TrójkąttrójkątTrójkąt to figura płaska, w której suma kątów wewnętrznych jest równa , zaś suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego. Czy taka definicja trójkąta jest wystarczająca? Z matematycznego punktu widzenia tak, przecież opisuje własności figury w ten sposób ją definiując.
Jak zatem wyjaśnisz poniższy matematyczny paradoks?
RNhUd0mQmUs9R
Rysunek przedstawia zagadkę brakującego kwadratu. Na tło w kratkę naniesiono dwie figury. Pierwsza to trójkąt prostokątny o poziomej podstawie o długości 5 kratek, o pionowej przyprostokątnej o długości 13 kratek. Trójkąt podzielono na mniejsze kawałki. Przy lewym wierzchołku podstawy mamy mniejszy trójkąt prostokątny, którego podstawa i przeciwprostokątna pokrywają się z podstawą i przeciwprostokątną dużego trójkąta. Mały trójkąt ma podstawę na dwie kratki i pionową przyprostokątną na 5 kratek. Pionowy bok jest lewym bokiem drugiej figury. Jej dolny bok jest poziomy, długi na jedną kratkę i pokrywa się podstawą dużego trójkąta. Trzeci bok figury jest pionowy, biegnie w górę i jest długi na trzy kratki. Dalej mamy poziomy bok biegnący w prawo na długość jednej kratki. Dalej mamy pionowy bok biegnący w górę długi na dwie kratki. Ostatni bok domyka tę figurę, jest to poziomy bok długi na dwie kratki, a wierzchołek tej figury leży na przeciwprostokątnej dużego trójkąta. Trzeci element dużego trójkąta przylega do drugiej figury i jest następująca: dolny poziomy bok ma długość dwóch kratek i pokrywa się z podstawą dużego trójkąta. Z prawej strony biegnie w górę pionowy bok na długość pięć kratek, kolejny bok jest pionowy i biegnie w lewo na długość jednej kratki. Trzeci bok biegnie w dół na długość dwóch kratek. Czwarty bok biegnie poziomo w lewo na długość jednej kratki. Ostatni bok biegnie pionowo w dół na długość trzech kratek. Czwarta część dużego trójkąta to trójkąt prostokątny, którego górny wierzchołek pokrywa się z górnym wierzchołkiem dużego trójkąta. Pokrywają się również ich przeciwprostokątne i pionowa przyprostokątna. W małym trójkącie ma ona długość ośmiu kratek, a pozioma podstawa tego trójkąta ma długość trzech kratek. Figura obok składa się z tych samych kawałków poukładanych w kształt takiego samego trójkąta jak wyjściowy, jednak kawałki ustawiono wewnątrz inaczej w taki sposób, że tworzy się dziura na jedną kratkę. Zamieniono miejscami małe wewnętrzne trójkąty. Drugi opisany element przesunięto o jedną kratkę w prawo i trzy w górę. Brakująca kratka znajduje się przy pionowej przyprostokątnej dużego trójkąta na wysokości sześciu kratek nad podstawą.
Zagadka brakującego kwadratu. Figury na rysunkach nie są trójkątami.
Źródło: Contentplus.pl sp. z o.o..
Uzasadnienie: powyższe figury nie są trójkątami, co pokażemy, i korzystając z własności kątów. Skoro w pierwszym przypadku wydaje się, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym, a suma kątów w trójkącie powinna być równa , to odcinając kąty ostre przy wierzchołkach, powinniśmy po ich złożeniu dostać kąt prosty. Różnica jest niewielka. W pierwszym przypadku do kąta prostego brakuje kąta o mierze ok. , natomiast w drugim przypadku jest za dużo o . Warto zatem rozważyć następujące pytanie:
Co to jest trójkąt i jakie własności posiada?
Trójkąt
R1Bs4COPcJfmN
Na rysunku znajduje się trójkąt, czyli figura rozrysowana między trzema punktami A, B oraz C, które są wierzchołkami. Punkty te połączono trzema odcinkami: A B, A C oraz B C. Odcinki te to boki trójkąta.
Trójkąt jest wielokątem, który posiada trzy boki. Punkt wspólny sąsiednich boków nazywany jest wierzchołkiem.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
, , – wierzchołki trójkąta
, , – boki trójkąta
– obwód trójkąta
Kąt zewnętrzny trójkąta
Definicja: Kąt zewnętrzny trójkąta
Każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy kątem zewnętrznym trójkątakąt zewnętrzny trójkątakątem zewnętrznym trójkąta.
R1X6LR1L3W67L
Grafika przedstawia trójkąt. Przy jednym z jego wierzchołków zaznaczono kąt wewnętrzny alfa. Boki tworzące ten kąt przedłużono linią przerywaną. Zaznaczono dwa kąty zewnętrzne: beta między jednym bokiem a przedłużeniem drugiego boku oraz gamma między przedłużeniem pierwszego boku i drugim bokiem. Kąty te są naprzeciwko siebie, a alfa znajduje się między nimi.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Nierówność trójkąta
Nierówność trójkąta
Twierdzenie: Nierówność trójkąta
W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
Z odcinków o długościach , , można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy:
,
,
.
Rodzaje trójkątów
R4clI5vgZzaXp
Grafika przedstawia trzy rodzaje trójkątów. Od lewej trójkąt ostrokątny z kątami: alfa mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, beta mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, gamma mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni. Środkowy trójkąt to trójkąt prostokątny z kątami: alfa równym dziewięćdziesiąt stopni, beta mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, gamma mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni. Po prawej stronie grafiki trójkąt rozwartokątny z kątami: alfa większym niż dziewięćdziesiąt stopni, beta mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni, gamma mniejszym niż dziewięćdziesiąt stopni.
Trójkąty klasyfikujemy ze względu na miary ich kątów na trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Każdy kąt trójkąta ostrokątnego ma miarę mniejszą od .
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą .
W trójkącie rozwartokątnym miara jednego z kątów jest większa od .
Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.
Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości nazywamy trójkątem równobocznymtrójkąt równobocznytrójkątem równobocznym.
Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennymtrójkąt równoramiennytrójkątem równoramiennym.
Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznymtrójkąt różnobocznytrójkątem różnobocznym.
RtF4SPa1cAPja
Grafika przedstawia trójkąt z zaznaczonymi kątami ostrym alfa, osiemdziesiąt stopni i trzydzieści stopni.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Grafika przedstawia trójkąt z zaznaczonymi kątami: kąt rozwarty beta i kąty ostre alfa i gamma. Poniżej zapisano alfa dodać beta dodać gamma równa się 180 stopni.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Ważne!
Wniosek
Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest rozwarty, to każdy z pozostałych kątów jest kątem ostrym.
Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest prosty, to każdy z pozostałych kątów jest ostry. Suma miar tych kątów ostrych jest równa .
Przykład 1
Znajdiemy miarę kąta przedstawionego na poniższym rysunku.
RtF4SPa1cAPja
Grafika przedstawia trójkąt z zaznaczonymi kątami ostrym alfa, osiemdziesiąt stopni i trzydzieści stopni.
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa .
Przykład 2
W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę . Obliczymy miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne - rozpatrzymy dwa przypadki. Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa 180°.
RPhTrwA7hmQZZ
Przypadek Kąt o mierze jest kątem między ramionami trójkąta.
Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Między równymi ramionami zaznaczono kąt wewnętrzny 40 stopni, ramiona nachylone są do podstawy pod kątem alfa każde.
Odpowiedź: Miary pozostałych kątów trójkąta są równe i ., Przypadek Kąt o mierze jest kątem przy podstawie trójkąta.
Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Między równymi ramionami zaznaczono kąt beta. Każde z ramion nachylone jest do podstawy pod kątem 40 stopni.
Odpowiedź: Miara kąta jest równa .
Przypadek Kąt o mierze jest kątem między ramionami trójkąta.
Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Między równymi ramionami zaznaczono kąt wewnętrzny 40 stopni, ramiona nachylone są do podstawy pod kątem alfa każde.
Odpowiedź: Miary pozostałych kątów trójkąta są równe i ., Przypadek Kąt o mierze jest kątem przy podstawie trójkąta.
Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Między równymi ramionami zaznaczono kąt beta. Każde z ramion nachylone jest do podstawy pod kątem 40 stopni.
Odpowiedź: Miara kąta jest równa .
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Słownik
trójkąt
trójkąt
to figura płaska, w której suma kątów wewnętrznych jest równa , zaś suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego.
kąt zewnętrzny trójkąta
kąt zewnętrzny trójkąta
jest to każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta
trójkąt równoboczny
trójkąt równoboczny
jest trójkątem, którego wszystkie boki są samej długości
trójkąt równoramienny
trójkąt równoramienny
jest trójkątem, w którym dwa boki są tej samej długości
trójkąt różnoboczny
trójkąt różnoboczny
jest trójkątem, w którym wszystkie boki są różnej długości