Na lekcji nauczymy się rozwiązywać nierówności typu: $\mathrm{tg}x>a$, $\mathrm{tg}x<a$, $\mathrm{tg}x\le a$, $\mathrm{tg}x\ge a$, gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu $\mathrm{tg}x=a$. Przypomnijmy stosowne twierdzenie:

Pokażemy, jak rozwiązać nierówność $\mathrm{tg}x>a$.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$. Taki przedział wybieramy, gdyż okresem zasadniczym funkcji tangens jest $T=\pi$, a wybrany przedział ma długość $\pi$.

R1CbUyu9ddfEV

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pi do pi oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$ na dziedzinie $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy niezamalowane punkty. Punkt o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{2};0\right)$, punkt o współrzędnych $\left(x_0;0\right)$, przy czym $x_0$ jest mniejsze od liczby $\frac{\pi }{2}$. Punkty te połączone są linią i tworzą odcinek obustronnie otwarty. Na płaszczyźnie narysowano również poziomą prostą opisaną wzorem $y=a$, przy czym $a$ jest liczbą mniejszą od $1$. Trzecim wyróżnionym punktem jest punkt przecięcia prostej z wykresem funkcji tangens. Fragment wykresu funkcji tangens od punktu przecięcia z prostą do plus nieskończoności jest pogrubiony.

Spójrzmy na powyższy rysunek.

Skoro chcemy rozwiązać nierówność $\mathrm{tg}x>a$, będziemy badać, w jakich przedziałach funkcja $y=\mathrm{tg}x$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $y=a$.

Zaznaczmy na niebiesko ten fragment wykresu funkcji $y=\mathrm{tg}x$, który leży powyżej prostej $y=a$.

Zauważmy, że prosta $y=a$ przecina wykres funkcji tangens dokładnie w jednym punkcie (funkcja tangens w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$ jest różnowartościowa i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych), którego pierwsza współrzędna to $x_0$ - jest to rozwiązanie równaniarozwiązanie równania $\mathrm{tg}x=a$rozwiązanie równania $\mathrm{tg}x=a$ w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$.

Zatem w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$ funkcja $y=\mathrm{tg}x$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $y=a$ dla argumentów $x\in \left(x_0; \frac{\pi }{2}\right)$.

Wykorzystując okresowość funkcji tangens, podajemy rozwiązanie nierówności $\mathrm{tg}x>a$ w całej dziedzinie: jest to suma wszystkich przedziałów $\left(x_0+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność: $\mathrm{tg}x>\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiązanie

Najpierw w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$ wskazujemy rozwiązanie równania $\mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$: jest nim $x_0=\frac{\pi }{6}$.

Stąd, rozwiązaniem nierówności w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$ jest zbiór: $\left(\frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{2}\right)$.

Rz1qWYaojswOZ

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pi do pi oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$ na dziedzinie $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy niezamalowane punkty. Punkt o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{2};0\right)$, punkt o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{6};0\right)$. Punkty te połączone są linią i tworzą odcinek obustronnie otwarty. Na płaszczyźnie narysowano również poziomą prostą opisaną wzorem $y=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Trzecim wyróżnionym punktem punkt przecięcia prostej z wykresem funkcji tangens. Punkt przecięcia ma współrzędne $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Punkt o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{6};0\right)$ jest połączony z punktem przecięcia pionową linią przerywaną. Fragment wykresu funkcji tangens od punktu przecięcia z prostą do plus nieskończoności jest pogrubiony.

Po uwzględnieniu całej dziedziny otrzymujemy rozwiązanie, czyli sumę przedziałów $\left(\frac{\pi }{6}+k\pi ; \frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność $\mathrm{tg}x\ge \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Rozwiązanie

Spójrzmy na poniższy wykres. Odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$: jest to zbiór $⟨\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})$.

RIfsZpNOilP8T

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pi do pi oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$ na dziedzinie $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy punkty, niezamalowany punkt o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{2};0\right)$, zamalowany punkt o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{6};0\right)$. Punkty te połączone są linią i tworzą odcinek prawostronnie otwarty. Na płaszczyźnie narysowano również poziomą prostą opisaną wzorem $y=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Trzecim wyróżnionym punktem punkt przecięcia prostej z wykresem funkcji tangens. Punkt przecięcia jest zamalowany i ma współrzędne $\left(\frac{\pi }{6};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Punkt o współrzędnych $\left(\frac{\pi }{6};0\right)$ jest połączony z punktem przecięcia pionową linią przerywaną. Fragment wykresu funkcji tangens od punktu przecięcia z prostą do plus nieskończoności jest pogrubiony.

Korzystając z przykładu poprzedniego otrzymujemy rozwiązanie, którym jest suma przedziałów $⟨\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Pokażemy teraz, jak rozwiązać nierówność $\mathrm{tg}x<a$.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$. Taki przedział wybieramy, gdyż okresem zasadniczym funkcji tangens jest $T=\pi$, a wybrany przedział ma długość $\pi$.

RWvdTCKFXoxGQ

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pi do pi oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$ na dziedzinie $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy niezamalowane punkty. Punkt o współrzędnych $\left(x_0;0\right)$, przy czym liczba $x_0$ jest mniejsza od $\frac{\pi }{2}$. Kolejny niezamalowany punkt ma współrzędne $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$. Punkty te połączone są linią i tworzą odcinek obustronnie otwarty. Na płaszczyźnie narysowano również poziomą prostą opisaną wzorem $y=a$, przy czym $a$ jest liczbą mniejszą od jeden. Trzecim wyróżnionym punktem punkt przecięcia prostej z wykresem funkcji tangens. Punkt przecięcia jest również niezamalowany i ma współrzędne $\left(x_0;a\right)$. Jest on połączony z punktem o współrzędnych $\left(x_0;0\right)$ pionową linią przerywaną. Fragment wykresu funkcji tangens od minus nieskończoności do punktu przecięcia z prostą jest pogrubiony.

Spójrzmy na rysunek.

Skoro chcemy rozwiązać nierówność $\mathrm{tg}x<a$, będziemy badać, w jakich przedziałach funkcja $y=\mathrm{tg}x$ przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji $y=a$.

Zaznaczmy na niebiesko ten fragment wykresu funkcji $y=\mathrm{tg}x$, który leży poniżej prostej $y=a$.

Zauważmy, że prosta $y=a$ przecina wykres funkcji tangens dokładnie w jednym punkcie (funkcja tangens w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$ jest różnowartościowa i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych), którego pierwsza współrzędna to $x_0$ - jest to rozwiązania równania $\mathrm{tg}x=a$ w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$.

Zatem w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$ funkcja $y=\mathrm{tg}x$ przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji $y=a$ dla argumentów $x\in \left(-\frac{\pi }{2}; x_0\right)$.

Wykorzystując okresowość funkcji tangens, podajemy rozwiązanie nierówności $\mathrm{tg}x<a$: jest to suma wszystkich przedziałów $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ; x_0+k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność: $\mathrm{tg}x<-\sqrt{3}$.

Rozwiązanie

Najpierw w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$ podajemy rozwiązanie równania $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$: jest to $x_0=-\frac{\pi }{3}$.

Korzystając z poniższego wykresu, otrzymujemy rozwiązanie nierówności $\mathrm{tg}x<-\sqrt{3}$ w przedziale$\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$, którym jest zbiór $\left(-\frac{\pi }{2}; -\frac{\pi }{3}\right)$.

R1PPEszCuC7Tf

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pi do pi oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$ na dziedzinie $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy niezamalowane punkty. Punkt o współrzędnych $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ oraz punkt o  współrzędnych $\left(-\frac{\pi }{3};0\right)$. Punkty te połączone są linią i tworzą odcinek obustronnie otwarty. Na płaszczyźnie narysowano również poziomą prostą opisaną wzorem $y=-\sqrt{3}$. Trzecim wyróżnionym punktem punkt przecięcia prostej z wykresem funkcji tangens. Punkt przecięcia jest również niezamalowany i ma współrzędne $\left(-\frac{\pi }{3};-\sqrt{3}\right)$. Jest on połączony z punktem o współrzędnych $\left(-\frac{\pi }{3};0\right)$ pionową linią przerywaną. Fragment wykresu funkcji tangens od minus nieskończoności do punktu przecięcia z prostą jest pogrubiony.

Stąd też, po uwzględnieniu całej dziedziny otrzymujemy rozwiązanie nierówności $\mathrm{tg}x<-\sqrt{3}$, którym jest suma przedziałów w postaci $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ; -\frac{\pi }{3}+k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność $\mathrm{tg}x\le -\sqrt{3}$.

Rozwiązanie

Spójrzmy na poniższy wykres. Odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale $\left(-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}\right)$: jest to zbiór $(-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{3}⟩$.

RPs0I7NpWoJv9

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pi do pi oraz z pionową osią $Y$ od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji tangens $x$ na dziedzinie $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy punkty, niezamalowany punkt o współrzędnych $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ oraz zamalowany punkt o  współrzędnych $\left(-\frac{\pi }{3};0\right)$. Punkty te połączone są linią i tworzą odcinek lewostronnie otwarty. Na płaszczyźnie narysowano również poziomą prostą opisaną wzorem $y=-\sqrt{3}$. Trzecim wyróżnionym punktem punkt przecięcia prostej z wykresem funkcji tangens. Punkt przecięcia jest zamalowany i ma współrzędne $\left(-\frac{\pi }{3};-\sqrt{3}\right)$. Jest on połączony z punktem o współrzędnych $\left(-\frac{\pi }{3};0\right)$ pionową linią przerywaną. Fragment wykresu funkcji tangens od minus nieskończoności do punktu przecięcia z prostą jest pogrubiony.

Korzystając z przykładu poprzedniego, otrzymujemy rozwiązanie, którym jest suma przedziałów w postaci $(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,-\frac{\pi }{3}+k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Słownik