Warto przeczytać

Określenie zachowania się ciał pod wpływem przyłożonych do nich sił najczęściej polega na wyznaczeniu parametrów ruchu. Siły mogą również doprowadzić do zniszczenia lub deformacji ciała, lecz o tym nie będziemy mówić. Parametrami ruchu są zazwyczaj: przyspieszenie lub prędkość, czas, w jakim będzie odbywał się ruch lub droga, jaką ciało przebędzie. Wszystkie te wielkości zależą od wartości siły wypadkowejsiła wypadkowasiły wypadkowej działającej na ciało. Rozpatrzmy kilka przykładów prezentujących takie sytuacje.

Przykład 1.

Po poziomej drodze jedzie samochód napędzany silnikiem generującym siłę $\vec{F}$. Na samochód działają siły hamujące, których sumaryczna wartość wynosi ${\vec{F}}_h$. Wyznacz wartość przyspieszenia wypadkowego, z jakim porusza się samochód wiedząc, że jego masa jest równa $m_s$, a wartość siły generowanej przez silnik jest większa niż sumaryczna wartość sił hamujących.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R1d38Kk6a47ou

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie samochód poruszający się pod wpływem dwóch sił działających na niego. Na rysunku widoczny jest samochód w postaci poziomego, prostokątnego i niebieskiego kształtu. Samochód porusza się po poziomej i płaskiej powierzchni narysowanej, jako pozioma i czarna linia. Masa samochodu podpisana została małą literą m z indeksem dolnym mała litera s. Do środka masy pojazdu przyłożono wektory sił działających na niego. Wektory sił widoczne są w postaci poziomych strzałek. Jeden z wektorów, przedstawiony został jako czarna, pozioma strzałka skierowana w prawo. Jest to wektor siły generowanej przez silnik samochodu, wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor. Drugi wektor siły, widoczny jest w postaci czerwonej, poziomej strzałki skierowanej w lewo. Podpisano go, jako siła hamowania, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera h i strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły hamowania jest krótszy niż wektor siły generowanej przez silnik samochodu. Oznacza to, że na pojazd działa niezrównoważona siła i porusza się on ruchem jednostajnie przyspieszonym w kierunku działania większej z sił, w tym przypadku siły generowanej przez silnik. Wektor siły wypadkowej również narysowano w postaci poziomej, tym razem zielonej strzałki, skierowanej w prawo, zgodnie z wektorem siły wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor siły wypadkowej podpisano wielką literą F z indeksem dolnym mała litera w i strzałką oznaczającą wektor.

W pierwszym kroku wyznaczmy siłę wypadkowąsiła wypadkowasiłę wypadkową, która odpowiedzialna jest za ruch samochodu. W zapisie wektorowym przyjmuje ona postać:

Wyznaczenie jej wartości wymaga uwzględnienia zwrotów sił $\vec{F}$ oraz ${\vec{F}}_h$. Wyrażana jest ona jako

Znając wartość siły odpowiedzialnej za ruch pojazdu możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia, z jakim się on porusza, wykorzystując II zasadę dynamiki NewtonaII zasada dynamiki NewtonaII zasadę dynamiki Newtona.

Przykład 2.

Po zboczu górki pokrytym śniegiem zjeżdża na sankach dziecko. Masa sanek wraz z siedzącym na nich dzieckiem jest równa $M$. Zbocze górki nachylone jest względem poziomu pod kątem $\alpha$ i ma długość $L$. Wyznacz czas, po którym sanki wraz z dzieckiem znajdą się u podstawy zbocza, jeśli wiesz, że w trakcie ruchu działa na nie stała w czasie (i w szczególności niezależna od prędkości) siła tarcia $\vec{T}$.

Rozwiązanie:

R9Seps31Dw0kw

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest saneczkarz, zjeżdżający ze zbocza górki. Na ilustracji widoczna jest górka w postaci trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych jest pozioma, a przeciwprostokątna pochylona jest w prawą stronę, pod kątem małą grecka litera alfa do kierunku poziomego. Przeciwprostokątna symbolizuje zbocze górki. Długość zbocza górki opisano wielką literą L. W lewej i górnej części ilustracji widoczny jest wektor przyspieszenia grawitacyjnego, mała litera g ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor przyspieszenia grawitacyjnego narysowano w postaci pionowej strzałki, skierowanej w dół. Na zboczu widoczny jest saneczkarz w postaci czarnej postaci siedzącej na sankach, którego masę podpisano wielką literą M. . Do środka masy saneczkarza przyłożono dwa wektory sił, widoczne w postaci strzałek. Jedna z siła działających na saneczkarza to siła ciężkości wielka litera F z indeksem dolnym mała litera c i strzałką oznaczającą wektor. Narysowano ją w postaci czarnej, pionowej strzałki, skierowanej w dół. Druga z sił przyłożonych do środka masy saneczkarza to siła styczna do powierzchni zbocza górki, wielka litera F z indeksem dolnym mała litera s i strzałką oznaczającą wektor. Narysowano ją w postaci czerwonej strzałki, skierowanej wzdłuż zbocza równi i wskazującej kierunek ku jej podstawie. Końce wektorów sił grawitacji i stycznej połączono czarnym odcinkiem. Kąt pomiędzy tym odcinkiem a wektorem siły grawitacji jest równy kątowi nachylenia zbocza względem kierunku poziomego, mała grecka litera alfa. Do punktu w którym tylna część płóz sanek styka się z powierzchnią górki przyłożono wektor siły tarcia, wielka litera T ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor ten narysowano w postaci niebieskiej strzałki, równoległej względem zbocza górki i wskazującej kierunek przeciwny do ruchu saneczkarza, czyli ku jej szczytowi.

Wyznaczmy wartość siły wypadkowejsiła wypadkowasiły wypadkowej działającej na sanki i dziecko. Ruch saneczkarza odbywa się pod wpływem składowej siły ciężkości$,$ siły ${\vec{F}}_s$ stycznej do powierzchni zbocza. Wyznaczamy ją korzystając z funkcji trygonometrycznej

Jest to siła wywołująca ruch sanek i siedzącego na nich dziecka. Sile tej przeciwdziała siła tarcia $\vec{T}$. Wypadkowa siłasiła wypadkowaWypadkowa siła powodująca ruch to suma tych sił:

Wartość siły wypadkowejsiła wypadkowasiły wypadkowej, po uwzględnieniu zwrotów składających się na nią sił, zapisujemy jako

Znając wartość siły wypadkowejsiła wypadkowasiły wypadkowej wprawiającej nasz obiekt w ruch, jesteśmy w stanie wyznaczyć wartość przyspieszenia, z jakim sanki wraz z dzieckiem poruszają się po zboczu górki. Wykorzystamy w tym celu II zasadę dynamikiII zasada dynamiki NewtonaII zasadę dynamiki:

Wyznaczenie czasu, po którym nasz saneczkarz znajdzie się u podstawy górki, wymaga zastosowania wzoru opisującego drogę przebytą w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

Możemy stąd wyznaczyć czas ruchu:

i - wykorzystując wielkości podane w treści zadania - otrzymujemy wzór końcowy określający poszukiwany czas:

Przykład 3.

Wyznacz prędkość wylotową pocisku ${\overrightarrow{v}}_w$ o masie $m$ z lufy karabinu o długości $L$. Na pocisk w lufie działa średnia siła wprawiająca go w ruch ${\vec{F}}_{śr}$.

R1JFNkeA6VYAN

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono schematycznie karabin oraz pocisk w chwili wystrzału. Na rysunku widoczny jest karabin o brązowej kolbie i czarnej lufie, skierowanej poziomo w prawo. Długość lufy karabinu podpisano wielką literą L. Nad lufą widoczny jest poziomy, szary prostokąt, równoległy do lufy, którego poziomy bok ma tę samą długość co lufa karabinu. Prostokąt ten, symbolizuje wnętrze lufy. Na lewym końcu prostokąta widoczny jest szary, cylindryczny pocisk o masie mała litera m. Do pocisku, przyłożono wektor siły wprawiającej go w ruch, w chwili wystrzału, wielka litera F z indeksem dolnym małe litery śr i strzałką oznaczającą wektor. Jest to średnia siła działająca na pocisk w czasie jego ruchu wewnątrz lufy. Wektor siły widoczny jest w postaci niebieskiej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Przed lufą również widoczny jest szary i cylindryczny pocisk, który symbolizuje to co dzieje się po jego wylocie z lufy karabinu. Do pocisku przyłożono poziomy, niebieski wektor, skierowany w prawo. Symbolizuje on wektor prędkości wylotowej, mała litera v z indeksem dolnym mała litera w i strzałką oznaczającą wektor.

Rozwiązanie:

Wyznaczenie prędkości wylotowej pocisku wymaga znajomości wartości przyspieszenia, jakiego doznaje on podczas wystrzału. Wiemy, że średnia siła działająca na pocisk to ${\vec{F}}_{śr}$. Wykorzystując II zasadę dynamiki możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia pocisku $\vec{a}$:

Wiedząc, że prędkość początkowa pocisku w lufie przed wystrzałem była równa zero, wyznaczmy czas, w którym znajdoweł się on wewnątrz lufy. Jest to czas, w którym poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym, nabierając prędkości od wartości $0$do $v_w$. W tym celu posłużymy się wzorem opisującym drogę przebytą przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym (z zerową prędkością początkową):

skąd

A mając czas, w którym pocisk poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym, możemy wyznaczyć szukaną wartość prędkości wylotowej:

Przykład 4.

Zastanówmy się nad jeszcze jednym zagadnieniem. Jaką drogę przebędzie klocek o masie $m$ poruszający się ruchem jednostajnie opóźnionym po płaskiej powierzchni do momentu, aż się zatrzyma. Klocek początkowo porusza się z prędkością $v_0$. W chwili $t_0=0$ zaczyna działać na niego siła hamująca (tarcie) $\vec{T}$.

RF84rzfAfqS4l

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym schematycznie przedstawiono klocek, przesuwający się po poziomej i płaskiej powierzchni, w obecności niezrównoważonej siły tarcia. Na rysunku widoczny jest klocek, w postaci niebieskiego, poziomego prostokąta umieszczonego na płaskiej i poziomej powierzchni. Masę klocka podpisano małą literą m. Do środka masy klocka przyłożono wektor jego prędkości początkowej, mała litera v z indeksem dolnym zero i strzałką oznaczającą wektor. Wektor ten, narysowano w postaci poziomej, czerwonej strzałki skierowanej w prawo. Do lewego i dolnego rogu klocka, w punkcie jego styczności z podłożem, przyłożony został wektor siły tarcia wielka litera T ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor ten, widoczny jest w postaci poziomej, zielonej strzałki skierowanej w lewo.

Rozwiązanie:

Podobnie jak w każdym zadaniu, którego celem jest opis parametrów ruchu pod wpływem działania sił, należy znaleźć siłę wypadkowąsiła wypadkowasiłę wypadkową. W tym przypadku siła wypadkowa jest równa po prostu sile tarcia. Skutkiem jej obecności zgodnie z II zasadą dynamiki jest nadanie ciału pewnego przyspieszenia. Zwrot wektora siły tarcia jest jednak przeciwny względem zwrotu wektora prędkości, wobec czego przyspieszenie wyznaczone ze wzoru

intepretujemy jako opóźnienie. Korzystając z definicji przyspieszenia $\vec{a}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}_k-\vec{v}_0}{t_k-t_0}$ możemy wyznaczyć czas, w którym odbywać się będzie ruch klocka:

Pamiętając o tym, że jest to ruch jednostajnie opóźniony, wyznaczamy drogę, jaką przebędzie klocek do zatrzymania. Wykorzystamy w tym celu wzór opisujący drogę przebytą w ruchu jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową:

Co, po wykorzystaniu wielkości podanych w treści zadania, daje wynik w postaci

W powyższych przykładach przeanalizowaliśmy kilka podstawowych zagadnień, w których wyznaczaliśmy parametry ruchu ciała pod wpływem przyłożonych do niego sił. W każdym z nich zwiększaliśmy poziom trudności poprzez dołożenie kolejnego parametru. Na początku wyznaczyliśmy przyspieszenie jako skutek działania sił. Następnie przeanalizowaliśmy, jak długo odbywać się będzie ruch, by pokazać efekt końcowy w postaci zmiany prędkości lub przebytej drogi.

Słowniczek