Warto przeczytać

Natężenie pola elektrycznego a potencjał elektryczny

Do opisu pola elektrycznego zwykle używamy dwóch wielkości fizycznych: natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E}$ oraz potencjału elektrycznego $V$. Te dwie wielkości są ze sobą ściśle związane i od charakteru badanego problemu zależy, którą wielkością się posługujemy (Rys. 1.). Podobnego wyboru dokonujemy rozważając np. zachowanie masywnej cząstki w polu grawitacyjnym. Jeśli interesuje nas zależność położenia od czasu, wyznaczamy siły działające na cząstkę i rozwiązujemy odpowiednie równanie ruchu, wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona. Jeśli jednak interesuje nas prędkość, z jaką spadająca swobodnie cząstka uderzy w Ziemię, posługujemy się pojęciem energii i stosujemy zasadę zachowania energii.

R1WZHzHjpQSf7

Rys. 1. Rysunek przedstawia zdjęcie komory iskrowej służącej do wykrywania cząstek elementarnych. Na czarnej szafce położono drewnianą skrzynie na której umieszczono urządzenie. Urządzenie składa się z serii ustawionych poziomo, równolegle do siebie, jedna nad drugą, przewodzących płytek, zamocowanych w kwadratowej ramie. Do płytek podłączono generator w taki sposób by sąsiednie płytki były zasilane przeciwnym potencjałem. Na rysunku widać też źródło cząstek elementarnych które wpadając między płytki zamykają obwód elektryczny w postaci przeskoku iskry.

Natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorową, równą stosunkowi siły działającej na próbny ładunek do wartości tego ładunku:

Zatem natężenie pola elektrycznego będzie odpowiednią wielkością do rozważania, jeżeli to właśnie siła, z jaką pole elektryczne działa na ładunek, interesuje nas najbardziej. Natomiast jeśli chcemy skupić się na pracy potrzebnej do przesunięcia ładunku, to właśnie potencjał elektryczny będzie najbardziej odpowiedni do takich rozważań.

Potencjał elektryczny to wielkość skalarna, wyrażana w woltach. Potencjał elektryczny równy jest stosunkowi energii potencjalnej ładunku próbnego do jego wartości:

R16KVzNCR5JYk

Rys. 2. Rysunek przedstawia cztery czarne linie pola elektrycznego ustawione jedne nad drugimi w kierunku zbliżonym do poziomu. Odległość między liniami jest mniejsza po stronie lewej niż po prawej. Na liniach zaznaczono kierunek natężenia pola elektrycznego w postaci czarnych strzałek skierowanych w prawo. Ponieważ linie pola stanowią przedstawienie pola centralnego linie ekwipotencjalne stanowią fragmenty okręgów przedstawionych linią czarną, linią przerywaną. Linie ekwipotencjalne są w każdym punkcie prostopadłe do linii pola. W miejscu gdzie linie pola są bliżej siebie potencjał jest wyższy a tam gdzie są dalej od siebie niższy.

Aby zrozumieć związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego, a potencjałem, przeanalizujmy powyższy rysunek (Rys. 2.). Linie pola są graficzną reprezentacją natężenia pola elektrycznego. Wektor $\vec{E}$, w każdym punkcie przestrzeni, jest styczny do linii pola, a ich gęstość jest proporcjonalna do wartości natężenia. Zwrot linii pola pokrywa się ze zwrotem wektora $\vec{E}$. Linie te zawsze są skierowane od wyższego do niższego potencjału. Czyli przesuwając punktowy ładunek dodatni wzdłuż linii pola, zgodnie z ich zwrotem, potencjał może wyłącznie maleć. Tym szybciej, im większa jest gęstość linii pola. Jednocześnie oznacza to, że przesuwając się prostopadle do linii pola, potencjał elektryczny nie zmienia się (Rys. 3.). Linie pola elektrycznego są zawsze prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnejpowierzchnia ekwipotencjalnapowierzchni ekwipotencjalnej, w każdym jej punkcie. Powierzchnie ekwipotencjalne na omawianym rysunku mają postać przerywanych krzywych, które w rzeczywistości są częścią wspólną przecięcia powierzchni ekwipotencjalnej z płaszczyzną rysunku.

RhAbuIUVppAQS

Rys. 3. Rysunek przedstawia ładunek dodatni pokazany w postaci niebieskiego kółka z białym znakiem plus w środku. Na zewnątrz od ładunku rozchodzą się promieniście czerwone linie pola elektrycznego. Prostopadle do niech na rysunku wrysowano koncentryczne czarne okręgi stanowiące linie ekwipotencjalne.

Jeśli w polu elektrycznym umieścimy swobodny ładunek dodatni, bez prędkości początkowej, będzie on poruszać się wzdłuż linii pola. Oznacza to, że potencjał elektryczny, w jakim się znajduje ładunek, będzie stale malał, aż do momentu, w którym ładunek znajdzie się w minimum potencjału. Jeśli umieścimy ładunek dodatni w minimum potencjału, ładunek ten pozostanie nieruchomy. Ładunek będzie mógł opuścić minimum potencjału tylko wtedy, gdy nadamy mu odpowiednią prędkość (Rys. 4.).

R1PeVhpVZPvcW

Rys. 4. Rysunek składa się z dwóch wykresów zależności energii potencjalnej od odległości między ładunkami w postaci czerwonych hiperbol stycznych do osi układu współrzędnych. Na wykresie lewym przestawiono oddziaływanie ładunków różnoimiennych. Hiperbola jest rosnąca i znajduje się w czwartej ćwiartce. Na wykresie prawym przestawiono oddziaływanie ładunków jednoimiennych. Hiperbola jest malejąca i znajduje się w pierwszej ćwiartce.

Analogiczną sytuacją do opisanej, jest spadek swobodny ciała w polu grawitacyjnym. W trakcie spadku energia potencjalna ciała może tylko maleć. Wzrost energii potencjalnej jest możliwy wyłącznie kosztem energii kinetycznej, np. przy podrzucaniu ciała.

Energia potencjalna ładunku jest iloczynem jego wartości i potencjału elektrycznego: $E_p=q\cdot V$. Jeśli więc ładunek dodatni przemieszcza się ku mniejszemu potencjałowi elektrycznemu, również jego energia potencjalna maleje. Swobodny ładunek ujemy dozna przemieszczenia w polu elektrycznym w stronę przeciwną, czyli ku rosnącemu potencjałowi elektrycznemu, jednak nadal jego energia potencjalna będzie maleć.

Zmiana energii potencjalnej

Pole elektryczne, podobnie jak pole grawitacyjne, jest polem zachowawczym. Oznacza to, że praca przeniesienia ładunku w polu nie zależy od drogi, a jedynie od położenia początkowego i końcowego. Korzystając ze związku pomiędzy energią potencjalną ładunku, a wartością potencjału elektrycznego, w jakim znajduje się ładunek, możemy zapisać równanie na zmianę energii potencjalnej ładunku:

Czyli zmiana energii potencjalnej jest wprost proporcjonalna do zmiany potencjału elektrycznego. Wielkość $\mathrm{\text{ΔV}}$ to różnica wartości potencjału elektrycznego między wartością końcową ($V_B$), a początkową ($V_A$). Różnicę tę nazywamy napięciem elektrycznym i oznaczamy $U$:

Zwróć uwagę na kolejność indeksów w powyższym równaniu.

Zatem przesuwając ładunek elektryczny z punktu $A$ do punktu $B$ jego energia potencjalna zmieni się o:

Jednocześnie będzie to wartość pracy, jaką musiała wykonać zewnętrzna siła, by dokonać tego przesunięcia.

Pole centralne

Pole centralne obserwujemy wokół ładunków punktowych, jak również wokół naładowanych kul, naładowanych zarówno powierzchniowo, jak i objętościowo (Rys. 5.). Więcej na ten temat w e‑materiale „Co to jest pole centralne?”.

R6MrkVmbEqw14

Rys. 5. Rysunek przedstawia umieszczone obok siebie ładunki jeden dodatni pokazany w postaci czerwonego kółka z białym znaczkiem plus oraz ładunek ujemny przedstawiony w postaci szarego. Oba ładunki wytwarzają wokół siebie pole centralne, którego linie pokazano w postaci czarnych promieniście ustawionych linii. Linie te są skierowane od ładunku dodatniego na zewnątrz i w kierunku ładunku ujemnego do środka co podkreślono czarnymi strzałkami.

Charakterystyczną cechą pola centralnego jest zmniejszanie wartości potencjału wraz z odległością $r$ od centrum pola według zależności $\frac{1}{r}$. Zależność potencjału elektrycznego od odległości od punktowego ładunku $Q$ ma postać:

Zatem powierzchnie ekwipotencjalne pola centralnego są sferami.

Zmiana energii potencjalnej ładunku próbnego $q$ przy przesuwaniu w polu centralnym z punktu $A$ do punktu $B$ zależy wyłącznie od początkowej i końcowej odległości tych punktów od centrum pola (więcej na ten temat w e‑materiale „Jak definiuje się potencjał pola i jaka jest jego jednostka?”):

Pole jednorodne

Pole jednorodne  może być wytwarzane przez nieskończenie dużą naładowaną jednorodnie płaszczyznę (Rys. 6.). Więcej na ten temat w e‑materiale „Co to jest pole jednorodne?”. Jednak możemy pole uznać w przybliżeniu za jednorodne w pobliżu skończonej płaszczyzny, pod warunkiem, że rozważamy punkty w niedużej odległości od jej powierzchni, w porównaniu z jej rozmiarem (np. wewnątrz płaskiego kondensatora).

REAGK9qCUYqfW

Rys. 6. Rysunek przedstawia dużą, szarą, ustawioną poziomo, równomiernie (jednorodnie) naładowaną dodatnio, wykonaną z metalu płytę. Płyta ta wytwarza jednorodne pole elektryczne o czarnych liniach skierowanych poziomo, prostopadle do powierzchni płyty. Linie pola są skierowane w lewo i w prawo od płyty. Ładunki dodatnie przedstawiono także w postaci białych znaków plus. Niektóre fragmenty płyty zaznaczono czerwonymi okręgami. Powierzchnia tych obszarów została oznaczona wielką literą delta i wielką literą S. Gęstość powierzchniową ładunku rozmieszczonego na tej płycie oznaczono małą literą sigma. Ładunek zawarty więc w zakreślonym obszarze płyty oznaczony wielką literą delta i małą literą q jest równy iloczynowi tego pola powierzchni i gęstości powierzchniowej ładunku.

Linie pola jednorodnego są równoległe, zatem ich gęstość jest stała. Oznacza to, że spadek potencjału wzdłuż linii pola następuje jednostajnie. Nie możemy więc powiedzieć, że w nieskończoności potencjał elektryczny znika, jak ma to miejsce w przypadku pola centralnego. Podobnie jak nie ma od góry ustalonego położenia w jednorodnym polu grawitacyjnym, dla którego wartość energii potencjalnej jest zerowa. Nie ma to jednak znaczenia, ponieważ fizyczną interpretację ma nie bezwzględna wartość potencjału elektrycznego, a jedynie jego zmiana podczas przesuwania ładunku.

Wprowadzając układ odniesienia, w którym oś $x$ pokrywa się z kierunkiem pola jednorodnego (czyli $\vec{E}=[E,0,0]$), możemy zapisać równanie na zmianę energii potencjalnej podczas przesuwania ładunku $q$ w polu jednorodnym:

Zmiana energii potencjalnej, a praca

Zmiana energii potencjalnej ładunku równa jest całkowitej pracy wykonanej nad układem przez pewną zewnętrzną siłę. Wzrost energii potencjalnej oznacza, że wykonano dodatnią pracę. By wykonać dodatnią pracę, zewnętrzna siła musi przeciwdziałać sile, z jaką pole elektryczne oddziałuje na ładunek.

Należy pamiętać, że praca zewnętrznej siły nie jest tożsama z pracą pola. Pole elektryczne może przesunąć swobodny ładunek elektryczny wyłącznie zmniejszając energię potencjalną ładunku. Pole elektryczne, przesuwając ładunek, wykona taką samą pracę, co do wartości bezwzględnej, jaką wykonałaby siła zewnętrzna. Praca ta, przy analogicznym przesunięciu, będzie miała znak przeciwny.

Słowniczek