Warto przeczytać

Chcąc otrzymać zwierciadło kuliste, należy wziąć sferę, czyli powierzchnię kuli, i odciąć jej fragment. Następnie otrzymaną czaszę kulistą trzeba pokryć warstwą odbijającą (Rys. 1). Nadając lustrzany połysk jej zewnętrznej stronie, otrzymujemy zwierciadło kuliste wypukłe.

R1AUd5H1OhCgb

Rys. 1. Na ilustracji widoczna jest z lewej strony szara sfera, przez której środek oznaczony wielką literą O przechodzi pozioma przerywana czarna linia. Po prawej stronie widoczna jest część identycznej sfery, której większa, prawa część została wycięta. Wycięcie części sfery sprawiło, że widoczna jest jej zewnętrzna, bardziej połyskliwa powierzchnia. Połysk symbolizuje pokrycie jej odpowiednią substancją odbijającą światło. W ten sposób, wewnętrzna część wyciętej sfery stała się stała się zwierciadłem kulistym wklęsłym. Wycięta część sfery narysowana jest na tej samej czarnej, przerywanej i poziomej linii co sfera po lewej stronie. W hipotetycznym środku wyciętej sfery również zaznaczony jest punkt oznaczony wielką literą O i oznaczający środek. Na powierzchni wyciętego kawałka, również na czarnej przerywanej linii oznaczono punkt duże W, który symbolizuje wierzchołek sfery. Analizując rysunek można zauważyć, że odległość pomiędzy punktem oznaczonym wielką literą O i symbolizującym teoretyczny środek fragmentu wyciętej sfery, a wierzchołkiem sfery, znajdującym się na jej powierzchni, stanowi promień krzywizny powstałego zwierciadła.

Promienie równoległe padające na tak powstałe zwierciadło po odbiciu od jego powierzchni nie przecinają się w jednym punkcie, lecz tworzą wiązkę rozbieżną – tak, jak zostało to przedstawione na Rys. 2. (w celu uniknięcia aberracji sferycznej, rozpatrujemy promienie przyosiowe, czyli takie, które leżą bisko osi optycznej układu). Jednak gdy narysujemy przedłużenia tych promieni, możemy zauważyć, iż przecinają się one po drugiej stronie zwierciadła – w punkcie, który nazywamy ogniskiem i oznaczamy literą F. Jeśli w tym punkcie umieścimy ekran, to nie pojawi się na nim obraz przedmiotu – ognisko to ma zatem inny charakter niż w przypadku zwierciadła kulistego wklęsłego – jest pozorneognisko pozornepozorne. Odległość ogniska od zwierciadła nazywamy ogniskową i oznaczamy literą f. Zależność pomiędzy promieniem krzywizny zwierciadła (czyli promieniem sfery, z której to zwierciadło powstało) a ogniskową wyraża się wzorem:

f – odległość ogniskowa [m],

r – promień krzywizny zwierciadła [m].

R12Bsz13di5cQ

Rys. 2. Na ilustracji, po prawej stronie przedstawione jest schematycznie zwierciadło kuliste wypukłe w postaci symetrycznego łuku, będącego fragmentem okręgu. Łuk ten narysowany jest czarnym kolorem. wypukła część zwierciadła skierowana jest w lewą stronę. Po prawej, wklęsłej stronie styczne do zwierciadła, narysowane są ukośne czarne kreski, które oznaczają, że powierzchnia odbijająca zwierciadła jest skierowana w lewą stronę. Przez środek ilustracji przechodzi pozioma czarna linia, w taki sposób, że dzieli ona zwierciadło na dwie równe części. Czarna linia symbolizuje oś optyczną wklęsłego zwierciadła kulistego. Na czarnej linii, po prawej stronie zwierciadła, zaznaczone są trzy punkty. Najbardziej z lewej znajduje się punkt oznaczony wielką literą W, który oznacza wierzchołek zwierciadła. Leży on na powierzchni zwierciadła. Nieco z prawej strony widoczny jest punkt oznaczony wielką literą F, który oznacza ognisko zwierciadła. Najbardziej po prawej stronie widoczny jest punkt oznaczony wielką literą O. Punkt ten stanowi hipotetyczny środek okręgu, którego fragmentem jest zwierciadło. Odległość pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami O i F jest taka sama, jak odległość pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami W i F. Odległość pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami O i W stanowi promień krzywizny kulistego zwierciadła wklęsłego, a zatem możemy wywnioskować, że ognisko kulistego zwierciadła wklęsłego umiejscowione jest zawsze w odległości równej połowie promienia krzywizny. Równolegle do osi optycznej zwierciadła narysowanego w postaci czarnej poziomej linii, biegną czerwone również poziome linie z zaznaczonym kierunkiem w prawą stronę. Linie te padają na zwierciadło od lewej strony. Linie te oznaczają teoretyczne promienie świetlne. Po odbiciu się od zwierciadła, czerwone promienie odbijają się rozbieżnie w lewą stronę, a ich przedłużenia w prawą stronę, narysowane w postaci przerywanych, czerwonych, prostych linii skupiają się w ognisku oznaczonym wielką literą F. Ilustracja przedstawia zatem, schematyczny bieg promieni świetlnych odbitych od wypukłego zwierciadła kulistego.

W celu konstrukcyjnego wyznaczenia obrazu powstającego w zwierciadle kulistym wypukłym, podobnie jak dla zwierciadła kulistego wklęsłego, posługujemy się dwoma spośród promieni odbitych od jego powierzchni. W miejscu przecięcia się ich przedłużeń otrzymujemy szukany obraz. Możemy tutaj wykorzystać następujące promienie:

1. Promień równoległy do osi optycznej, który odbija się od zwierciadła w taki sposób, że jego przedłużenie przechodzi przez ognisko tego zwierciadła (Rys. 3. – promień 1).

2. Promień padający na wierzchołek W zwierciadła pod dowolnym kątem α odbija się pod takim samym kątem $\alpha$ (Rys. 3. – promień 2).

3. Promień padający na powierzchnię zwierciadła pod kątem 0Indeks górny 0⁰ (którego przedłużenie przechodzi przez punkt O, czyli środek krzywizny zwierciadła), odbija się pod tym samym kątem 0Indeks górny 0⁰, więc tor promienia odbitego jest taki sam jak tor promienia padającego (Rys. 3. – promień 3).

R1UY76s5Z2KTD

Rys. 3. Rysunek przedstawia schematycznie odbicie promieni świetlnych od powierzchni wypukłego zwierciadła kulistego. Na ilustracji, po prawej stronie przedstawione jest schematycznie zwierciadło kuliste wypukłe w postaci symetrycznego łuku, będącego fragmentem okręgu. Łuk ten narysowany jest czarnym kolorem. wypukła część zwierciadła skierowana jest w lewą stronę. Po prawej, wklęsłej stronie styczne do zwierciadła, narysowane są ukośne czarne kreski, które oznaczają, że powierzchnia odbijająca zwierciadła jest skierowana w lewą stronę. Przez środek ilustracji przechodzi pozioma czarna linia, w taki sposób, że dzieli ona zwierciadło na dwie równe części. Czarna linia symbolizuje oś optyczną wklęsłego zwierciadła kulistego. Na czarnej linii, po prawej stronie zwierciadła, zaznaczone są trzy punkty. Najbardziej z lewej znajduje się punkt oznaczony wielką literą W, który oznacza wierzchołek zwierciadła. Leży on na powierzchni zwierciadła. Nieco z prawej strony widoczny jest punkt oznaczony wielką literą F, który oznacza ognisko zwierciadła. Najbardziej po prawej stronie widoczny jest punkt oznaczony wielką literą O. Punkt ten stanowi hipotetyczny środek okręgu, którego fragmentem jest zwierciadło. Punkt wielka litera O jest oddalony od punktu wielka litera W dwa razy bardziej niż punkt wielka litera F. Z lewej strony padają na zwierciadło trzy promienie narysowane w postaci linii ciągłych, skierowanych w prawą stronę do powierzchni odbijającej zwierciadła. Jedne z nich, oznaczony jako 1 jest czerwony. Biegnie on równolegle do osi optycznej i odbija się od zwierciadła w lewo i w górę, a jego przedłużenie w prawą stronę narysowane w postaci czerwonej, przerywanej linii przechodzi przez ognisko zwierciadła wielka litera F. Drugi z promieni oznaczony jako 2 jest zielony i biegnie w prawą stronę i w dół. Pada on na zwierciadło w jego wierzchołku, a kąt pomiędzy promieniem a osią optyczną jest równy mała grecka litera alfa. Odbija się on od powierzchni zwierciadła pod takim samy kątem mała grecka litera alfa pod jakim pada. Trzeci promień jest niebieski i oznaczony jako 3. Biegnie on z lewego, górnego rogu ilustracji i pada na zwierciadło pod kątem prostym do zakrzywionej powierzchni. Po odbiciu podąża on tym samym torem ale w przeciwnym kierunku. Przedłużenie tego promienia przechodzi przez środek zwierciadła oznaczony jako wielka litera O.

Dodatkowo, chcąc scharakteryzować powstające w zwierciadle obrazy, używa się pojęć takich jak: odległość obrazowanego obiektu od powierzchni odbijającej x oraz odległość obrazu od zwierciadła y. Dla zwierciadła kulistego wypukłego prawdziwe jest równanie zwierciadła:

w którym:

f – odległość ogniskowa [m],

x – odległość przedmiotu od zwierciadła [m],

y – odległość obrazu od zwierciadła [m].

Stosując równanie zwierciadła, należy uwzględniać znaki poszczególnych wielkości. Jeśli założymy, że w przypadku promieni padających na zwierciadło od strony lewej do prawej, warto przyjąć, że na lewo od powierzchni odbijającej (czyli zgodnie z kierunkiem biegu promieni) – wielkości będą miały znak „+”, zaś na prawo od tej powierzchni – znak „–”. Zatem w przypadku zwierciadła kulistego wypukłego promień krzywizny tego zwierciadła jak i ogniskowa są ujemne.

Zastanówmy się jeszcze, w jaki sposób można opisać zależność y od x. Przekształcając powyższe równanie, otrzymujemy:

Przedstawmy to na wykresie y(x):

RN12ikzkvhk9X

Rys. 4. Na ilustracji widoczny jest narysowany czarnymi strzałkami układ współrzędnych. Oś pionowa skierowana do góry oznaczona jest jako mała litera y, a oś pozioma skierowana w prawo oznaczona jest małą literą x. Punkt przecięcia osi oznaczono jako zero. W częściach ujemnych osi obu zaznaczono położenia minus mała litera f, co oznacza długość pozornej ogniskowej zwierciadła oraz minus dwa razy mała litera f, które oznacza środek zwierciadła znajdujący się w odległości dwa razy większej niż wynosi długość ogniskowej. Przez te punktu poprowadzono czarne, przerywane linie równoległe do osi układu współrzędnych. W układzie narysowana jest także punkcja jeden przez mała litera x, która jest przesunięta. Funkcje te zbliżają się asymptotycznie do przerywanych linii, którymi oznaczono na wykresie odległość pomiędzy środkiem układu współrzędnych a ogniskiem pozornym zwierciadła mała litera f.

Przyjrzyjmy się wykresowi y(x) (Rys. 4.). W zależności od odległości przedmiotu od zwierciadła możemy zaobserwować, iż powstający w nim obraz wygląda następująco:

• x > 0

Rd0AayH4WLnhP

Rys. 5. Na rysunku przedstawione jest schematycznie tworzenie obrazu przedmiotu umieszczonego przed kulistym zwierciadłem wypukłym. Zwierciadło narysowane jest w postaci czarnego łuku, którego wypukła część skierowana jest w lewą stronę. Z prawej strony zwierciadła narysowane są ukośne, czarne kreski, które oznaczają, że powierzchnia odbijająca zwierciadła znajduje się po lewej stronie. W postaci czarnej, poziomej linii narysowana jest oś optyczna zwierciadła, która przecina je i dzieli na dwie symetryczne części, górną i dolną. Po lewej stronie zwierciadła widoczna jest czarna pionowa strzałka skierowana ku górze i podpisana jako przedmiot. Z jej grotu wychodzą dwie czarne, skierowane w prawą stronę do zwierciadła czarne linie. Symbolizują one promienie świetlne. Jeden promień jest równoległy do osi a po dobiciu podąża w górę i w lewo. Jego przedłużenie jest przerywaną czarną linią i przechodzi przez zwierciadło w prawą stronę. Przedłużenie to powinno przechodzić przez ognisko pozorne zwierciadła. Drugi promień świetlny skierowany jest ukośnie w dół i w prawo. Pada on na zwierciadło w punkcie przecięcia zwierciadła i osi optycznej. Odbija się on od zwierciadła pod takim samym kątem, pod jakim na nie pada. Jego przedłużenie po prawej stronie zwierciadła narysowane jest także czarną i przerwaną linią. Przedłużenie tego promienia podąża w górę i w prawo. Przerywane przedłużenia promieni świetlnych symbolizują promienie pozorne. Promienie pozorne przecinają się w jednym punkcie, który stanowi położenie grotu czarnej, pionowej strzałki skierowanej ku górze. Strzałka ta podpisana jest jako obraz.

Dla x > 0 obraz powstaje zawsze pomiędzy powierzchnią odbijającą a ogniskiem. Jest to obraz pozorny, prosty i pomniejszony.

Na zwierciadło wypukłe można także skierować wiązkę zbieżną. To znaczy, że w miejscu przecięcia się promieni powstałby rzeczywisty obraz, ale nie powstaje, gdyż promieniu ulegają odbiciu. Mówimy wtedy o pozornym przedmiocie. Odbite od zwierciadła promienie przecinają się, dając rzeczywisty obraz (Rys. 6.). Stosując wcześniej wprowadzoną konwencję znaków, zapiszemy: f < 0, x < 0 oraz y > 0.

• f < x < 0

Rz8Vec3hSLzOc

Rys. 6. Na rysunku przedstawione jest schematycznie tworzenie obrazu przedmiotu pozornego umieszczonego za kulistym zwierciadłem wypukłym. Zwierciadło narysowane jest w postaci czarnego łuku, którego wypukła część skierowana jest w lewą stronę. Z prawej strony zwierciadła narysowane są ukośne, czarne kreski, które oznaczają, że powierzchnia odbijająca zwierciadła znajduje się po lewej stronie. W postaci czarnej, poziomej linii narysowana jest oś optyczna zwierciadła, która przecina je i dzieli na dwie symetryczne części, górną i dolną. Po lewej stronie zwierciadła widoczna jest czarna pionowa strzałka skierowana ku górze i podpisana jako obraz. Z jej grotu wychodzą dwie czarne, skierowane w prawą stronę do zwierciadła czarne linie. Symbolizują one promienie świetlne. Jedne promień jest równoległy do osi a po dobiciu podąża w górę i w lewo. Jego przedłużenie jest przerywaną czarną linią i przechodzi przez zwierciadło w prawą stronę. Przedłużenie to powinno przechodzić przez ognisko pozorne zwierciadła. Drugi promień świetlny skierowany jest ukośnie w dół i w prawo. Pada on na zwierciadło w punkcie przecięcia zwierciadła i osi optycznej. Odbija się on od zwierciadła pod takim samym kątem, pod jakim na nie pada. Jego przedłużenie po prawej stronie zwierciadła narysowane jest także czarną i przerwaną linią. Przedłużenie tego promienia podąża w górę i w prawo. Przerywane przedłużenia promieni świetlnych symbolizują promienie pozorne. Promienie pozorne przecinają się w jednym punkcie, który stanowi położenie grotu czarnej, pionowej strzałki skierowanej ku górze. Strzałka ta podpisana jest jako przedmiot.

Dla 0 > x > f pozorny przedmiot daje nam obraz rzeczywisty.

R15wOv08aRsqW

Rys. 7. Na rysunku przedstawione jest schematycznie tworzenie obrazy przedmiotu pozornego umieszczonego za kulistym zwierciadłem wypukłym. Zwierciadło narysowane jest w postaci czarnego łuku, którego wypukła część skierowana jest w lewą stronę. Z prawej strony zwierciadła narysowane są ukośne, czarne kreski, które oznaczają, że powierzchnia odbijająca zwierciadła znajduje się po lewej stronie. W postaci czarnej, poziomej linii narysowana jest oś optyczna zwierciadła, która przecina je i dzieli na dwie symetryczne części, górną i dolną. Na osi optycznej po prawej stronie zwierciadła widoczne są dwa punkty. Jeden z nich oznaczono wielka litera O. Punkt ten oznacza hipotetyczny środek zwierciadła. W odległości dwa razy mniejszej niż punkt wielka litera O, widoczny jest punkt wielka litera F, który oznacza położenia pozornego ogniska zwierciadła. Pomiędzy punktami wielka litera F i wielka litera O, widoczna jest pionowa, czarna strzałka skierowana ku górze. Strzałka to podpisana jest jako przedmiot, ale należy pamiętać, że jest to przedmiot pozorny. Z grotu tej strzałki wychodzą w kierunku zwierciadła dwie czarne i przerywane linie. Jedna z nich skierowana jest poziomo a po teoretycznym odbiciu od wklęsłej powierzchni kulistego zwierciadła wypukłego przechodzi przez pozorne ognisko zwierciadła. Druga przerywana linia jest skierowana w lewo i w dół i przechodzi przez pozorne ognisko zwierciadła a po odbiciu biegnie równoległe do osi optycznej pod nią. Punkt przecięcia się promieni pozornych stanowi grot czarnej, pionowej i skierowanej w dół strzałki, zaczynającej się na osi optycznej i przedstawiającej obraz przedmiotu pozornego. Po lewej stronie narysowane są przedłużenia promieni pozornych w postaci czarnych, skierowanych linii ciągłych. Przedłużenia pozornych promieni padających są skierowane od zwierciadła a promieni odbitych do zwierciadła.

Dla x > 0 i |x|>|f| pozorny przedmiot daje nam obraz pozorny.

Dodatkowo, opisując obrazy powstające w zwierciadłach kulistych wypukłych, wprowadza się pojęcie powiększenia liniowegopowiększenie liniowepowiększenia liniowego p. Jest to stosunek liniowych rozmiarów obrazu hIndeks dolny o_o i przedmiotu hIndeks dolny p_p:

Powiększenie jest wielkością bezwymiarową. Można je zapisać również jako wartość bezwzględną z ilorazu odległości obrazu i przedmiotu od zwierciadła.

Dlaczego stosujemy tutaj moduł ilorazu? Otóż wielkości x i y mogą przyjmować wartości ujemne. Stosunek dwóch wysokości hIndeks dolny o_o i hIndeks dolny p_p nie może być zaś mniejszy od zera.

Jeżeli p > 1 otrzymamy obraz powiększony, p < 1 – obraz pomniejszony, zaś dla p = 1, obraz będzie miał taki sam rozmiar liniowy jak przedmiot.

Zwierciadło kuliste wklęsłe pozwala między innymi na zwiększenie pola widzenia. Tym samym obraz zostaje przesunięty bliżej powierzchni zwierciadła i ulega zmniejszeniu (w porównaniu z obrazem powstającym w zwierciadle płaskim). Zdaje nam się zatem, że przedmiot znajduje się dużo dalej niż w rzeczywistości. Uniemożliwia to realną ocenę odległości.

Słowniczek