Warto przeczytać

Pole centralne to pole, którego linie leżą na prostych, mających dokładnie jeden wspólny punkt - centrum pola (Rys. 1.). Oznacza to, że pole centralne nie zmienia się przy obrocie źródła o dowolny kąt.

RaaGysMwVB9xQ
Rys. 1. Linie pola centralnego.

Przykładem pola centralnego w elektrostatyce jest pole elektryczne wytworzone przez ładunek punktowy. Ładunek jest źródłem pola. W tym punkcie linie pola mają swój początek (w przypadku ładunku dodatniego) lub koniec (w przypadku ładunku ujemnego). Linie rozchodzą się we wszystkie strony, a więc ich gęstość maleje wraz z odległością od ładunku.

Natężenie pola elektrycznego od ładunku punktowego q opisane jest równaniem:

E=qε014πr2rr

Omówmy tę zależność, zaczynając od końca, czyli od rr. Wektor r to położenie punktu, w którym szukamy natężenia pola elektrycznego, względem ładunku punktowego (Rys. 2.). Jeśli wektor ten podzielimy przez jego długość r, otrzymamy wektor jednostkowy, czyli wektor o długości 1 (tzw. wersorwersorwersor). Zatem czynnik rr odpowiada wyłącznie za kierunek pola elektrycznego i decyduje o jego centralności. Charakter tego pola nie zmienia się, jeśli ładunek zostanie obrócony. Ten rodzaj symetrii nazywamy symetrią sferyczną lub kulistą.

RRC8fXi8sRIbs
Rys. 2. Wektory natężeń pola elektrostatycznego pochodzące od dodatniego i ujemnego ładunku punktowego.

Kolejny czynnik to 14πr2, czyli odwrotność pola powierzchni kuli o promieniu r. Natężenie pola reprezentowane jest przez gęstość linii pola. Ponieważ w rozważanym przykładzie jest tylko jedno źródło pola, gęstość linii pola maleje wraz z odległością od ładunku. Oznacza to, że jeżeli wyobrazimy sobie sferę o dowolnym promieniu otaczającą rozważany ładunek punktowy, to zawsze jej powierzchnię przecinać będzie ta sama liczba linii pola. Zatem natężenie pola centralnego maleje wraz z powierzchnią sfery otaczającej ładunek (Rys. 3.).

R1S4p8wkJ8ukY
Rys. 3. Natężenie pola elektrycznego w punktach na powierzchni sfer o polach powierzchni S1 i S2.

By wyjaśnić kolejną interesującą cechę pól centralnych, rozważmy układ dwóch identycznych ładunków punktowych (Rys. 4.). Zastanówmy się, jak będzie wyglądał wektor natężenia pola elektrycznego E w punkcie leżącym w identycznej odległości od obu ładunków. Ładunki wytwarzają pole centralne, więc wektory E1E2 będą leżeć na prostych łączących odpowiadające im źródła z rozważanym punktem. Jednocześnie będą miały tę samą długość. Aby wyznaczyć wektor natężenia wypadkowego pola elektrycznego od obu ładunków, możemy posłużyć się graficzną metodą dodawania wektorów. W metodzie tej, wektor będący sumą wektorów E1E2 leży na przekątnej równoległoboku wychodzącego z wierzchołka, gdzie wektory te zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się w nowoutworzonym wierzchołku równoległoboku. Zatem wypadkowe natężenie będzie prostopadłe do prostej łączącej ładunki.

R1MfUbhRLJ56T
Rys. 4. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego układu dwóch jednakowych ładunków (q1=q2)

Powyższe rozumowanie można uogólnić na układ (nieskończenie) wielu ładunków punktowych. Jeśli rozważymy ładunki punktowe rozłożone gęsto na prostej (Rys. 5.), wypadkowe pole elektryczne w dowolnym punkcie bliskim tej prostej będzie do niej prostej, a więc będzie miało symetrię walcową (cylindryczną). Jeśli rozważymy ładunki punktowe gęsto rozłożone na płaszczyźnie, wypadkowe pole będzie w dowolnym punkcie prostopadłe do tej płaszczyzny. Dodatkowo będzie ono polem jednorodnympole jednorodnepolem jednorodnym.

REuSZmqnpAfDo
Rys. 5. Ładunki punktowe ułożone gęsto na odcinku utworzą linie pola, które w obszarze zaznaczonym czerwonym prostokątem będą prawie równoległe. Gdy rozłożymy nieskończoną liczbę ładunków wzdłuż prostej, uzyskamy - po zrzutowaniu na płaszczyznę, w której leży prosta - doskonale równoległe linie pola.

Wniosek jest więc następujący: każde pole elektrostatyczne można przedstawić jako superpozycję (czyli sumę, wypadkową) wielu pól centralnych.

Zasada superpozycji
Zasada superpozycji

Jeśli w przestrzeni znajduje się wiele ładunków, wówczas natężenie pola elektrostatycznego w dowolnym punkcie jest równe sumie wektorowej natężeń pochodzących od poszczególnych ładunków.

Podsumowując: pole centralne ma następujące własności:

  • symetria sferyczna (kulista) - pole nie zmieni się, jeśli jego źródło obrócimy o dowolny kąt.

  • wartość natężenia pola w danej odległości od źródła jest stała,

  • dowolne pole elektrostatyczne jest superpozycją pól centralnych.

Innym przykładem pola centralnego, poza polem wokół ładunku punktowego, jest pole od odpowiednio naładowanej powierzchniowo lub objętościowo kuli. Aby pole było centralne, gęstość ładunku (powierzchniowa bądź objętościowa) musi mieć symetrię sferyczną - w przypadku kuli może zależeć tylko od odległości od jej środka, a przypadku sfery - musi być wielkością stałą.

Słowniczek

pole jednorodne
pole jednorodne

(ang. uniform field) – pole, którego natężenie nie zależy od położenia, czyli jest takie samo w każdym punkcie przestrzeni. Przykładem pola jednorodnego jest pole elektryczne wewnątrz płaskiego kondensatora.

wersor
wersor

(ang. unit vector) – wektor jednostkowy, czyli wektor o stałej długości równej 1. Wersor wskazuje jedynie kierunek i zwrot. Dowolny wektor możemy zapisać jako iloczyn wielkości skalarnej, opisującej jego długość, i pewnego wersora.