Przeczytaj
Podczas lekcji omówimy sposoby wyznaczania równania prostej symetrycznej do prostej o zadanym równaniu względem osi rzędnych układu współrzędnych.
Do wyznaczania równań prostych w symetrii względem osi wykorzystamy definicję punktów symetrycznych względem osi .
Punktem symetrycznym do punktu o współrzędnych względem osi jest punkt o współrzędnych .
Punktami symetrycznymi względem osi Punktami symetrycznymi względem osi są na przykład punkty o współrzędnych:
oraz ,
oraz
oraz .
Obrazem punktu w symetrii względem osi jest ten sam punkt.
W celu wyznaczenia równania prostej w symetrii względem osi posłużymy się równaniem ogólnym oraz równaniem kierunkowym prostej.
Sposób
Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem osi , gdy dane są:
punkt przecięcia prostej z osią ,
punkt przecięcia prostej z osią ,
równanie prostej w postaci ogólnej.równanie prostej w postaci ogólnej.
Równanie prostej w postaci ogólnej zapiszemy jako .
Załóżmy, że współczynniki , , są różne od .
Punkt przecięcia tej prostej z osią ma wówczas współrzędne , a punkt przecięcia z osią ma współrzędne .
Opiszemy teraz prostą symetryczną względem osi za pomocą równania w postaci ogólnej .
Załóżmy, że współczynniki , , są różne od .
Do tej prostej należą punkty o współrzędnych oraz .
Podstawimy współrzędne tych punktów do równania ogólnego tej prostej. Otrzymujemy układ równań:
Jeżeli pierwsze równanie pomnożymy przez , a drugie przez , to otrzymamy układ równań:
Otrzymujemy zatem oraz .
Jeżeli podstawimy obliczone współczynniki do równania prostej symetrycznej, to otrzymujemy równanie:
Mnożąc obie strony równania przez ułamek , otrzymujemy równanie prostej symetrycznej do prostej względem osi :
Sposób
Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem osi , gdy dane są:
punkt przecięcia z osią ,
punkt przecięcia z osią ,
równanie w postaci kierunkowejrównanie w postaci kierunkowej.
Określimy prostą w postaci kierunkowej za pomocą równania .
Punkt przecięcia tej prostej z osią ma wówczas współrzędne , a punkt przecięcia z osią ma współrzędne .
Obrazem punktu w symetrii względem osi jest punkt o współrzędnych , a obrazem punktu jest punkt .
Zapiszmy równanie prostej symetrycznej względem osi w postaci .
Podstawimy współrzędne punktów oraz do równania tej prostej. Otrzymujemy układ równań:
Z układu równań obliczamy, że oraz , zatem równanie prostej symetrycznej do prostej względem osi zapisujemy w postaci: .
Proste zadane równaniami oraz , gdzie , są zawsze symetryczne względem osi .
Do wyznaczenia równania prostej w postaci kierunkowej wystarczy znać współrzędne dwóch dowolnych punktów, które należą do tej prostej.
Do wyznaczenia równania prostej symetrycznej względem osi wystarczy zatem znaleźć obrazy w symetrii względem osi tych dwóch dowolnych punktów, a następnie wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty.
Wyznaczymy równanie prostej w symetrii względem osi do prostej o równaniu .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że do podanej prostej należą punkty o współrzędnych oraz .
Obrazem tych punktów w symetrii względem osi są punkty o współrzędnych oraz .
Oznaczmy równanie prostej w symetrii względem osi w postaci .
Podstawiamy do tego równania współrzędne punktów oraz i otrzymujemy układ równań:
Rozwiązaniem układu równań jest para liczb oraz .
Prosta symetryczna względem osi jest zatem opisana za pomocą równania .
Wyznaczymy równania prostych symetrycznych względem osi do prostych określonych równaniami:
a)
b)
Rozwiązanie:
a) równanie ogólne prostej symetrycznej względem osi jest postaci
b) równanie kierunkowe prostej symetrycznej względem osi jest postaci
Jeżeli wiemy, jakie warunki muszą spełniać współczynniki w równaniach prostych w symetrii względem osi , wówczas możemy znajdować wartości parametrów, dla których te proste są symetryczne względem osi rzędnych.
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametrów i , proste o równaniach oraz , są symetryczne względem osi .
Rozwiązanie:
Proste o podanych równaniach są symetryczne względem osi , gdy spełniony jest układ równań:
Rozwiązaniem układu równań są liczby oraz .
Dla otrzymanych wartości parametrów i , proste są symetryczne względem osi .
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru , proste o równaniach oraz są symetryczne względem osi .
Rozwiązanie:
Wiadomo, że proste o równaniach w postaci kierunkowej są symetryczne względem osi , gdy ich współczynniki są liczbami przeciwnymi, a współczynniki są takie same.
Rozwiązujemy zatem równanie:
Równanie przekształcamy do postaci .
Rozwiązaniami tego równania są liczby lub . Proste są zatem symetryczne względem osi , gdy wartość jest równa jednej z otrzymanych liczb.
Słownik
równanie postaci , gdzie i nie są jednocześnie równe
równanie postaci , gdzie , gdzie nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej
punkty o współrzędnych i