Warto przeczytać

Prawo załamania fali

Spróbujmy wyprowadzić wzór opisujący załamanie fali. Rys. 1. przedstawia załamanie fali na granicy dwóch ośrodków. Oznaczmy na nim dwa ważne kąty:

• $\alpha$: kąt pomiędzy kierunkiem poruszania się fali padającej a prostą prostopadłą do granicy ośrodków (tzw. normalnąNormalnanormalną), będziemy go nazywać kątem padania,

• $\beta$: kąt pomiędzy kierunkiem poruszania się fali załamanej a normalną, będziemy go nazywać kątem załamania.

Dodatkowo zaznaczmy na nim długości fal: padającej (większą) i załamanej (mniejszą).

RIwdmEmmZ2GiW

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono prostokąt podzielony na dwie równe części poziomą linią. Linia ta oznacza granicę dwóch ośrodków. Narysowana jest też linia pionowa, prostopadła do granicy ośrodków, nazywamy ją normalną. Fala padająca biegnie w górnej połowie prostokąta w kierunku w prawo i w dół. Kierunek fali padającej zaznaczony jest strzałką, która kończy się w punkcie przecięcia linii poziomej, czyli granicy ośrodków i pionowej linii normalnej. Między kierunkiem fali padającej i normalną zaznaczony jest kąt padania alfa. Górną połowę prostokąta wypełniają równoległe pasy na przemian jasne i ciemne. Pasy są prostopadłe do kierunku fali padającej. Te pasy przedstawiają grzbiety fali, czyli punkty wychylone do góry i doliny fali, czyli punkty wychylone w dół. Między dwoma sąsiednimi grzbietami fali padającej zaznaczona jest długość fali padającej lambda jeden. Fala załamana biegnie w dolnej połowie prostokąta w kierunku w prawo i w dół. Kierunek fali padającej zaznaczony jest strzałką, która zaczyna się w punkcie przecięcia linii poziomej, czyli granicy ośrodków i pionowej linii normalnej. Między kierunkiem fali załamanej i normalną zaznaczony jest kąt załamania beta. Kąt beta jest mniejszy niż kąt alfa. Dolną połowę prostokąta wypełniają równoległe pasy na przemian jasne i ciemne. Pasy są prostopadłe do kierunku fali załamanej. Te pasy przedstawiają grzbiety i doliny fali. Między dwoma sąsiednimi grzbietami fali załamanej zaznaczona jest długość fali załamanej lambda dwa. Długość fali załamanej lambda dwa jest mniejsza niż długość fali padającej lambda jeden.

Rys. 2. przedstawia powiększony fragment Rys. 1. Jako $L$ została na nim oznaczona odległość pomiędzy sąsiednimi grzbietami fal, liczona wzdłuż granicy ośrodków.

R1MqTJFwD7C4n

Rys. 2. Na rysunku przedstawiono linię poziomą, oznaczającą granicę dwóch ośrodków. Na linii zaznaczono odcinek L, którego końce leżą na sąsiednich grzbietach fali. Na tym odcinku zbudowano trójkąt prostokątny leżący powyżej linii poziomej. Odcinek L jest przeciwprostokątną. Dłuższa z przyprostokątnych leży wzdłuż grzbietu fali padającej. Krótsza przyprostokątna ma kierunek zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali padającej. Przy krótszej przyprostokątnej zaznaczona jest jej długość lambda jeden. Z punktu połączenia krótszej przyprostokątnej z przeciwprostokątną wychodzi linia pionowa, czyli normalna. Między krótszą przyprostokątną i normalną zaznaczony jest kąt padania alfa. Przeciwległy kąt trójkąta, między przeciwprostokątną i dłuższą przyprostokątną jest również zaznaczony jako alfa. Poniżej linii poziomej również zbudowano trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna to odcinek L. Dłuższa z przyprostokątnych leży wzdłuż grzbietu fali załamanej. Dłuższe przyprostokątne obu trójkątów, leżących pod i nad linią poziomą leżą naprzeciwko siebie. Trójkąty razem tworzą czworobok. Krótsza przyprostokątna ma kierunek zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali załamanej. Przy krótszej przyprostokątnej zaznaczona jest jej długość lambda dwa. Długość fali załamanej lambda dwa jest mniejsza niż długość fali padającej lambda jeden. Z punktu połączenia krótszej przyprostokątnej z przeciwprostokątną wychodzi linia pionowa, czyli normalna. Między krótszą przyprostokątną i normalną zaznaczony jest kąt załamania beta. Przeciwległy kąt trójkąta, między przeciwprostokątną i dłuższą przyprostokątną jest również zaznaczony jako beta.

Na tym rysunku możemy skonstruować dwa trójkąty prostokątne, złożone z odcinka $L$, zaznaczonych długości fal ${\lambda }_1$ oraz ${\lambda }_2$ oraz odcinków położonych na szczytach fal (niebieskie odcinki). W tych trójkątach możemy (wykorzystując fakt, że w trójkącie suma kątów wynosi 180 stopni) odnaleźć kąty $\alpha$ i $\beta$.

Wartości sinusów tych kątów wynoszą:

Dzieląc te sinusy przez siebie dostajemy:

Wzór ten możemy jeszcze przekształcić, korzystając z zależności łączącej prędkość rozchodzenia się fali $v$ z długością fali $\lambda$: $\lambda =vT$, $T$ jest okresem fali.

Literą $n$ został oznaczony stosunek prędkości fali w dwóch ośrodkach, który nazywamy współczynnikiem załamania dla tych dwóch ośrodków. Zazwyczaj tę zależność zapisujemy w postaci

Stosunek sinusa kąta padaniaKąt padaniakąta padania do sinusa kąta załamania równy jest stosunkowi prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku pierwszym do prędkości rozchodzenia się w ośrodku drugim. Zależność tę nazywamy prawem załamania lub prawem Snelliusa.

Nasze rozważania rozpoczęliśmy od przeanalizowania sytuacji, gdy fala przechodzi z ośrodka o większej prędkości rozchodzenia się do ośrodka o mniejszej prędkości. Przy takim przejściu kąt załamania okazał się mniejszy od kąta padaniaKąt padaniakąta padania. W sytuacji odwrotnej, przy przejściu z ośrodka o mniejszej prędkości rozchodzenia się fali do ośrodka o większej prędkości, kąt załamania jest większy od kąta padania, co można zaobserwować na Rys. 3.

R1D3bsKVPCbwe

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono prostokąt podzielony na dwie równe części poziomą linią. Linia ta oznacza granicę dwóch ośrodków. Narysowano też linię pionową, prostopadłą do granicy ośrodków, zwaną normalną. Fala padająca biegnie w górnej połowie prostokąta w kierunku w prawo i w dół. Kierunek fali padającej zaznaczony jest strzałką, która kończy się w punkcie przecięcia linii poziomej, czyli granicy ośrodków i pionowej linii normalnej. Między kierunkiem fali padającej i normalną zaznaczony jest kąt padania alfa. Górną połowę prostokąta wypełniają równoległe pasy na przemian jasne i ciemne. Pasy są prostopadłe do kierunku fali padającej. Pasy przedstawiają grzbiety i doliny fali. Między dwoma sąsiednimi grzbietami fali padającej zaznaczona jest długość fali padającej lambda jeden. Fala załamana biegnie w dolnej połowie prostokąta w kierunku w prawo i w dół. Kierunek fali padającej zaznaczony jest strzałką, która zaczyna się w punkcie przecięcia linii poziomej, czyli granicy ośrodków i pionowej linii normalnej. Między kierunkiem fali załamanej i normalną zaznaczony jest kąt załamania beta. Kąt beta jest większy niż kąt alfa. Dolną połowę prostokąta wypełniają równoległe pasy na przemian jasne i ciemne. Pasy są prostopadłe do kierunku fali załamanej. Pasy przedstawiają grzbiety i doliny fali. Między dwoma sąsiednimi grzbietami fali załamanej zaznaczona jest długość fali lambda dwa. Długość fali załamanej lambda dwa jest większa niż długość fali padającej lambda jeden.

Słowniczek