Przeczytaj

TrygonometriatrygonometriaTrygonometria pojawiła się już w starożytnej Grecji, choć wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta badano wówczas jako zależności między cięciwą a długością łuku opartego na tej cięciwie, a nie jako stosunki długości boków w trójkącie prostokątnym.

RAVCP99Q39xOV

Zdjęcie przedstawia rzeźbę mężczyzny o włosach do ramion. Postać ma podniesioną na wysokość barków prawą rękę i pokazuje palcem wskazującym w przestrzeń. Jego głowa jest lekko uniesiona do góry. Mężczyzna ma nagi tors, jest przepasany materiałem, ma zawieszoną pelerynę na lewym barku, jest boso. Mężczyzna ma dwa wisiorki. — Aryabhata
Źródło: dostępny w internecie: https:\\wiki.commons.org, domena publiczna.

Za twórcę pierwszych tablic trygonometrycznych uważa się hinduskiego uczonego Aryabhatę $(476 - 550 n . e .)$ . Podał on wartości funkcji sinussinus kąta ostregosinus i cosinuscosinus kąta ostregocosinus co $3, 75 °$ stopnia od $0 °$ do $90 °$ z dokładnością do czterech miejsc znaczących. W $X$ wieku islamski matematyk Abu al‑Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem $0, 25 °$ i dokładnością $8$ cyfr dziesiętnych, a także dokładne tablice tangensa.

W dobie komputerów umiemy znajdować wartości funkcji trygonometrycznych z dużą dokładnością. Często są to liczby niewymierne, więc w praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami. W tablicach funkcji trygonometrycznych, z których będziesz mógł korzystać na maturze, podane są wartości funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus oraz tangens) kątów od $0 °$ do $90 °$ z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.

W tej lekcji nauczysz się jak korzystać z tablic trygonometrycznych.

Na początek zobaczmy jak znaleźć w tablicach przybliżoną wartość wskazanej funkcji trygonometrycznej danego kąta.

Przykład 1

Znajdziemy w tablicach trygonometrycznych przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wskazanych kątów:

$\sin 9 °$ , $\sin 77 °$ , $\sin 31 °$ , $\cos 19 °$ , $\cos 49 °$ , $\cos 85 °$ , $tg 22 °$ , $tg 41 °$ , $tg 75 °$ . W zamieszczonej poniżej tablicy znajdziemy odpowiednią komórkę, a następnie odczytamy przybliżoną wartość wskazanej funkcji trygonometrycznej.

Rd6WGO6aq4dLr

Oczywiście z pomocą tablic możemy również znaleźć miarę kąta, znając przybliżoną wartość jednej z funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Przykład 2

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznychtablic wartości funkcji trygonometrycznych, wskażemy kąt $α$ , znając przybliżoną wartość jednej z funkcji trygonometrycznych tego kąta:

$\sin α = 0, 5446$ , $\sin α = 0, 6691$ , $\sin α = 0, 9272$ , $\cos α = 0, 9205$ , $\cos α = 0, 7193$ , $\cos α = 0, 0872$ , $tg α = 0, 6745$ , $tg α = 1, 7321$ , $tg α = 14, 3007$ .

W zamieszczonej poniżej tablicy wskażemy odpowiednią komórkę, a następnie odczytamy miarę kąta, który spełnia wskazany w poleceniu warunek.

R9C96OkChVnQP

Co zrobić, jeśli będziemy szukać kąta $α$ , dla którego $\sin α = \frac{1}{3}$ ? Wartość $\frac{1}{3}$ nie występuje w tablicach, którymi się posługujemy.

Przykład 3

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznychtablic wartości funkcji trygonometrycznych wskażemy kąt $α$ , dla którego:

a) $\sin α = \frac{4}{9}$

b) $\cos α = \frac{4}{5}$

c) $t g α = 3$

Rozwiązanie

a) $\frac{4}{9} = 0, 4444...$ . Sprawdzamy w tablicach, że $\sin 26^{\circ} \approx 0, 4384$ oraz $\sin 27^{\circ} \approx 0, 4540$ , więc kąt $α$ ma miarę pomiędzy $26^{\circ}$ a $27^{\circ}$ . Możemy przyjąć $α \approx 26^{\circ}$ .

b) $\frac{4}{5} = 0, 8$ . Sprawdzamy w tablicach, że $\cos 36 ° \approx 0, 8090$ oraz $\cos 37^{\circ} \approx 0, 7968$ , więc kąt $α$ ma miarę pomiędzy $36 °$ a $37 °$ . Możemy przyjąć $α \approx 37 °$ .

c) Sprawdzamy w tablicach, że $t g 71^{\circ} \approx 2, 9042$ oraz $t g 72^{\circ} \approx 3, 0777$ , więc kąt $α$ ma miarę pomiędzy $71^{\circ}$ a $72^{\circ}$ . Możemy przyjąć $α \approx 72^{\circ}$ .

Skoro tablice funkcji trygonometrycznych podają przybliżone wartości, to musimy nauczyć się porównywać uzyskane wyniki.

Przykład 4

Porównajmy następujące wielkości:

a) $54 °$ i miarę kąta $α$ , dla którego $\sin α = 0, 8$

b) liczbę $\sqrt{5}$ i wartość funkcji $tg 66 °$

c) sumę $\sin 22 ° + tg 43 °$ oraz sumę $tg 68 ° - \sin 77 °$

Rozwiązanie

a) Z tablic odczytujemy, że $\sin 53^{\circ} \approx 0, 7986$ oraz $\sin 54^{\circ} \approx 0, 8090$ , więc $53 ° < α < 54 °$ .

b) $\sqrt{5} \approx 2, 2361$ , natomiast $tg 66 ° \approx 2, 2460$ , więc $\sqrt{5} < tg 66 °$ .

c) $\sin 22 ° + tg 43 ° \approx 0, 3746 + 0, 9325 = 1, 3071$ natomiast $t g 68^{\circ} - \sin 77^{\circ} \approx 2, 4751 - 0, 9744 = 1, 5007$ , więc $\sin 22 ° + tg 43 ° < tg 68 ° - \sin 77 °$ .

Korzystając z własności trójkątów o kątach $30 °, 60 °, 90 °$ oraz $45 °, 45 °, 90 °$ , umiemy łatwo wskazać dokładne wartości funkcji trygonometrycznych. Dlatego, aby znaleźć wartości funkcji trygonometrycznych kątów $30 °$ , $45 °$ , $60 °$ , korzystamy z tablicy:

$α$	$0 °$	$30 °$	$45 °$	$60 °$	$90 °$
$α$	$0$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$\sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos α$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nie istnieje

Słownik

trygonometria

dział matematyki zajmujący się związkami między bokami i kątami trójkątów oraz funkcjami trygonometrycznymi

tablice wartości funkcji trygonometrycznych

tablice, w których można odczytać przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych poszczególnych kątów ostrych

sinus kąta ostrego

we współczesnym ujęciu - stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta ostrego do długości przeciwprostokątnej

cosinus kąta ostrego

we współczesnym ujęciu - stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie ostrym do długości przeciwprostokątnej

Wprowadzenie

Animacja

Słownik