Przeczytaj

Zaczniemy od definicji punktów współliniowych.

punkty współliniowe

Definicja: punkty współliniowe

Punkty nazywamy współliniowymi wtedy i tylko wtedy, gdy leżą na jednej prostej.

Oczywiście dowolne dwa różne punkty są współliniowe, bo przez każde dwa punkty można przeprowadzić prostą (i to dokładnie jedną). Szczególnie uwagę zwrócimy na współliniowość trzech różnych punktów.

Przykład 1

RG6kDNmyyrPrA

Ilustracja przedstawia kratkę. Zaznaczono na niej punkty A, B oraz C. Przez punkty A oraz B poprowadzono prostą. Punkt C leży nad prostą. — Punkty A, B i C nie są współliniowe.

RlRuX5odg1zT0

Ilustracja przedstawia kratkę. Zaznaczono na niej punkty X, Y oraz Z. Poprowadzono prostą przechodzącą przez wszystkie trzy punkty. — Punkty X, Y, Z są współliniowe.

Warunek współliniowości punktów na płaszczyźnie bez układu współrzędnych

Z geometrii elementarnej znany jest warunek istnienia trójkąta: z odcinków $A B$ , $B C$ i $A C$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości każdych dwóch z tych odcinków jest większa od długości trzeciego. Czyniąc z powyższego punkt wyjścia można zauważyć, że jeśli suma długości pewnych dwóch spośród odcinków $A B$ , $B C$ i $A C$ jest równa długości trzeciego, to punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na jednej prostej. I na odwrót: jeśli punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na jednej prostej, to suma długości pewnych dwóch spośród odcinków $A B$ , $B C$ , $A C$ jest równa długości trzeciego z nich.

R4iRJMTuq9XNp1

Ilustracja przedstawia trzy ukośne proste narysowane obok siebie. Pierwsza prosta. Zaznaczono na niej kolejno punkty A, C oraz B. Zapisano również informację: AB = AC + CB. Druga prosta. Zaznaczono na niej kolejno punkty A, B oraz C. Podano również informację, że: AC = AB + BC, wtedy i tylko wtedy AB = AC - BC. Trzecia prosta. Zaznaczono na niej kolejno punkty B, A oraz C. Zapisano informację: BC = AB + AC, wtedy i tylko wtedy AB = BC - AC. Do obrazka drugiego oraz trzeciego podano dodatkową informację, że: AB = AC - BC.

Wynika stąd kryterium współliniowości punktówwspółliniowość punktówwspółliniowości punktów

Ważne!

Punkty $A$ , $B$ , $C$ są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dwóch spośród odcinków $A B$ , $B C$ , $A C$ jest równa długości trzeciego z nich.
Jeżeli nie znamy porządku punktów $A$ , $B$ , $C$ na osi liczbowej, to kryterium współliniowości możemy sformułować w następujący sposób: punkty $A$ , $B$ , $C$ są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy $|A B| = |A C| + |C B|$ lub $|A B| = ||A C| - |B C||$ .

Przykład 2

Dane są długości odcinków $|A B| = 7$ , $|B C| = m$ , $|A C| = 3$ . Wyznaczymy wartość parametru $m$ tak, aby punkty $A$ , $B$ , $C$ były współliniowe.

Zauważmy najpierw, że $m > 0$ , ponieważ $m$ jest długością odcinka $|B C|$ . Z kryterium współliniowości punktów wynika, że $A$ , $B$ , $C$ będą współliniowe dokładnie wtedy, gdy $|A B| = |A C| + |C B|$ lub $|A B| = ||A C| - |B C||$ .

Zatem otrzymujemy równania:
$7 = m + 3$ lub $7 = |3 - m|$
$m = 4$ lub $7 = 3 - m$ lub $7 = m - 3$
$m = 4$ lub $m = - 4$ lub $m = 10$

Jak już zauważyliśmy, $m$ jest liczbą dodatnią, więc warunki zadania spełniają liczby $m \in \{4; 10\}$ . Ponadto możemy stwierdzić, że dla $m = 4$ punkt $C$ leży pomiędzy punktami $A$ i $B$ , zaś dla $m = 10$ punkt $A$ leży pomiędzy punktami $B$ i $C$ .

Warunek współliniowości punktów umieszczonych w układzie współrzędnych

Korzystając z rachunku wektorowego (zobacz lekcje dotyczące wektorów) wyprowadzimy teraz warunek współliniowości punktówwarunek współliniowości punktówwarunek współliniowości punktów w zależności od ich współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych.

Niech dane będą różne punkty:

$A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B}), C = (x_{C}; y_{C})$ .

Zauważmy, że są one współliniowe dokładnie wtedy, gdy wektory $\vec{A B}$ i $\vec{A C}$ równoległe.

R13smOxgl3yI7

Ilustracja przedstawia dwie proste obok siebie. Pierwsza prosta. Zaznaczono na niej kolejno punkty od lewej: C, A, B. Na prostej zaznaczono dwa wektory: AB→ oraz AC→. Druga prosta. Zaznaczono na niej kolejno punkty od lewej: A, B, C. Zaznaczono wzdłuż prostej dwa wektory: AB→ oraz BC→.

Wyznaczmy najpierw współrzędne wektorów $\vec{A B}$ i $\vec{A C}$ w zależności od współrzędnych punktów $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B}), C = (x_{C}; y_{C})$
$\vec{A B} = [x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}]$
$\vec{A C} = [x_{C} - x_{A}; y_{C} - y_{A}]$

Możemy teraz skorzystać z kryterium równoległości wektorów (zobacz: lekcja o takim temacie):

$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) = 0$

$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A})$

Stąd wniosek:

Ważne!

Punkty są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne spełniają warunek $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B}), C = (x_{C}; y_{C})$
$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A})$

Przykład 3

Zbadamy, czy punkty $A, B, C$ są współliniowe, gdy

a) $A = (- 5; - 3)$ , $B = (0; - 1)$ , $C = (10; 3)$ ;

b) $A = (- 5; 2)$ , $B = (2; - 1)$ , $C = (9; - 5)$

Zbadamy, czy między współrzędnymi zachodzi związek.

$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A})$
$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (0 - (- 5)) (3 - (- 3)) = 5 \cdot 6 = 30$
$(y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) = (- 1 - (- 3)) (10 - (- 5)) = 2 \cdot 15 = 30$
Zatem punkty $A = (- 5; - 3)$ , $B = (0; - 1)$ , $C = (10; 3)$ są współliniowe.

Ponownie zbadamy, czy między współrzędnymi zachodzi związek.

$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A})$
$(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) = (2 - (- 5)) (- 5 - 2) = 7 \cdot (- 7) = - 49$
$(y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) = (- 1 - 2) (9 - (- 5)) = - 3 \cdot 14 = - 42$

Zatem punkty $A = (- 5; 2)$ , $B = (2; - 1)$ , $C = (9; - 5)$ nie są współliniowe.

Słownik

współliniowość punktów

mówimy, że punkty są współliniowe, gdy istnieje prosta przechodząca przez te punkty

warunek współliniowości punktów

trzy różne punkty $A$ , $B$ , $C$ są współliniowe dokładnie wtedy, gdy $|A B| = |A C| + |B C|$ lub $|A B| = ||A C| - |B C||$

Wprowadzenie

Animacja

Warunek współliniowości punktów na płaszczyźnie bez układu współrzędnych

Warunek współliniowości punktów umieszczonych w układzie współrzędnych

Słownik