Nierównością pierwszego stopnia (liniową) z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $k$, dla których zbiorem rozwiązań nierówności liniowej $3x+4k\ge 2$ jest przedział $\left.⟨-1, \mathrm{\infty }\right)$.

$3x+4k\ge 2$

$3x+4k-2\ge 0$

Rozważmy rosnącą funkcję liniową $f\left(x\right)=3x+4k-2$.

Funkcja $f\left(x\right)$ ma przyjmować wartości nieujemne dla $x\in \left.⟨-1, \infty \right)$. Zatem miejscem zerowym funkcji $f$ musi być liczba $\left(-1\right)$.

$f\left(-1\right)=0$

$3·\left(-1\right)+4k-2=0$

$-3+4k-2=0$

$4k=5$

$k=\frac{5}{4}$

Aby zbiorem rozwiązań nierówności był przedział $\left.⟨-1, \mathrm{\infty }\right)$, współczynnik $k=\frac{5}{4}$.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $k$, dla których zbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierówności z jedną niewiadomązbiór rozwiązań nierówności $x+2k\ge 1$ zawiera się w przedziale $\left.⟨-2, \infty \right)$.

$x+2k\ge 1$

$x+2k-1\ge 0$

Rozważymy rosnącą funkcję $f\left(x\right)=x+2k-1$.

Aby zbiór rozwiązań nierówności zawierał się w przedziale $\left.⟨-2, \infty \right)$, miejsce zerowe funkcji $f$ musi być większe lub równe od $\left(-2\right)$.

Wyznaczymy miejsce zerowe funkcji $f$.

$x+2k-1=0$

$x=1-2k$

Zatem musi być spełniony warunek $1-2k\ge -2$.

$-2k\ge -3$

$k\le \frac{3}{2}$

Aby zbiór rozwiązań nierówności zawierał się w przedziale $\left.⟨-2, \infty \right)$, współczynnik

$k\in \left(-\infty , \frac{3}{2}\right.⟩$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości współczynnika $a$ wśród rozwiązań nierówności $a\left(x+1\right)>2$ jest liczba $x=-3$.

Jeżeli liczba $\left(-3\right)$ ma znajdować się w zbiorze rozwiązań nierówności $a\left(x+1\right)>2$, to podstawimy  ją w miejsce niewiadomej $x$ i rozwiążemy nierówność z niewiadomą $a$.

$a\left(-3+1\right)>2$

$-2a>2$

$a<-1$

$a\in \left(-\infty , -1\right)$.

Dla $a\in \left(-\infty , -1\right)$ wśród rozwiązań nierówności znajduje się liczba $x=-3$.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $a$, dla których zbiorem rozwiązań nierówności $ax<a-1$ jest przedział $\left(4, \mathrm{\infty }\right)$.

$ax<a-1$

Abyśmy mogli podzielić obie strony nierówności przez $a$, rozpatrzymy następujące przypadki.

1. Jeżeli $a>0$ wtedy $x<\frac{a-1}{a}$.

   $x\in \left(-\infty , \frac{a-1}{a}\right)$

   Ponieważ zbiorem rozwiązań nierówności ma być przedział $\left(4, \mathrm{\infty }\right)$ zatem warunek nie może być spełniony.

2. Jeżeli $a=0$, wtedy $0·x<0-1$.

   $0<-1$ – sprzeczność

3. Jeżeli $a<0$, wtedy $x>\frac{a-1}{a}$.

   $x\in \left(\frac{a-1}{a}, \infty \right)$.

Aby zbiorem rozwiązań nierówności był przedział $\left(4, \mathrm{\infty }\right)$, musi zachodzić równość $\frac{a-1}{a}=4$.

$a-1=4a$

$-3a=1$

$a=-\frac{1}{3}<0$

Warunek zadania jest spełniony dla współczynnika $a=-\frac{1}{3}$.

Wyznaczymy wszystkie wartości współczynnika $m$, dla których zbiorem rozwiązań nierówności dla $m^{2}x+3+m<0$ jest zbiór pusty.

Rozważymy funkcję liniową $f\left(x\right)=m^{2}x+3+m$.

Aby funkcja $f$ nie przyjmowała wartości ujemnych, musi być funkcją stałą oraz wyraz wolny musi być liczbą nieujemną, czyli:

$\left\{\begin{array}{l}{m}^2=0\\ 3+m\ge 0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ m\ge -3\end{array}\right.$ czyli $m=0$

Dla współczynnika $m=0$ nierówność jest sprzeczna, czyli jej zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym.

każda liczba rzeczywista, która spełnia tę nierówność