W tym równaniu również nie występuje zmienna $x$, więc wartość $y$ jest równa 0, niezależnie od wartości $x$. Zilustrujmy to tabelką:

A zatem równanie $y=0$ jest spełnione przez punkty $A=\left(-7,0\right)$, $B=\left(-4,0\right)$, $C=\left(-1,0\right)$, $D=\left(2,0\right)$, $E=\left(5,0\right)$.

RJEFxwg2a3nB6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Na osi poziomej X znajdują się liczby z zakresu od -9 do dziewięć. Na osi pionowej Y znajdują się liczby od -5 do sześć. Na osi X zaznaczono punkty: $A=\left(-7;0\right)$, $B=\left(-4;0\right)$, $C=\left(-1;0\right)$, $D=\left(2;0\right)$, $E=\left(5,;,0\right)$.

Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych możemy poprowadzić prostą o równaniu $y=0$.

RuNNSaKolu7bO

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od -9 do 9, natomiast oś pionowa Y od -5 do sześć. Zaznaczono punkty A B C D E o współrzędnych kolejno: $\left(-7;0\right)$, $\left(-4;0\right)$, $\left(-1;0\right)$, $\left(2;0\right)$ oraz $\left(2;0\right)$. Poprowadzono prostą przez te punkty, jej równanie to: $y=0$.

Aby naszkicować wykres tego równania możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej. Wprost z definicji wynika, że równanie jest spełnione gdy $y-1=3$ lub $y-1=-3$. Czyli równoważnie $y=4$ lub $y=-2$. Pierwsze współrzędne punktów $\left(x,y\right)$ należących do opisanego zbioru mogą być dowolne. Zatem wykresem równania $\left|y-1\right|=3$ jest suma dwóch prostych o równaniach $y=4$, $y=-2$.

R1E8mN3XskJoh

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych z osią poziomą X i osią pionową Y. Oś pozioma X ma liczby od -9 do 9, oś pionowa Y ma liczby od -5 do sześć. Zaznaczono dwie poziome proste o równaniach: $y=4$ oraz $y=-2$.

Korzystając z interpretacji graficznej możemy stwierdzić, że interesują nas wszystkie punkty $\left(x,y\right)$, dla których pierwsza współrzędna jest dowolna, zaś druga jest liczbą, której odległość od jedynki jest równa $3$. W odległości $3$ od liczby $1$ leżą liczby $y=-2$ oraz $y=4$.

Aby naszkicować wykres tego równania możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej, z której wynika, że równanie jest spełnione gdy $y+2=3$ lub $y+2=-3$. Czyli równoważnie $y=1$ lub $y=-5$. Pierwsze współrzędne punktów $\left(x,y\right)$ mogą być dowolne. Zatem wykresem równania $\left|y+2\right|=3$ jest suma dwóch prostych o równaniach $y=1$, $y=-5$.

R1HtW5uLb1cU8

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono jako X, pionową jako Y. Na osi X znajdują się liczby z zakresu od -9 do 9, a na osi Y liczby od -5 do sześć. Zaznaczono dwie proste równoległe z osią X. Pierwsza z nich ma równanie $y=1$, natomiast druga ma równanie $y=-5$.

Tym razem interesują nas wszystkie punkty $\left(x,y\right)$, których współrzędna $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś druga jest niemniejsza (większa lub równa) od $2$. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą ponad prostą o równaniu $y=2$ lub na tej prostej. Dlatego ta prosta będzie narysowana linią ciągłą.

R16VZZWvZ7I5J

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X posiada liczby z zakresu od minus 9 do 9, natomiast oś pionowa Y od minus 5 do sześć. Zaznaczono obszar, do którego należą wszystkie punkty spełniające nierówność $y\ge 2$.

Tym razem interesują nas wszystkie punkty $\left(x,y\right)$, których współrzędna $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś $y$ jest liczbą mniejszą od $3$. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy:

R1ZrkeGxJHeXd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Układ posiada oś poziomą oznaczoną jako X, pionową jako Y. Na osi poziomej X liczby są z zakresu od -9 do 9, na osi pionowej Y od -5 do sześć. Na układzie zaznaczono niebieskim kolorem obszar, do którego należą wszystkie x oraz y spełniające nierówność $y<3$.

Tym razem interesują nas wszystkie punkty $\left(x,y\right)$, których współrzędna $x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś $y$ jest liczbą niewiększą (mniejszą lub równą) od $\left(-2\right)$. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą pod prostą o równaniu $y=-2$ lub na tej prostej. Dlatego ta prostaprostaprosta będzie narysowana linią ciągłą.

RSuAqRpQCHCwH

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pionowa Y ma liczby z zakresu od -5 do sześć. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od -9 do dziewięć. Zaznaczono obszar, do którego należą wszystkie punkty spełniające nierówność $y\le -2$.

Tym razem nierówność $\left|y\right|⩽3$ możemy przedstawić równoważnie jako nierówność podwójną $-3⩽y⩽3$. Ponieważ pierwsza współrzędna szukanych punktów $\left(x,y\right)$ może być dowolna, zatem interesuje nas obszar pomiędzy prostymi o równaniach $y=3$ i $y=-3$ wraz z tymi prostymi. Z interpretacji geometrycznej wynika, że nierówność $\left|y\right|⩽3$ to zbiór wszystkich liczb $y$, które leżą w odległości co najwyżej $3$ jednostek od zera na osi $Y$. Oczywiście oznacza to, że $y\in ⟨-3,3⟩$.

RRJp3WfV2RF8w

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od -9 do 9, natomiast oś pionowa Y od -5 do sześć. Zaznaczono obszar ograniczony prostymi $y=-3$ oraz $y=3$. Punkty leżące na obu prostych też należą do obszaru.

Tym razem nierówność $\left|y\right|>2$ możemy przedstawić jako alternatywę $y>2$ lub $y<-2$. Współrzędna $x$ szukanych punktów $\left(x,y\right)$ może być dowolną liczbą rzeczywistą, zatem interesujące nas punkty, które leżą nad prostą o równaniu $y=2$ lub pod prostą o równaniu $y=-2$, ale nie należą do tych prostych.

R1dv70PwFjV7U

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, natomiast oś pionowa jako Y. Na osi X znajdują się liczby od -9 do 9, a na osi Y od -5 do sześć. Niebieskim kolorem zaznaczono obszar, do którego należą wszystkie x oraz y spełniające warunek: $y>2$ lub $y<-2$.

Geometrycznie nierówność $\left|y\right|>2$ można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb $y$, których odległość od zera na osi $Y$ jest większa od $2$. Zatem $y\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$. Współrzędna $x$ szukanych punktów $\left(x,y\right)$ ponownie może przyjmować dowolną wartość.

Tym razem nierówność $\left|y\right|⩾4$ możemy przedstawić jako alternatywę $y⩾4$ lub $y⩽-4$. Pierwsza współrzędna szukanych punktów $\left(x,y\right)$ może być dowolną liczbą, zatem interesujące nas punkty leżą nad prostą o równaniu $y=4$ lub pod prostą o równaniu $y=-4$, lub na tych prostych.

RErYX3hS2LSE7

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych o pionowej osi Y i poziomej osi X. Na osi X znajdują się liczby z zakresu od -9 do 9, na osi Y od -5 do sześć. Na układzie zaznaczono obszar, w którego skład wchodzą wszystkie punkty spełniające nierówność: $\left|y\right|\ge 4$.

Geometrycznie nierówność $\left|y\right|\ge 4$ można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb $y$, których odległość od zera na osi $Y$ jest niemniejsza od $4$. Zatem $y\in \left(-\infty ,-4\right.⟩\cup \left.⟨4,+\infty \right)$. Współrzędna $x$ szukanych punktów $\left(x,y\right)$ ponownie może przyjmować dowolną wartość.

Powyższa nierówność jest równoważna nierówności podwójnej $-1⩽y+4⩽1 \left|-4\right.$

$-1-4⩽y+4-4⩽1-4$

$-5⩽y⩽-3$

Wobec tego interesujące nas punkty leżą pomiędzy prostymi o równaniach $y=-5$ oraz $y=-3$ lub na tych prostych. Linie oznaczające te proste rysujemy w sposób ciągły.

RTVepkrw1Vd76

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od -9 do 9, natomiast oś pionowa Y ma liczby z zakresu od -7 do cztery. Zaznaczono obszar, do którego należą wszystkie x i y spełniające warunek: $y\le -3$ i $y\ge -5$.