Na lekcji nauczymy się rozwiązywać nierówności typu: , , , , gdzie jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu . Przypomnijmy stosowne twierdzenie:
o rozwiązywaniu równania
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania
Algorytm szukania rozwiązań równania :
znajdujemy jedno rozwiązanie takie, że ,
zapisujemy wszystkie rozwiązania równania : , gdzie .
Pokażemy, jak rozwiązać nierówność .
Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale . Taki przedział wybieramy, gdyż okresem zasadniczym funkcji tangens jest , a wybrany przedział ma długość .
R1CbUyu9ddfEV
Spójrzmy na powyższy rysunek.
Skoro chcemy rozwiązać nierówność , będziemy badać, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartości większe od wartości funkcji .
Zaznaczmy na niebiesko ten fragment wykresu funkcji , który leży powyżej prostej .
Zauważmy, że prosta przecina wykres funkcji tangens dokładnie w jednym punkcie (funkcja tangens w przedziale jest różnowartościowa i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych), którego pierwsza współrzędna to - jest to rozwiązanie równaniarozwiązanie równania rozwiązanie równania w przedziale .
Zatem w przedziale funkcja przyjmuje wartości większe od wartości funkcji dla argumentów .
Wykorzystując okresowość funkcji tangens, podajemy rozwiązanie nierówności w całej dziedzinie: jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Przykład 1
Rozwiążemy nierówność: .
Rozwiązanie
Najpierw w przedziale wskazujemy rozwiązanie równania : jest nim .
Stąd, rozwiązaniem nierówności w przedziale jest zbiór: .
Rz1qWYaojswOZ
Po uwzględnieniu całej dziedziny otrzymujemy rozwiązanie, czyli sumę przedziałów , gdzie .
Przykład 2
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Spójrzmy na poniższy wykres. Odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale : jest to zbiór .
RIfsZpNOilP8T
Korzystając z przykładu poprzedniego otrzymujemy rozwiązanie, którym jest suma przedziałów , gdzie .
Pokażemy teraz, jak rozwiązać nierówność .
Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale . Taki przedział wybieramy, gdyż okresem zasadniczym funkcji tangens jest , a wybrany przedział ma długość .
RWvdTCKFXoxGQ
Spójrzmy na rysunek.
Skoro chcemy rozwiązać nierówność , będziemy badać, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji .
Zaznaczmy na niebiesko ten fragment wykresu funkcji , który leży poniżej prostej .
Zauważmy, że prosta przecina wykres funkcji tangens dokładnie w jednym punkcie (funkcja tangens w przedziale jest różnowartościowa i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych), którego pierwsza współrzędna to - jest to rozwiązania równania w przedziale .
Zatem w przedziale funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji dla argumentów .
Wykorzystując okresowość funkcji tangens, podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Przykład 3
Rozwiążemy nierówność: .
Rozwiązanie
Najpierw w przedziale podajemy rozwiązanie równania : jest to .
Korzystając z poniższego wykresu, otrzymujemy rozwiązanie nierówności w przedziale, którym jest zbiór .
R1PPEszCuC7Tf
Stąd też, po uwzględnieniu całej dziedziny otrzymujemy rozwiązanie nierówności , którym jest suma przedziałów w postaci , gdzie .
Przykład 4
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie
Spójrzmy na poniższy wykres. Odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale : jest to zbiór .
RPs0I7NpWoJv9
Korzystając z przykładu poprzedniego, otrzymujemy rozwiązanie, którym jest suma przedziałów w postaci , gdzie .
Słownik
rozwiązanie równania
rozwiązanie równania
jeżeli dla spełniony jest warunek , to wszystkie rozwiązania równania są postaci: , gdzie