Przeczytaj

Warto przeczytać

RjySIQ4LKjCgY

Rys. 1. Na rysunku znajduje się pozioma oś skierowana w prawo i oznaczona literą małe x. Na osi umieszczono dwie kulki. Większa kulka o masie małe m z indeksem dolnym jeden leży w odległości małe x z indeksem dolnym jeden od początku osi. Mniejsza kulka o masie małe m z indeksem dolnym dwa znajduje się dalej na prawo w odległości małe x z indeksem dolnym dwa. Odległość między środkami kulek oznaczono jako małe L. Środek masy to punkt oznaczony literą wielkie S i leżący na odcinku łączącym środki kulek, bliżej kulki o większej masie. Odległość środka masy od początku osi oznaczono literą małe x z indeksem dolnym s. — Rys. 1. Środek masy dwóch ciał.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Środek masy obiektu to punkt, który często można traktować tak, jak gdyby cała masa obiektu była skupiona w tym punkciePunkt materialny punkcie. Położenie tego punktu w ciele lub układzie ciał zależy od rozkładu masy. Jest to średnia ważona położeń wszystkich elementów ciała względem tego punktu; za wagi przyjmujemy właśnie masy tych elementów. Dla dwóch ciał o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ znajdujących się w odległości $l$ środek masy S znajduje się w odległości $x_{s}$ od początku układu O, jak na Rys. 1.:

x_{s} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} .

Przykład 1 – środek masy układu dwóch kul

Rozwiązując przykładowe zadania, wygodnie jest umieścić środek układu współrzędnych (względem którego wyznaczymy środek masy) w środku jednego z ciał. W powyższym przykładzie, jeśli umiejscowimy punkt O w środku kuli o masie $m_{1}$ , to wartość $x_{1}$ wyniesie 0, a $x_{2} = l$ , zatem wzór uprości się do

x_{s} = \frac{m_{2} l}{m_{1} + m_{2}} .

W przypadku kul o tych samych masach $m_{1} = m_{2} = m$ otrzymamy

x_{s} = \frac{m_{2} l}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m l}{m + m} = \frac{m l}{2 m} = \frac{l}{2},

czyli środek masy – zgodnie z intuicją – znajdzie się pośrodku tych dwóch ciał. Jeśli przyjmiemy, że masy nie są równe i np. masa drugiej kuli jest trzykrotnie większa niż pierwszej, czyli $m_{2} = 3 m_{1}$ otrzymamy

x_{s} = \frac{m_{2} l}{m_{1} + m_{2}} = \frac{3 m_{1} l}{m_{1} + 3 m_{1}} = \frac{3 m_{1} l}{4 m_{1}} = \frac{3}{4} l .

Środek masy znajdzie się więc bliżej cięższej z kul - dokładnie w 1/4 odległości między kulami.

Przykład 2 – środek masy układu trzech kul leżących na jednej prostej

Gdyby wzdłuż osi znajdowały się trzy kule, jak na Rys. 2., postąpilibyśmy analogicznie, obliczając:

x_{s} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} .

R10Hjr9HnFLR0

Rys. 2. Rysunek pokazuje trzy jednakowe kule leżące na poziomej linii prostej. Pod nimi narysowano poziomą oś skierowaną w prawo i oznaczoną literą małe x. Pierwsza z kul leży w początku układu współrzędnych, druga jest w odległości mała litera L z indeksem dolnym jeden od niej, a trzecia w odległości mała litera L z indeksem dolnym dwa od drugiej. Środek masy układu kul znajduje się miedzy kulą drugą a trzecią. Jego odległość od początku układu współrzędnych jest oznaczona mała literą małe x z indeksem dolnym s. — Rys. 2. Układ trzech kul leżących na jednej prostej. Ilustracja do Przykładu 2
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Rozważmy szczególny przypadek, gdy mamy trzy kule o jednakowych masach ( $m$ = 1 kg każda). Położenia kul dla $l_{1}$ = 1 m i $l_{2}$ = 2 m pokazano na Rys. 2. Przyjmując środek układu współrzędnych w środku pierwszej kuli, otrzymamy

x_{s} = \frac{m l_{1} + m (l_{1} + l_{2})}{m + m + m} = \frac{l_{1} + l_{1} + 2 l_{1}}{3} = 1 \frac{1}{3} l_{1} \approx 1, 3 m

Środek masy takiego układu znajduje więc się ok. 33 cm na prawo od środkowej kuli.

W przypadku bardziej złożonych układów, składających się w ogólności z $n$ elementów, postępujemy analogicznie, sumując masy i odległości wszystkich elementów składowych danego układu:

x_{s} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + ... + m_{n} x_{n}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{n}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}

Powyższe wzory zaprezentowaliśmy dla prostej sytuacji jednowymiarowej, tj. dla mas ułożonych wzdłuż jednej prostej, do której dostosowaliśmy oś OX. Jeśli natomiast mamy układ wielu ciał w przestrzeni, np. jak na Rys. 3., nasze postępowanie będzie analogiczne, tyle że zamiast pojedynczej współrzędnej $x$ , będziemy potrzebować wektora w postaci

\vec{r_{s}} = \frac{m_{1} \vec{r_{1}} + m_{2} \vec{r_{2}} + . . . + m_{n} \vec{r_{n}}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{n}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \vec{r_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}} .

RSLfskgaoae9i

Rys. 3. Rysunek przedstawia trójwymiarowy układ współrzędnych składający się z trzech wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym początku. Osie oznaczone literami małe x i małe y leżą w płaszczyźnie rysunku. Oś małe x jest skierowana poziomo w prawo, a oś małe y pionowo w gorę. Oś małe z jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i skierowana od nas. W układzie współrzędnych narysowano 4 elipsy o różnych rozmiarach symbolizujące ciała o różnych masach. Położenie każdego ciała określa wektor, którego początek znajduje się w początku układu współrzędnych a koniec w środku masy ciała. Wektor położenia ciała o masie małe m z indeksem dolnym 1 oznaczono literą małe r z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Wektor położenia ciała o masie małe m z indeksem dolnym 2 oznaczono literą małe r z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. Wektor położenia ciała o masie małe m z indeksem dolnym 3 oznaczono literą małe r z indeksem dolnym 3 i strzałką nad nią. Wektor położenia ciała o masie małe m z indeksem dolnym 4 oznaczono literą małe r z indeksem dolnym 4 i strzałką nad nią. — Rys. 3. Cztery obiekty w przestrzeni trójwymiarowej. Średnia ważona ich położeń daje w wyniku położenie środka masy układu, pominięte dla większej czytelności rysunku.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przykład 3 – środek masy układu czterech jednakowych kul w dwóch wymiarach

Współrzędne środka masy dla każdej z tych osi wyznaczamy niezależnie, tak jak we wcześniejszych przykładach. Weźmy przykład czterech jednakowych kul zlokalizowanych w wierzchołkach prostokąta o bokach długości $x_{0}$ , $y_{0}$ , jak na Rys. 4.:

R9uuZqmD7UsJl

Rys. 4. W układzie współrzędnych xy umieszczone są cztery jednakowe kule. Kule znajdują się w wierzchołkach prostokąta, którego 2 boki leżą na osiach poziomej i pionowej. Pionowy bok prostokąta ma długość małe y z indeksem dolnym zero, poziomy bok prostokąta ma długość małe x z indeksem dolnym zero. — Rys. 4. Układ czterech kul o jednakowych masach, omawiany w przykładzie 3
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Gdzie znajduje się środek tego układu? Musimy oddzielnie znaleźć położenie dwóch współrzędnych: $\vec{r_{s}} = [x_{s}; y_{s}]$ , czyli oddzielnie przeprowadzimy sumowanie dla współrzędnej $x$ i $y$ , jak na Rys. 5.:

RlSSPy9tHDnQF

Rys. 5. zawiera wszystkie elementy, które przedstawione były na rysunku 4 i dodatkowo wektor położenia środka masy. Jego początek jest w początku układu współrzędnych a koniec w punkcie o współrzędnych( x z indeksem dolnym s, y z indeksem dolnym s). Leży on w punkcie przecięcia się przekątnych prostokąta. — Rys. 5. Układ czterech kul o jednakowych masach – rozwiązanie Przykładu 3.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

x_{s} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3} + m_{4} x_{4}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4}} = \frac{0 + 0 + m x_{0} + m x_{0}}{m + m + m + m} = \frac{2 m x_{0}}{4 m} = \frac{1}{2} x_{0},

y_{s} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + m_{3} y_{3} + m_{4} y_{4}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4}} = \frac{0 + m y_{0} + 0 + m y_{0}}{m + m + m + m} = \frac{2 m y_{0}}{4 m} = \frac{1}{2} y_{0} .

Zatem współrzędne punktu będącego środkiem masy tego układu to $(\frac{1}{2} x_{0}, \frac{1}{2} y_{0})$ . Jak widać jest to punkt leżący „pośrodku” tego układu, czyli w miejscu przecięcia się przekątnych tej figury.

Przykład 4 – środek masy układu czterech różnych kul w dwóch wymiarach

Oczywiście taka sytuacja jak w Przykładzie 3 ma miejsce, jeśli wszystkie części układu mają tę samą masę. Nie musi tak być; przyjrzyjmy się sytuacji, gdy czwarta kula będzie miała siedem razy większą masę od pozostałych kul:

x_{s} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + m_{3} x_{3} + m_{4} x_{4}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4}} = \frac{m_{} 0 + m_{} 0 + m x_{0} + 7 m x_{0}}{m + m + m + 7 m} = \frac{8 x_{0}}{10} = 0, 8 x_{0},

y_{s} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + m_{3} y_{3} + m_{4} y_{4}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4}} = \frac{m 0 + m y_{0} + m 0 + 7 m y_{0}}{m + m + m + 7 m} = \frac{8 y_{0}}{10} = 0, 8 y_{0} .

Zatem współrzędne środka masy tego układu to $[0, 8 x_{0}; 0, 8 y_{0}]$ , co przedstawiono na Rys. 6.:

R1cAjzYOmVOw2

Rys. 6. W układzie współrzędnych xy umieszczone są cztery kule. Kule znajdują się w wierzchołkach prostokąta, którego 2 boki leżą na osiach poziomej i pionowej. Pionowy bok prostokąta ma długość małe y z indeksem dolnym zero, poziomy bok prostokąta ma długość małe x z indeksem dolnym zero. Kula leżąca w początku układu współrzędnych ma masę oznaczoną literą małe m z indeksem dolnym 1. Kula leżąca w górnym, lewym wierzchołku prostokąta ma masę oznaczoną literą małe m z indeksem dolnym 2. Kula leżąca w dolnym, prawym wierzchołku prostokąta ma masę oznaczoną literą małe m z indeksem dolnym 3. Obok rysunku zapisano równanie: m z indeksem dolnym 1 równa się m z indeksem dolnym 2 równa się m z indeksem dolnym 3 równa się m. Kula leżąca w górnym, prawym wierzchołku prostokąta ma masę oznaczoną literą małe m z indeksem dolnym 4, która równa jest 4 razy m z indeksem dolnym 1. Na rysunku zaznaczono położenie środka masy, który ma współrzędne( 0,8 razy x z indeksem dolnym 0, 0,8 razy y z indeksem dolnym 0) i poprowadzono wektor położenia środka masy, zaczepiając jego początek w środku układu współrzędnych. — Rys. 6. Układ z czterema kulami, gdzie jedna ma siedmiokrotnie większą masę niż pozostałe, omawiany w Przykładzie 4
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

W powyższych przykładach używaliśmy punktowych mas, czyli takich, których rozmiar i kształt nie miał znaczenia w rozważanym przypadku. Jednakże możemy analogiczne rozumowanie poszukiwania środka masy przeprowadzić dla dowolnego przedmiotu – np. zastanowić się, gdzie leży środek masy kuli. Gdybyśmy podzielili tę kulę na bardzo dużo bardzo małych elementów i przeprowadzili analogiczne sumowanie, jak w przypadku wielu elementów, dojdziemy do oczekiwanego wniosku, że środek masy znajduje się w geometrycznym środku kuli. Uogólniając, możemy stwierdzić, że jeśli przedmiot wykonany jest z jednorodnego materiału, to jego środek masy znajduje się w jego środku geometrycznym, jak na Rys. 7.:

R1LFNM7wUhmvU

Rys. 7. Na rysunku przedstawiono pięć regularnych figur, w których środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym. Są to: kwadrat, prostokąt, koło, romb i sześciokąt pokazane w kolorze niebieskim. Środek masy zaznaczono pomarańczową kropką. — Rys. 7. Położenie środka masy w przypadku wybranych figur geometrycznych
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Ciało o bardziej skomplikowanym kształcie możemy podzielić na kilka mniejszych, o prostszych kształtach, wyznaczyć dla każdego z nich jego środek masy, a następnie zgodnie z podanymi na początku wzorami znaleźć środek masy takiego układu.

Przykład 5 – środek masy układu brył

Mamy trzy deski o długościach $l$ = 1 m i grubości $h$ = 5 cm i szerokości $d$ = 10 cm wykonane z różnego rodzaju drewna, ustawione jak na Rys. 8. Dwie ustawione pionowo są wykonane z sosny (gęstość $ρ_{s} = 700 \frac{k g}{m^{3}}$ ), a deska ustawiona poziomo z dębu ( $ρ_{d} = 1080 \frac{k g}{m^{3}}$ ). Chcemy wyznaczyć środek masy tego układu ciał. Rozwiązanie tego problemu będzie składało się z trzech etapów.

Najpierw obliczymy masę każdego z elementów, wiedząc, że masa to iloczyn gęstości i objętości,

m_{1} = m_{3} = V ρ_{s} = l h d ρ_{s} = 1 m \cdot 0, 05 m \cdot 0, 1 m \cdot 700 \frac{k g}{m^{3}} = 3, 5 k g

m_{2} = V ρ_{d} = l h d ρ_{d} = 1 m \cdot 0, 05 m \cdot 0, 1 m \cdot 1080 \frac{k g}{m^{3}} = 5, 4 k g

W drugim etapie geometrycznie ustalimy położenie środka masy każdej z tych desek, sprowadzając cały układ do prostszego, jak na Rys. 8.:

R6usmZDEKDU7d

Rys. 8. Rysunek przedstawia trzy deski ustawione w jednej płaszczyźnie, które znajdują się w układzie współrzędnych xy. Na dole znajduje się brązowa deska ustawiona poziomo tak, że jej lewy dolny wierzchołek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. Przybito do niej beżową deskę pionową, której lewy brzeg opiera się o pionową oś, a dolna krótsza krawędź leży na osi poziomej. Do prawego końca poziomej deski przybito pionowo drugą beżową deskę tak, że prawe krawędzie poziomej i pionowej deski leżą na jednej linii pionowej. Na prawo od tego rysunku znajduje się taki sam rysunek, na którym dodano przekątne każdej z desek. Na przecięciu przekątnych zaznaczono czarne punkty, które są środkami masy każdej deski. Środki mas pionowych, beżowych desek leżą na jednym poziomie i zaznaczone są małymi punktami. Środek masy brązowej, poziomej deski zaznaczono dużym czarnym punktem, co symbolizuje dużą masę tej deski. Trzeci rysunek znajdujący się na prawo od drugiego rysunku zawiera tylko układ współrzędnych xy, na którym zaznaczono 3 punkty oznaczające środki mas trzech desek. — Rys. 8. Układ trzech desek opisany w Przykładzie 5.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Pozostaje obliczyć $x_{s}$ i $y_{s}$ , wiedząc, że środek masy każdej z desek znajduje się na przecięciu jej przekątnych, czyli w połowie jej długości i szerokości:

$\displaystyle x_s=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m_1\frac{d}{2}+m_2\frac{l}{2}+m_1\left(l-\frac{d}{2}\right)}{m_1+m_2+m_3}=\frac{\left(m_1+\frac{m_2}{2}\right)l}{2m_1+m_2} =$

$\displaystyle =\frac{\left(3,5 \,\text{kg}+\frac{1}{2}\cdot 5,4 \,\text{kg}\right)1 \,\text{m}}{2\cdot3,5 \,\text{kg}+5,4 \,\text{kg}}=\frac{6,2 \,\text{kg}\cdot\,\text{m}}{12,4 \,\text{kg}}=0,50 \,\text{m}=50 \,\text{cm}\ .$

$\displaystyle y_s=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m_1\frac{l}{2}+m_2\frac{d}{2}+m_1\frac{l}{2}}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m_1l+m_2\frac{d}{2}}{2m_1+m_2}=$

$\displaystyle \frac{3,5 \,\text{kg}\cdot1 \,\text{m}+5,4 \,\text{kg}\cdot\frac{1}{2}\cdot 0,1 \,\text{m}{2}}{2\cdot3,5 \,\text{kg}+5,4 \,\text{kg}}=\frac{3,77 \,\text{kg}\cdot\,\text{m}}{12,4 \,\text{kg}}\approx 0,304 \,\text{m}=30,4 \,\text{cm}$

Podsumowując, $(x_{s}, y_{s}) = (50 c m; 30, 4 c m)$

RxzJgEgJUvG47

Rys. 9. Rysunek przedstawia trzy deski ustawione w jednej płaszczyźnie, które znajdują się w układzie współrzędnych xy. Na dole znajduje się brązowa deska ustawiona poziomo tak, że jej lewy dolny wierzchołek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. Przybito do niej beżową deskę pionową, której lewy brzeg opiera się o pionową oś, a dolna krótsza krawędź leży na osi poziomej. Do prawego końca poziomej deski przybito pionowo drugą beżową deskę tak, że prawe krawędzie poziomej i pionowej deski leżą na jednej linii pionowej. Na każdej z desek narysowano przekątne. Na przecięciu przekątnych zaznaczono czarne punkty, które są środkami masy każdej deski. Środki mas pionowych, beżowych desek leżą na jednym poziomie i zaznaczone są małymi punktami. Środek masy brązowej, poziomej deski zaznaczono dużym czarnym punktem, co symbolizuje dużą masę tej deski. Czerwonym punktem, znajdującym się poza deskami, w przestrzeni pomiędzy nimi, zaznaczono środek masy całego układu desek. Leży on nad dolną, poziomą deską, dokładnie nad środkiem masy tej deski i poniżej poziomu środków mas pionowych desek. — Rys. 9. Położenie środka masy całego układu zaznaczono na czerwono, a środków mas poszczególnych desek na czarno
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przyjrzyjmy się temu wynikowi – jest on zgodny z analizą symetrii rozkładu masy w tym układzie. W przypadku osi poziomej ciężar jest rozłożony symetrycznie względem pionowej przerywanej linii – mamy identyczną deskę z prawej i lewej strony, stąd środek masy znajduje się właśnie pośrodku, na tej osi. W przypadku osi Y nie ma deski „górnej”, co sprawia, że środek masy jest przesunięty w dół, w stronę dolnej deski. Ponieważ wymiary desek są identyczne, a dolna wykonana jest z gęstszego drewna, jest masywniejsza, więc środek masy jest bliżej jej krawędzi niż byłby, gdyby wszystkie trzy deski wykonane były z tego samego drewna (co możesz sprawdzić własnymi obliczeniami).

Jeśli ciało jest niejednorodne, czyli o zmiennej gęstości, postępujemy analogicznie – trzeba je podzielić na tak małe elementy, aby ich gęstość była w dobrym przybliżeniu stała, a następnie przeprowadzić sumowanie.

Weźmy przykład akwarium z wodą, do którego wsypano dużą ilość soli, bez mieszania, jak na Rys. 10. Dolna warstwa będzie warstwą roztworu nasyconego soli, o dużej gęstości, a górna będzie wodą słodką, o mniejszej gęstości. Taki układ podzielimy na dwie części, obliczając środek masy każdego z nich oddzielnie, jak na Rys. 11.:

RWLkSViW4NPU3

Rys. 10. Na rysunku znajduje się przekrój pionowy przez szklankę, na której dnie widać warstwę ciemnoniebieskiej cieczy podpisanej: słona woda. Nad tą warstwą jest jasnoniebieska warstwa cieczy podpisanej: słodka woda. — Rys. 10. Zbiornik ze słoną i słodką wodą
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1GGAiXJPlGcJ

Rys. 10. Rysunek przedstawia wszystkie elementy rysunku dziesiątego, ale dodano przekątne warstwy wody słonej i warstwy wody słodkiej. Na przecięciu przekątnych zaznaczono czarne punkty, będące środkami masy każdej warstwy wody. — Rys. 11. Położenie środka masy każdej z części składowych układu
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Położenie środka masy możemy wyznaczyć również eksperymentalnie w bardzo prosty sposób – jeśli mamy w ręku np. deskę czy cegłę, możemy zmieniać punkt podparcia, szukając wzdłuż różnych osi miejsca, w którym podparte ciało zachowuje równowagę. Punkt podparcia, oś i środek masy wyznaczają płaszczyznę. Przecięcie trzech różnych takich płaszczyzn wyznaczy nam środek masy przedmiotu.

Możemy również wprawić ciało w ruch obrotowy (np. rzucić nim tak, żeby się obracało w locie wokół którejś osi) i obserwować wokół jakiej osi będzie wirowało – będzie to oś przechodząca przez środek masy. Inną prostą metodą jest zawieszenie ciała na sznurku – niezależnie, w którym punkcie zostanie ono zaczepione, zawsze ustawi się tak, że środek masy będzie wypadał na osi wyznaczonej przez nitkę, jak pokazuje Rys. 12.:

R1Ui5FohMbGzK

Rys. 12. Na rysunku pokazano dwa banany zawieszone na sznurku. Z lewej strony wiszący banan ustawił się w pozycji poziomej. Na przedłużeniu sznurka w środku banana zaczepiono wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół. Z prawej strony wiszący banan ustawił się w pozycji pionowej. Na przedłużeniu sznurka w punkcie pośrodku banana zaczepiono wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół. — Rys. 12. Schemat eksperymentu pozwalającego ustalić położenie środka masy obiektu o złożonym kształcie
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Powtarzając to doświadczenie dla trzech różnych punktów zaczepienia, ustalimy, gdzie znajduje się środek masy – będzie to punkt, w którym przecinają się te osie.

Słowniczek

Punkt materialny

bezwymiarowy obiekt obdarzony masą.

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Warto przeczytać

Słowniczek