TrójkąttrójkątTrójkąt to figura płaska, w której suma kątów wewnętrznych jest równa , zaś suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego. Czy taka definicja trójkąta jest wystarczająca? Z matematycznego punktu widzenia tak, przecież opisuje własności figury w ten sposób ją definiując.
Jak zatem wyjaśnisz poniższy matematyczny paradoks?
RNhUd0mQmUs9R
Uzasadnienie: powyższe figury nie są trójkątami, co pokażemy, i korzystając z własności kątów. Skoro w pierwszym przypadku wydaje się, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym, a suma kątów w trójkącie powinna być równa , to odcinając kąty ostre przy wierzchołkach, powinniśmy po ich złożeniu dostać kąt prosty. Różnica jest niewielka. W pierwszym przypadku do kąta prostego brakuje kąta o mierze ok. , natomiast w drugim przypadku jest za dużo o . Warto zatem rozważyć następujące pytanie:
Co to jest trójkąt i jakie własności posiada?
Trójkąt
R1Bs4COPcJfmN
, , – wierzchołki trójkąta
, , – boki trójkąta
– obwód trójkąta
Kąt zewnętrzny trójkąta
Definicja: Kąt zewnętrzny trójkąta
Każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy kątem zewnętrznym trójkątakąt zewnętrzny trójkątakątem zewnętrznym trójkąta.
R1X6LR1L3W67L
Nierówność trójkąta
Nierówność trójkąta
Twierdzenie: Nierówność trójkąta
W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
Z odcinków o długościach , , można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy:
,
,
.
Rodzaje trójkątów
R4clI5vgZzaXp
Każdy kąt trójkąta ostrokątnego ma miarę mniejszą od .
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą .
W trójkącie rozwartokątnym miara jednego z kątów jest większa od .
Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.
Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości nazywamy trójkątem równobocznymtrójkąt równobocznytrójkątem równobocznym.
Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennymtrójkąt równoramiennytrójkątem równoramiennym.
Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznymtrójkąt różnobocznytrójkątem różnobocznym.
Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest rozwarty, to każdy z pozostałych kątów jest kątem ostrym.
Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest prosty, to każdy z pozostałych kątów jest ostry. Suma miar tych kątów ostrych jest równa .
Przykład 1
Znajdiemy miarę kąta przedstawionego na poniższym rysunku.
RtF4SPa1cAPja
Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa .
Przykład 2
W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę . Obliczymy miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne - rozpatrzymy dwa przypadki. Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa 180°.
RPhTrwA7hmQZZ
Słownik
trójkąt
trójkąt
to figura płaska, w której suma kątów wewnętrznych jest równa , zaś suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego.
kąt zewnętrzny trójkąta
kąt zewnętrzny trójkąta
jest to każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta
trójkąt równoboczny
trójkąt równoboczny
jest trójkątem, którego wszystkie boki są samej długości
trójkąt równoramienny
trójkąt równoramienny
jest trójkątem, w którym dwa boki są tej samej długości
trójkąt różnoboczny
trójkąt różnoboczny
jest trójkątem, w którym wszystkie boki są różnej długości