Przeczytaj

Wiemy już, że istnieją błędy przybliżeń, wśród których wyróżniamy błąd bezwzględnybłąd bezwzględnybłąd bezwzględny oraz błąd względnybłąd względnybłąd względny. W tym e‑materiale użyjemy języka Python do obliczenia i wizualizacji tych błędów.

Przykład 1

Znając definicje błędów bezwzględnego oraz względnego, możemy napisać funkcje obliczające odpowiednie wartości. Przetestujemy je dla wartości zmierzonych: 225 i 250 oraz wartości dokładnej 242.

Linia 1. from math import fabs. Linia 3. def blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 4. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 5. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 6. return fabs otwórz nawias okrągły x minus x0 zamknij nawias okrągły. Linia 8. def blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 9. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 10. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 12. d znak równości blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły. Linia 13. return d prawy ukośnik x. Linia 15. def blad podkreślnik wzgledny podkreślnik proc otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 16. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 17. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 19. d znak równości blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły. Linia 20. return round otwórz nawias okrągły otwórz nawias okrągły d prawy ukośnik x zamknij nawias okrągły asterysk 100 przecinek 2 zamknij nawias okrągły. Linia 22. kratka przykładowe wywołanie. Linia 23. print otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość błędu przybliżenia dla 250 dwukropek cudzysłów przecinek blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły 242 przecinek 250 zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 24. print otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość błędu przybliżenia dla 225 dwukropek cudzysłów przecinek blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły 242 przecinek 225 zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 26. print otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość błędu względnego dla 250 dwukropek cudzysłów przecinek blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły 242 przecinek 250 zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 27. print otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość błędu względnego dla 225 dwukropek cudzysłów przecinek blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły 242 przecinek 225 zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 29. print otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość błędu względnego procentowo dla 250 dwukropek cudzysłów przecinek blad podkreślnik wzgledny podkreślnik proc otwórz nawias okrągły 242 przecinek 250 zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 30. print otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość błędu względnego procentowo dla 225 dwukropek cudzysłów przecinek blad podkreślnik wzgledny podkreślnik proc otwórz nawias okrągły 242 przecinek 225 zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

from math import fabs

def blad_bezwzgledny(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""
    return fabs(x-x0)

def blad_wzgledny(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""

    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
    return d / x

def blad_wzgledny_proc(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""

    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
    return round((d / x) * 100, 2)

# przykładowe wywołanie
print("Wartość błędu przybliżenia dla 250:", blad_bezwzgledny(242, 250))
print("Wartość błędu przybliżenia dla 225:", blad_bezwzgledny(242, 225))

print("Wartość błędu względnego dla 250:", blad_wzgledny(242, 250))
print("Wartość błędu względnego dla 225:", blad_wzgledny(242, 225))

print("Wartość błędu względnego procentowo dla 250:", blad_wzgledny_proc(242, 250))
print("Wartość błędu względnego procentowo dla 225:", blad_wzgledny_proc(242, 225))
30
 
1
from math import fabs
2
3
def blad_bezwzgledny(x, x0):
4
    """ x - wartość dokładna
5
        x0 - wartość zmierzona"""
6
    return fabs(x-x0)
7
8
def blad_wzgledny(x, x0):
9
    """ x - wartość dokładna
10
        x0 - wartość zmierzona"""
11
12
    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
13
    return d / x
14
15
def blad_wzgledny_proc(x, x0):
16
    """ x - wartość dokładna
17
        x0 - wartość zmierzona"""
18
19
    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
20
    return round((d / x) * 100, 2)
21
22
# przykładowe wywołanie
23
print("Wartość błędu przybliżenia dla 250:", blad_bezwzgledny(242, 250))
24
print("Wartość błędu przybliżenia dla 225:", blad_bezwzgledny(242, 225))
25
26
print("Wartość błędu względnego dla 250:", blad_wzgledny(242, 250))
27
print("Wartość błędu względnego dla 225:", blad_wzgledny(242, 225))
28
29
print("Wartość błędu względnego procentowo dla 250:", blad_wzgledny_proc(242, 250))
30
print("Wartość błędu względnego procentowo dla 225:", blad_wzgledny_proc(242, 225))

Wynikiem wykonania kodu dla wartości zmierzonych 225 i 250 oraz wartości dokładnej 242 jest:

Wartość błędu przybliżenia dla 250: 8.0
Wartość błędu przybliżenia dla 225: 17.0
Wartość błędu względnego dla 250: 0.03305785123966942
Wartość błędu względnego dla 225: 0.07024793388429752
Wartość błędu względnego procentowo dla 250: 3.31
Wartość błędu względnego procentowo dla 225: 7.02
6
 
1
Wartość błędu przybliżenia dla 250: 8.0
2
Wartość błędu przybliżenia dla 225: 17.0
3
Wartość błędu względnego dla 250: 0.03305785123966942
4
Wartość błędu względnego dla 225: 0.07024793388429752
5
Wartość błędu względnego procentowo dla 250: 3.31
6
Wartość błędu względnego procentowo dla 225: 7.02

Przeanalizujmy teraz sytuację, w której symulujemy „ręczne” obliczenie wartości za pomocą zaokrąglenia. Prześledźmy błąd bezwzględny oraz względny dla kolejnych zaokrągleń liczby pi.

π \approx 3, 141592653589793238462643383279502884197169 . . .

W przykładzie mamy podaną wartość liczby pi z dokładnością do 42 miejsc po przecinku. W języku Python w module math wartość liczby pi jest zapisana jako math.pi z dostępną precyzją – w tym przypadku 3.141592653589793. Będziemy obliczali błąd bezwzględny i względny oraz błąd względny wyrażony w procentach dla kolejnych przybliżeń: od dwóch miejsc po przecinku, czyli wartości 3.14, do 15 miejsc po przecinku, a więc dokładnej wartości, kiedy błąd będzie wynosił 0. Sprawdzimy kilka obliczonych wartości.

Wartość dokładna to 3.141592653589793

Wartość zmierzona	Błąd względny	Błąd względny w procentach
`3.14`	0.0005069573828972128	0.05069573828972128
`3.141592`	2.0804409260601893e‑07	2.0804409260601892e‑05
`3.14159265358`	3.1172263038059322e‑12	3.117226303805932e‑10
`3.141592653589793`	0.0	0.0

Przykład 2

Napiszmy kod, który pozwoli zobrazować błąd w zależności od kolejnych zaokrągleń. Przygotujemy dwa wykresy w celu odpowiedniego doboru skali.

Bibliotekę matplotlib omawialiśmy również w e‑materiale Modelowanie ruchów Browna w języku PythonD1H3IlzDiModelowanie ruchów Browna w języku Python.

Linia 1. kratka importujemy niezbędne funkcje i moduły. Linia 2. from math import fabs. Linia 3. import matplotlib kropka pyplot as plt. Linia 5. kratka definiujemy funkcje pomocnicze. Linia 6. def blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 7. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 8. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 9. return fabs otwórz nawias okrągły x minus x0 zamknij nawias okrągły. Linia 11. def blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 12. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 13. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 15. d znak równości blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły. Linia 16. return d prawy ukośnik x. Linia 18. def blad podkreślnik wzgledny podkreślnik proc podkreślnik dokladn otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 19. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 20. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 22. d znak równości blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły. Linia 23. return otwórz nawias okrągły d prawy ukośnik x zamknij nawias okrągły asterysk 100 kratka tutaj zwaracamy dokładną wartość przecinek bez zaokrąglenia. Linia 26. kratka wartości niezbędne dla obliczeń. Linia 27. pi znak równości 3 kropka 141592653589793. Linia 28. wartosci znak równości otwórz nawias kwadratowy x for x in range otwórz nawias okrągły 2 przecinek 16 zamknij nawias okrągły zamknij nawias kwadratowy. Linia 29. bl podkreślnik bezw znak równości otwórz nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy. Linia 30. bl podkreślnik wzgl znak równości otwórz nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy. Linia 31. bl podkreślnik wzgp znak równości otwórz nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy. Linia 33. kratka w pętli sprawdzamy coraz dokładniejsze przybliżenie wartości pi. Linia 34. kratka używamy funkcji round otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły minus która zaokrągla wynik przecinek dając wartość z błędem. Linia 35. for x in range otwórz nawias okrągły 2 przecinek 16 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 36. base znak równości round otwórz nawias okrągły pi przecinek x zamknij nawias okrągły. Linia 37. print otwórz nawias okrągły cudzysłów Obliczamy błąd przybliżenia dla wartości dwukropek cudzysłów przecinek base zamknij nawias okrągły. Linia 38. bl podkreślnik bezw kropka append otwórz nawias okrągły blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły pi przecinek base zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 39. bl podkreślnik wzgl kropka append otwórz nawias okrągły blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły pi przecinek base zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 40. bl podkreślnik wzgp kropka append otwórz nawias okrągły blad podkreślnik wzgledny podkreślnik proc podkreślnik dokladn otwórz nawias okrągły pi przecinek base zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 42. kratka pierwszy wykres. Linia 43. plt kropka plot otwórz nawias okrągły wartosci przecinek bl podkreślnik bezw przecinek label znak równości cudzysłów Błąd bezwzględny cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 44. plt kropka plot otwórz nawias okrągły wartosci przecinek bl podkreślnik wzgl przecinek label znak równości cudzysłów Błąd względny cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 45. plt kropka legend otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 46. plt kropka title otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość bazowa pi znak równości cudzysłów plus str otwórz nawias okrągły pi zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 47. plt kropka grid otwórz nawias okrągły True zamknij nawias okrągły. Linia 48. plt kropka show otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 49. kratka drugi wykres. Linia 50. plt kropka plot otwórz nawias okrągły wartosci przecinek bl podkreślnik wzgp przecinek label znak równości cudzysłów Błąd względny procentowo cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 51. plt kropka legend otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 52. plt kropka title otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość bazowa pi znak równości cudzysłów plus str otwórz nawias okrągły pi zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 53. plt kropka grid otwórz nawias okrągły True zamknij nawias okrągły. Linia 54. plt kropka show otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

# importujemy niezbędne funkcje i moduły
from math import fabs
import matplotlib.pyplot as plt

# definiujemy funkcje pomocnicze
def blad_bezwzgledny(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""
    return fabs(x - x0)

def blad_wzgledny(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""

    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
    return d / x

def blad_wzgledny_proc_dokladn(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""

    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
    return (d / x) * 100  # tutaj zwaracamy dokładną wartość, bez zaokrąglenia


# wartości niezbędne dla obliczeń
pi = 3.141592653589793
wartosci = [x for x in range(2, 16)]
bl_bezw = []
bl_wzgl = []
bl_wzgp = []

# w pętli sprawdzamy coraz dokładniejsze przybliżenie wartości pi
# używamy funkcji round() - która zaokrągla wynik, dając wartość z błędem
for x in range(2, 16):
    base = round(pi, x)
    print("Obliczamy błąd przybliżenia dla wartości: ", base)
    bl_bezw.append(blad_bezwzgledny(pi, base))
    bl_wzgl.append(blad_wzgledny(pi, base))
    bl_wzgp.append(blad_wzgledny_proc_dokladn(pi, base))

# pierwszy wykres
plt.plot(wartosci, bl_bezw, label = "Błąd bezwzględny")
plt.plot(wartosci, bl_wzgl, label = "Błąd względny")
plt.legend()
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi))
plt.grid(True)
plt.show()
# drugi wykres
plt.plot(wartosci, bl_wzgp, label = "Błąd względny procentowo")
plt.legend()
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi))
plt.grid(True)
plt.show()
54
 
1
# importujemy niezbędne funkcje i moduły
2
from math import fabs
3
import matplotlib.pyplot as plt
4
5
# definiujemy funkcje pomocnicze
6
def blad_bezwzgledny(x, x0):
7
    """ x - wartość dokładna
8
        x0 - wartość zmierzona"""
9
    return fabs(x - x0)
10
11
def blad_wzgledny(x, x0):
12
    """ x - wartość dokładna
13
        x0 - wartość zmierzona"""
14
15
    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
16
    return d / x
17
18
def blad_wzgledny_proc_dokladn(x, x0):
19
    """ x - wartość dokładna
20
        x0 - wartość zmierzona"""
21
22
    d = blad_bezwzgledny(x,x0)
23
    return (d / x) * 100  # tutaj zwaracamy dokładną wartość, bez zaokrąglenia
24
25
26
# wartości niezbędne dla obliczeń
27
pi = 3.141592653589793
28
wartosci = [x for x in range(2, 16)]
29
bl_bezw = []
30
bl_wzgl = []
31
bl_wzgp = []
32
33
# w pętli sprawdzamy coraz dokładniejsze przybliżenie wartości pi
34
# używamy funkcji round() - która zaokrągla wynik, dając wartość z błędem
35
for x in range(2, 16):
36
    base = round(pi, x)
37
    print("Obliczamy błąd przybliżenia dla wartości: ", base)
38
    bl_bezw.append(blad_bezwzgledny(pi, base))
39
    bl_wzgl.append(blad_wzgledny(pi, base))
40
    bl_wzgp.append(blad_wzgledny_proc_dokladn(pi, base))
41
42
# pierwszy wykres
43
plt.plot(wartosci, bl_bezw, label = "Błąd bezwzględny")
44
plt.plot(wartosci, bl_wzgl, label = "Błąd względny")
45
plt.legend()
46
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi))
47
plt.grid(True)
48
plt.show()
49
# drugi wykres
50
plt.plot(wartosci, bl_wzgp, label = "Błąd względny procentowo")
51
plt.legend()
52
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi))
53
plt.grid(True)
54
plt.show()

Wykres pierwszy – błąd względny oraz bezwzględny wartościowo:

R1LARMAAiuuZb

Ilustracja przedstawia wykres błędu bezwzględnego i względnego zatytułowany "Wartość bazowa pi = 3,141592653589793". Pozioma oś jest przedstawiona od minus jednej drugiej do dwunastu z podziałką co dwa. Oś pionowa przedstawiona jest od minus jednej dziesięciotysięcznej do szesnastu dziesięciotysięcznych z podziałką co dwie dziesięciotysięczne. Oba wykresy błędu bezwzględnego i względnego zaczynają się w punkcie (0,0). Wykres względny biegnie poziomo od punktu (0,0) do punktu (10,0), od którego zaczyna linowo rosnąć do punktu (11;0,00016) i stąd zaczyna rosnąć liniowo szybciej, czyli jest bardziej pochyły do punktu (12;0,0005). Wykres błędu bezwzględnego biegnie poziomo od punktu (0,0) do punktu (8,0) i rośnie łagodnie liniowo do punktu około (10;0,00001). Następnie rośnie szybko i liniowo do punktu (11;0,0004). Stąd rośnie liniowo jeszcze szybciej do punktu (12;0,0016). — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wykres drugi – błąd względny procentowo:

RWWi7RM8MjNXI

Ilustracja przedstawia wykres błędu względnego procentowo zatytułowany "Wartość bazowa pi = 3,141592653589793". Pozioma oś jest przedstawiona od minus jednej drugiej do dwunastu z podziałką co dwa. Oś pionowa przedstawiona jest od minus jednej setnej do pięciu setnych z podziałką co jedną setną. Wykres błędu względnego zaczyna się w punkcie (0,0) i biegnie poziomo od punktu (0,0) do punktu (8,0), od którego zaczyna linowo rosnąć do punktu około (10;0,001). Stąd zaczyna rosnąć liniowo szybciej, czyli jest bardziej pochyły do punktu (1023;0,013). Stąd wykres rośnie liniowo szybciej do punktu (12;0,05). — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ważne!

Możemy zauważyć, że błąd przybliżenia (zarówno względny, jak i bezwzględny) zmienia się – maleje wraz ze wzrostem dokładności obserwowanej liczby.

Przykład 3

Napiszmy kod, który pozwoli zaokrąglić liczbę pi do takiego momentu, dla którego błąd względny przekroczy 0,01 procenta – wówczas zatrzymamy kolejne zaokrąglenia.

Linia 1. kratka importujemy niezbędne funkcje i moduły. Linia 2. from math import fabs. Linia 3. import matplotlib kropka pyplot as plt. Linia 5. kratka definiujemy funkcje pomocnicze. Linia 6. def blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 7. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 8. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 9. return fabs otwórz nawias okrągły x minus x0 zamknij nawias okrągły. Linia 11. def blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 12. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 13. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 15. d znak równości blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły. Linia 16. return d prawy ukośnik x. Linia 18. def blad podkreślnik wzgledny podkreślnik proc podkreślnik dokladn otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 19. cudzysłów cudzysłów cudzysłów x minus wartość dokładna. Linia 20. x0 minus wartość zmierzona cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 22. d znak równości blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły x przecinek x0 zamknij nawias okrągły. Linia 23. return otwórz nawias okrągły d prawy ukośnik x zamknij nawias okrągły asterysk 100 kratka tutaj zwaracamy dokładną wartość przecinek bez zaokrąglenia. Linia 27. pi znak równości 3 kropka 141592653589793. Linia 28. bl podkreślnik bezw znak równości otwórz nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy. Linia 29. bl podkreślnik wzgl znak równości otwórz nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy. Linia 30. bl podkreślnik wzgp znak równości otwórz nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy. Linia 31. przyblizenia znak równości otwórz nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy. Linia 32. ok znak równości cudzysłów cudzysłów. Linia 34. for dokladnosc in range otwórz nawias okrągły 15 przecinek 1 przecinek minus 1 zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 35. wartosc znak równości round otwórz nawias okrągły pi przecinek dokladnosc zamknij nawias okrągły. Linia 36. blad podkreślnik wzgledny podkreślnik v znak równości blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły pi przecinek wartosc zamknij nawias okrągły. Linia 37. blad podkreślnik bezwzgledny podkreślnik v znak równości blad podkreślnik bezwzgledny otwórz nawias okrągły pi przecinek wartosc zamknij nawias okrągły. Linia 38. blad podkreślnik proc znak równości blad podkreślnik wzgledny podkreślnik proc podkreślnik dokladn otwórz nawias okrągły pi przecinek wartosc zamknij nawias okrągły. Linia 39. if blad podkreślnik proc zamknij nawias ostrokątny 0 kropka 01 dwukropek. Linia 40. break. Linia 41. else dwukropek. Linia 42. bl podkreślnik bezw kropka append otwórz nawias okrągły blad podkreślnik bezwzgledny podkreślnik v zamknij nawias okrągły. Linia 43. bl podkreślnik wzgl kropka append otwórz nawias okrągły blad podkreślnik wzgledny podkreślnik v zamknij nawias okrągły. Linia 44. bl podkreślnik wzgp kropka append otwórz nawias okrągły blad podkreślnik proc zamknij nawias okrągły. Linia 45. ok znak równości str otwórz nawias okrągły wartosc zamknij nawias okrągły. Linia 46. przyblizenia kropka append otwórz nawias okrągły dokladnosc zamknij nawias okrągły. Linia 48. kratka przygotowujemy wartości X przecinek bazując na długości listy przybliżeń. Linia 49. X znak równości otwórz nawias kwadratowy x for x in range otwórz nawias okrągły len otwórz nawias okrągły przyblizenia zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias kwadratowy. Linia 51. kratka pierwszy wykres. Linia 52. plt kropka plot otwórz nawias okrągły X przecinek bl podkreślnik bezw przecinek label znak równości cudzysłów Błąd bezwzględny cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 53. plt kropka plot otwórz nawias okrągły X przecinek bl podkreślnik wzgl przecinek label znak równości cudzysłów Błąd względny cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 54. plt kropka legend otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 55. plt kropka title otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość bazowa pi znak równości cudzysłów plus str otwórz nawias okrągły pi zamknij nawias okrągły plus cudzysłów kropka Ostatni wynik w założonym błędzie znak równości cudzysłów plus str otwórz nawias okrągły ok zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 56. plt kropka grid otwórz nawias okrągły True zamknij nawias okrągły. Linia 57. plt kropka show otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 58. kratka drugi wykres. Linia 59. plt kropka plot otwórz nawias okrągły X przecinek bl podkreślnik wzgp przecinek label znak równości cudzysłów Błąd względny procentowo cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 60. plt kropka legend otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 61. plt kropka title otwórz nawias okrągły cudzysłów Wartość bazowa pi znak równości cudzysłów plus str otwórz nawias okrągły pi zamknij nawias okrągły plus cudzysłów kropka Ostatni wynik w założonym błędzie znak równości cudzysłów plus str otwórz nawias okrągły ok zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 62. plt kropka grid otwórz nawias okrągły True zamknij nawias okrągły. Linia 63. plt kropka show otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

# importujemy niezbędne funkcje i moduły
from math import fabs
import matplotlib.pyplot as plt

# definiujemy funkcje pomocnicze
def blad_bezwzgledny(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""
    return fabs(x - x0)

def blad_wzgledny(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""

    d = blad_bezwzgledny(x, x0)
    return d / x

def blad_wzgledny_proc_dokladn(x, x0):
    """ x - wartość dokładna
        x0 - wartość zmierzona"""

    d = blad_bezwzgledny(x, x0)
    return (d / x) * 100  # tutaj zwaracamy dokładną wartość, bez zaokrąglenia



pi = 3.141592653589793
bl_bezw = []
bl_wzgl = []
bl_wzgp = []
przyblizenia = []
ok = ""

for dokladnosc in range(15, 1, -1):
    wartosc = round(pi, dokladnosc)
    blad_wzgledny_v = blad_wzgledny(pi, wartosc)
    blad_bezwzgledny_v = blad_bezwzgledny(pi, wartosc)
    blad_proc = blad_wzgledny_proc_dokladn(pi, wartosc)
    if blad_proc > 0.01:
        break
    else:
        bl_bezw.append(blad_bezwzgledny_v)
        bl_wzgl.append(blad_wzgledny_v)
        bl_wzgp.append(blad_proc)
        ok = str(wartosc)
        przyblizenia.append(dokladnosc)

# przygotowujemy wartości X, bazując na długości listy przybliżeń
X = [ x for x in range(len(przyblizenia)) ]

# pierwszy wykres
plt.plot(X, bl_bezw, label = "Błąd bezwzględny")
plt.plot(X, bl_wzgl, label = "Błąd względny")
plt.legend()
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi) + ". Ostatni wynik w założonym błędzie = " + str(ok))
plt.grid(True)
plt.show()
# drugi wykres
plt.plot(X, bl_wzgp, label = "Błąd względny procentowo")
plt.legend()
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi) + ". Ostatni wynik w założonym błędzie = " + str(ok))
plt.grid(True)
plt.show()
63
 
1
# importujemy niezbędne funkcje i moduły
2
from math import fabs
3
import matplotlib.pyplot as plt
4
5
# definiujemy funkcje pomocnicze
6
def blad_bezwzgledny(x, x0):
7
    """ x - wartość dokładna
8
        x0 - wartość zmierzona"""
9
    return fabs(x - x0)
10
11
def blad_wzgledny(x, x0):
12
    """ x - wartość dokładna
13
        x0 - wartość zmierzona"""
14
15
    d = blad_bezwzgledny(x, x0)
16
    return d / x
17
18
def blad_wzgledny_proc_dokladn(x, x0):
19
    """ x - wartość dokładna
20
        x0 - wartość zmierzona"""
21
22
    d = blad_bezwzgledny(x, x0)
23
    return (d / x) * 100  # tutaj zwaracamy dokładną wartość, bez zaokrąglenia
24
25
26
27
pi = 3.141592653589793
28
bl_bezw = []
29
bl_wzgl = []
30
bl_wzgp = []
31
przyblizenia = []
32
ok = ""
33
34
for dokladnosc in range(15, 1, -1):
35
    wartosc = round(pi, dokladnosc)
36
    blad_wzgledny_v = blad_wzgledny(pi, wartosc)
37
    blad_bezwzgledny_v = blad_bezwzgledny(pi, wartosc)
38
    blad_proc = blad_wzgledny_proc_dokladn(pi, wartosc)
39
    if blad_proc > 0.01:
40
        break
41
    else:
42
        bl_bezw.append(blad_bezwzgledny_v)
43
        bl_wzgl.append(blad_wzgledny_v)
44
        bl_wzgp.append(blad_proc)
45
        ok = str(wartosc)
46
        przyblizenia.append(dokladnosc)
47
48
# przygotowujemy wartości X, bazując na długości listy przybliżeń
49
X = [ x for x in range(len(przyblizenia)) ]
50
51
# pierwszy wykres
52
plt.plot(X, bl_bezw, label = "Błąd bezwzględny")
53
plt.plot(X, bl_wzgl, label = "Błąd względny")
54
plt.legend()
55
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi) + ". Ostatni wynik w założonym błędzie = " + str(ok))
56
plt.grid(True)
57
plt.show()
58
# drugi wykres
59
plt.plot(X, bl_wzgp, label = "Błąd względny procentowo")
60
plt.legend()
61
plt.title("Wartość bazowa pi = " + str(pi) + ". Ostatni wynik w założonym błędzie = " + str(ok))
62
plt.grid(True)
63
plt.show()

Wykres pierwszy – błąd względny oraz bezwzględny wartościowo:

R1RxgzoStsP14

Ilustracja przedstawia wykres błędu bezwzględnego i względnego zatytułowany "Wartość bazowa pi = 3,141592653589793. Ostatni wynik w założonym błędzie = 3,1416". Pozioma oś jest przedstawiona od minus jednej drugiej do dziesięciu z podziałką co dwa. Oś pionowa przedstawiona jest od minus jednej milionowej do ośmiu milionowych z podziałką co jedną milionową. Oba wykresy błędu bezwzględnego i względnego zaczynają się w punkcie (0,0). Wykres względny biegnie poziomo od punktu (0,0) do punktu (6,0), od którego zaczyna linowo rosnąć do punktu (8;0,0000002) i stąd zaczyna rosnąć liniowo szybciej, czyli jest bardziej pochyły do punktu (9;0,0000008). Wykres błędu bezwzględnego biegnie poziomo od punktu (0,0) do punktu (6,0) i rośnie łagodnie liniowo do punktu około (7;0,0000001). Następnie rośnie liniowo do punktu (8;0,0000004). Stąd rośnie liniowo jeszcze szybciej do punktu (9;0,0000027). Stąd dalej rośnie liniowo do punktu (10;0,0000074). — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wykres drugi – błąd względny procentowo:

RI2tyAzM4gIXN

Ilustracja przedstawia wykres błędu względnego procentowo zatytułowany "Wartość bazowa pi = 3,141592653589793. Ostatni wynik w założonym błędzie = 3,1416". Pozioma oś jest przedstawiona od minus jednej drugiej do dziesięciu z podziałką co dwa. Oś pionowa przedstawiona jest od minus jednej stutysięcznej do trzydziestu stutysięcznych z podziałką co pięć stutysięcznych. Wykres błędu względnego procentowo zaczyna się w punkcie (0,0) i biegnie poziomo od punktu (0,0) do punktu (6,0), od którego zaczyna linowo rosnąć do punktu około (7;0,0000001). Stąd zaczyna rosnąć liniowo szybciej do punktu (8;0,000015). Stąd wykres rośnie liniowo szybciej do punktu (9;0,00008). Stąd wykres biegnie do punktu (10;0,00023). — Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Dla zainteresowanych

W języku Python istnieje moduł o nazwie Decimal. Zapewnia on obsługę arytmetyki zmiennoprzecinkowej i podaje dokładniejsze wyniki. Prześledźmy to na przykładzie dodawania do siebie dwóch wartości rzeczywistych: 0.1 + 0.2. Z lekcji matematyki wiemy, że wynik powinien wynosić 0.3, a jednak program w języku Python wyświetla następującą wartość:

print(0.1+0.2)
# 0.30000000000000004
2
 
1
print(0.1+0.2)
2
# 0.30000000000000004

Wynik jest większy niż 0.3 - niewiele, ale jednak większy. Jest to związane ze sposobem, w jaki język Python przechowuje w pamięci liczby. Zobaczymy, jak wygląda ta sama sytuacja, kiedy użyjemy modułu Decimal. Pamiętajmy, że liczby podajemy jako parametr typu str.

a = Decimal("0.1")
b = Decimal("0.2")
c = a + b
print(c)
# 0.3
5
 
1
a = Decimal("0.1")
2
b = Decimal("0.2")
3
c = a + b
4
print(c)
5
# 0.3

Zauważmy, że wartości podane po wykorzystaniu modułu Decimal są dokładniejsze.

3 \cdot a - b = c

3 \cdot 0.1 - 0.3 = 0

a = 0.1
b = 0.3
c = 3 * a -b

if c == 0:
    print("Wynik poprawny = 0.")
else:
    print("Wynik niepoprawny; wartość = ",c)
    
# Wynik niepoprawny; wartość = 5.551115123125783e-17
10
 
1
a = 0.1
2
b = 0.3
3
c = 3 * a -b
4
5
if c == 0:
6
    print("Wynik poprawny = 0.")
7
else:
8
    print("Wynik niepoprawny; wartość = ",c)
9
    
10
# Wynik niepoprawny; wartość = 5.551115123125783e-17

from decimal import *
x = Decimal("0.1")
y = Decimal("0.3")
z = 3 * x - y

if z == 0:
    print("Wynik poprawny = 0.")
else:
    print("Wynik niepoprawny; wartość = ",z)
    
# Wynik poprawny = 0.
11
 
1
from decimal import *
2
x = Decimal("0.1")
3
y = Decimal("0.3")
4
z = 3 * x - y
5
6
if z == 0:
7
    print("Wynik poprawny = 0.")
8
else:
9
    print("Wynik niepoprawny; wartość = ",z)
10
    
11
# Wynik poprawny = 0.

Dla komputera obliczenie 3 * 0.1 - 0.3 daje wynik 5.551115123125783e‑17. Jest on bardzo bliski zeru, jednak nie jest to dokładnie zero. Natomiast zastosowanie do tego obliczenia modułu i typu danych Decimal daje oczekiwany wynik.

Słownik

błąd bezwzględny

wyraża bezwzględną różnicę pomiędzy wartością zmierzoną a dokładną; obliczamy go zgodnie ze wzorem:

Δ x = | x - x_{0} |

gdzie $x$ to wartość dokładna, $x_{0}$ – wartość zmierzona, a $Δ x$ – błąd bezwzględny

błąd względny

informuje, o ile procent różni się wartość zmierzona od dokładnej; obliczamy go zgodnie ze wzorem:

δ = \frac{| x - x_{0} |}{x} \cdot 100 % = \frac{Δ x}{x} \cdot 100 %

gdzie $x$ to wartość dokładna, $x_{0}$ – wartość zmierzona, $Δ x$ – błąd bezwzględny, zaś $δ$ to błąd względny

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik