Przeczytaj

Analizując zależności występujące między różnymi wielkościami, spotykamy się również z takimi, w których występują wyrażenia wymierne, np. wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta.

Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia:

$v$ – prędkość wyrażona np. w $\frac{k m}{h}, \frac{m}{s}, \frac{k m}{s}, \frac{m}{h}$ ,

$s$ – droga, wyrażona np. w $m m, c m, m, k m$ ,

$t$ – czas, wyrażony np. w $s, m i n, h$ ,

to korzystając z poniższych trójkątów otrzymujemy zależności między tymi wielkościami.

RmWZj411keNY3

Na ilustracji narysowano trójkąty pomocniczne. Są to trójkąty równoboczne, które podzielono na trzy części. Poziomą, zieloną linią połączono środki ramion, wychodzących z jednego wierzchołka. Ze środka zielonej linii poprowadzono niebieską pionową linię do podstawy trójkąta. Nad zieloną linią znajduje się wielkość s. Po lewej stronie linii niebieskiej, znajduje się wielkość v. Po prawej stronie linii niebieskiej, znajduje się wielkość t. Pozioma zielona linia wewnątrz trójkąta odpowiada dzieleniu, a pionowa niebieska linia mnożeniu. Na trójkącie pierwszym, podkreślono wielkość v. Poniżej zapisano wzór v=st. Na trójkącie drugim podkreślono wielkość s. Poniżej zapisano wzór s=v×t. Na trójkącie trzecim, podkreślono wielkość t. Poniżej zapisano wzór t=sv.

Wymienione zależności pomiędzy drogą, prędkością i czasem wykorzystamy w rozwiązywaniu zadań tekstowych, które sprowadzają się do rozwiązywania równania wymiernegorównanie wymiernerównania wymiernego.

Przykład 1

Samochód jadący z pewną prędkością pokonał odległość $300 km$ . Samochód jadący z prędkością o $15 \frac{km}{h}$ mniejszą pokonał w tym samym czasie $240 km$ . Obliczymy średnie prędkości, z jakimi poruszały się samochody.

Rozwiązanie

Niech $v$ $[\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością pierwszego samochodu.

Ponieważ czas przejazdu w obu przypadkach jest taki sam, zatem w celu wyznaczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{300}{v} = \frac{240}{v - 15}$ , gdzie $v \in (15, \infty)$

$300 \cdot (v - 15) = 240 v$

$300 v - 4500 = 240 v$

$60 v = 4500$

$v = 75 \frac{km}{h}$

$75 \frac{k m}{h} - 15 \frac{k m}{h} = 60 \frac{k m}{h}$

Zatem prędkości samochodów wynosiły odpowiednio $75 \frac{km}{h}$ oraz $60 \frac{km}{h}$ .

Przykład 2

Kierowca samochodu zaplanował w jakim czasie, jadąc z określoną prędkością pokona trasę długości $60 km$ . W trakcie jazdy zatrzymał się na $9 \min$ . Aby zmieścić się w zaplanowanym czasie, kierowca samochodu musi zwiększyć prędkość jazdy o $20 \frac{km}{h}$ . Obliczymy, jaką prędkość zaplanował kierowca.

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$v$ – zaplanowana prędkość $[\frac{km}{h}]$

$t$ – zaplanowany czas $[h]$

Wiadomo, że $v$ , $t > 0$ oraz

$9 \min = \frac{9}{60} h = \frac{3}{20} h$

W celu obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{60}{v + 20} + \frac{3}{20} = \frac{60}{v}$

$60 \cdot 20 \cdot v + 3 \cdot v \cdot (v + 20) = 60 \cdot 20 \cdot (v + 20)$

$1200 v + 3 v^{2} + 60 v = 1200 v + 24000$

$3 v^{2} + 60 v - 24000 = 0$

$v^{2} + 20 v - 8000 = 0$

$v_{1} = \frac{- 20 - 180}{2} = - 100 < 0$

$v_{2} = \frac{- 20 + 180}{2} = 80 > 0$

Zatem zaplanowana prędkość wynosiła $80 \frac{km}{h}$ .

Ważne!

Jeżeli na drodze długości $s$ samochód przebył pierwszy odcinek długości $s_{1}$ z prędkością samochodu $v_{1}$ w czasie $t_{1}$ i drugi odcinek długości $s_{2}$ z prędkością samochodu $v_{2}$ w czasie $t_{2}$ , to wartość średniej prędkości na tej drodze obliczamy ze wzoru:

v_{ś r} = \frac{s}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}}

Przykład 3

Samochód przebył pierwszą połowę drogi ze średnią prędkością samochodu $60 \frac{km}{h}$ , a średnia prędkość samochodu na całej trasie wyniosła $75 \frac{km}{h}$ . Obliczymy średnią prędkość samochodu na drugiej połowie trasy.

Rozwiązanie

Niech $s [k m]$ będzie długością trasy, jaką przebył samochód.

Przedstawmy sytuację z zadania w poniższej tabeli.

	Droga	Prędkość
I część trasy	$\frac{1}{2} s [k m]$	$60 [\frac{k m}{h}]$
II część trasy	$\frac{1}{2} s [k m]$	$v [\frac{k m}{h}]$

Ponieważ średnia prędkość na całej trasie wynosiła $75 \frac{km}{h}$ , zatem do obliczenia wartości $v$ rozwiązujemy równanie:

$75 = \frac{s}{\frac{\frac{1}{2} s}{60} + \frac{\frac{1}{2} s}{v}}$

$75 = \frac{s}{\frac{s}{120} + \frac{s}{2 v}}$

$75 = \frac{1}{\frac{1}{120} + \frac{1}{2 v}}$

$75 = \frac{1}{\frac{v}{120 v} + \frac{60}{120 v}}$

$75 = \frac{120 v}{v + 60}$

$75 \cdot (v + 60) = 120 v$

$75 v + 4500 = 120 v$

$45 v = 4500$

$v = 100$

Zatem średnia prędkość samochodu na drugim odcinku trasy wynosiła $100 \frac{km}{h}$ .

Przykład 4

Motorówka, płynąc z prądem rzeki przepływa drogę długości $20 km$ w ciągu $40 \min$ . Obliczymy prędkość prądu rzeki, jeżeli motorówka płynie z prędkością własną $36 \frac{km}{h}$ .

Rozwiązanie

Niech $v [\frac{k m}{h}]$ będzie prędkością prądu rzeki.

$20 \min = \frac{20}{60} h = \frac{1}{3} h$

Zatem do obliczenia prędkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{3} = \frac{20}{v + 36}$

$v + 36 = 3 \cdot 20$ , czyli $v = 24$

Wobec tego prędkość prądu rzeki wynosi $24 \frac{km}{h}$ .

Przykład 5

Dwaj rowerzyści wyjechali równocześnie na trasę długości $40 km$ . Prędkość, z jaką poruszał się drugi rowerzysta była o $4 \frac{km}{h}$ większa niż prędkość, z jaką poruszał się pierwszy rowerzysta, więc pokonał on trasę w czasie o $20 \min$ krótszym niż pierwszy. Obliczymy średnie prędkości jazdy obu rowerzystów.

Rozwiązanie

Wiadomo, że $20 \min = \frac{1}{3} h$ .

Przedstawmy za pomocą tabeli sytuację opisaną w zadaniu.

	Prędkość	Czas
I rowerzysta	$v [\frac{k m}{h}]$	$t [h]$
II rowerzysta	$(v + 4) [\frac{k m}{h}]$	$(t - \frac{1}{3}) [h]$

Zauważmy, że $v > 0$ oraz $t > \frac{1}{3}$ .

W celu obliczenia wielkości $v$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{40}{v + 4} + \frac{1}{3} = \frac{40}{v}$

$40 \cdot 3 \cdot v + 1 \cdot (v + 4) \cdot v = 40 \cdot 3 \cdot (v + 4)$

$120 v + v^{2} + 4 v = 120 v + 480$

$v^{2} + 4 v - 480 = 0$

$∆ = 16 + 4 \cdot 480 = 1936$

$\sqrt{∆} = \sqrt{1936} = 44$

$v_{1} = \frac{- 4 - 44}{2} = - 24 < 0$

$v_{2} = \frac{- 4 + 44}{2} = 20 > 0$

Wobec tego prędkości jazdy rowerów wynoszą odpowiednio:

$v = 20 \frac{km}{h}$

$v \frac{k m}{h} + 4 \frac{km}{h} = 24 \frac{km}{h}$

Słownik

równanie wymierne

równanie postaci

\frac{W (x)}{P (x)} = 0

gdzie:
$W (x)$ i $P (x) \neq 0$ – są wielomianami i P(x) jest wielomianem przynajmniej stopnia pierwszego

Wprowadzenie

Animacja

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Słownik