Oś liczbowa
Definicja: Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i jednostkę.

Poniższy rysunek przedstawia ilustrację zbioru liczb całkowitych na osi liczbowej.

R1dbViwsh3s4M

Każdej liczbie wymiernej możemy przyporządkować miejsce na osi liczbowej. Także liczby niewymierne mają przyporządkowane miejsca na osi.

Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt osi odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej.

W zbiorze liczb rzeczywistych można wyróżnić szczególne podzbiory zwane przedziałami liczbowymi. Przy założeniu, że a<b, rozważa się następujące rodzaje przedziałów:

Przedział domknięty
Definicja: Przedział domknięty

Przedział domknięty a,b jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych xspełniających warunek axb. Inaczej mówiąc, do przedziału a,b należą liczby a, b oraz wszystkie liczby, które są większe od a i jednocześnie mniejsze od b.

Formalny zapis wygląda następująco:

a,b=x:x i axb

Ilustracją przedziału domkniętegoprzedział domkniętyprzedziału domkniętego na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej jest odcinek wraz z jego końcami:

R987jm3gHoU8g
Przedział otwarty
Definicja: Przedział otwarty

Przedział otwarty (a,b) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a<x<b. Inaczej mówiąc, do przedziału (a,b) należą wszystkie liczby większe od a i jednocześnie mniejsze od b.

Formalny zapis wygląda następująco:

(a,b)={x:xia<x<b}

Ilustracją przedziału otwartegoprzedział otwartyprzedziału otwartego na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej jest wnętrze odcinka (odcinek bez jego końców, co zaznaczamy, rysując niezamalowaną kropkę na końcach).

R50dGhKeA49uf

Rozróżniamy także przedziały jednostronnie domknięte:

  • a,b) jest to przedział lewostronnie domknięty,

RLIiP5gZ5JNRI
  • (a,b jest to przedział prawostronnie domknięty.

R1CR9hjbanlB6

Przedziały wiążą się ściśle z rachunkiem na zbiorach oraz nierównościami.

Przykład 1

Zaznacz na osi liczbowej przedział 2,7).

Korzystając z definicji wiemy, że liczby należące do tego przedziału są większe lub równe 2 i jednocześnie mniejsze od 7, zatem ilustracja wygląda następująco:

R1EbtcIUppGB6
Przykład 2

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek: -3x2.

Korzystając z definicji wiemy, że liczby należące do tego przedziału są większe lub równe -3 i jednocześnie mniejsze lub równe od 2, zatem ilustracja wygląda następująco:

Rabg1102iTiXc

Słownik

oś liczbowa
oś liczbowa

oś liczbowa to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i jednostkę

przedział domknięty
przedział domknięty

przedział domknięty a,b jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek axb. Inaczej mówiąc, do przedziału a,b należą liczby a, b oraz wszystkie liczby, które są większe od a i jednocześnie mniejsze od b

przedział otwarty
przedział otwarty

przedział otwarty (a,b) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a<x<b. Inaczej mówiąc, do przedziału (a,b) należą wszystkie liczby większe od a i jednocześnie mniejsze od b