TrójkąttrójkątTrójkąt to figura płaska, w której suma kątów wewnętrznych jest równa 180°, zaś suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego. Czy taka definicja trójkąta jest wystarczająca? Z matematycznego punktu widzenia tak, przecież opisuje własności figury w ten sposób ją definiując.

Jak zatem wyjaśnisz poniższy matematyczny paradoks?

RNhUd0mQmUs9R
Zagadka brakującego kwadratu. Figury na rysunkach nie są trójkątami.
Źródło: Contentplus.pl sp. z o.o..

Uzasadnienie: powyższe figury nie są trójkątami, co pokażemy, i korzystając z własności kątów. Skoro w pierwszym przypadku wydaje się, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym, a suma kątów w trójkącie powinna być równa 180°, to odcinając kąty ostre przy wierzchołkach, powinniśmy po ich złożeniu dostać kąt prosty.
Różnica jest niewielka. W pierwszym przypadku do kąta prostego brakuje kąta o mierze ok. 1°, natomiast w drugim przypadku jest za dużo o 1°.
Warto zatem rozważyć następujące pytanie:

Co to jest trójkąt i jakie własności posiada?

Trójkąt

R1Bs4COPcJfmN
Trójkąt jest wielokątem, który posiada trzy boki. Punkt wspólny sąsiednich boków nazywany jest wierzchołkiem.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
  • A, B, C – wierzchołki trójkąta

  • AC, CB, AB – boki trójkąta

  • L=AC+CB+AB – obwód trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta
Definicja: Kąt zewnętrzny trójkąta

Każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy kątem zewnętrznym trójkątakąt zewnętrzny trójkątakątem zewnętrznym trójkąta.

R1X6LR1L3W67L
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Nierówność trójkąta

Nierówność trójkąta
Twierdzenie: Nierówność trójkąta

W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.

Z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy:

a<b+c,
b<a+c,
c<a+b.

Rodzaje trójkątów

R4clI5vgZzaXp
Trójkąty klasyfikujemy ze względu na miary ich kątów na trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
  • Każdy kąt trójkąta ostrokątnego ma miarę mniejszą od 90°.

  • W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą 90°.

  • W trójkącie rozwartokątnym miara jednego z kątów jest większa od 90°.

Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.

  • Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości nazywamy trójkątem równobocznymtrójkąt równobocznytrójkątem równobocznym.

  • Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennymtrójkąt równoramiennytrójkątem równoramiennym.

  • Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznymtrójkąt różnobocznytrójkątem różnobocznym.

RtF4SPa1cAPja
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Suma kątów w trójkącie

Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta
Twierdzenie: Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.

R1b6HipePD0SX
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Ważne!

Wniosek

  • Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest rozwarty, to każdy z pozostałych kątów jest kątem ostrym.

  • Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest prosty, to każdy z pozostałych kątów jest ostry. Suma miar tych kątów ostrych jest równa 90°.

α<90°, β<90°
α+β=90°
Przykład 1

Znajdiemy miarę kąta α przedstawionego na poniższym rysunku.

RtF4SPa1cAPja
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

Suma kątów trójkąta jest równa 180°.

α+80°+30°=180°
α+110°=180°
α=180°-110°
α=70°
Przykład 2

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę 40°. Obliczymy miary pozostałych kątów.

W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne - rozpatrzymy dwa przypadki. Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa 180°.

RPhTrwA7hmQZZ
Przypadek I Kąt o mierze 40° jest kątem między ramionami trójkąta. Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Między równymi ramionami zaznaczono kąt wewnętrzny 40 stopni, ramiona nachylone są do podstawy pod kątem alfa każde. α+α+40°=180°
2α=180°-40°
2α=140° |:2
α=70°
Odpowiedź: Miary pozostałych kątów trójkąta są równe 70°70°., Przypadek II Kąt o mierze 40° jest kątem przy podstawie trójkąta. Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Między równymi ramionami zaznaczono kąt beta. Każde z ramion nachylone jest do podstawy pod kątem 40 stopni. β+40°+40°=180°
β+80°=180°
β=180°80°
β=100°
Odpowiedź: Miara kąta β jest równa 100°.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Słownik

trójkąt
trójkąt

to figura płaska, w której suma kątów wewnętrznych jest równa 180°, zaś suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego.

kąt zewnętrzny trójkąta
kąt zewnętrzny trójkąta

jest to każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta

trójkąt równoboczny
trójkąt równoboczny

jest trójkątem, którego wszystkie boki są samej długości

trójkąt równoramienny
trójkąt równoramienny

jest trójkątem, w którym dwa boki są tej samej długości

trójkąt różnoboczny
trójkąt różnoboczny

jest trójkątem, w którym wszystkie boki są różnej długości