Przeczytaj
Wiesz już, że rozwiązać równanie, to znaleźć liczby, które to równanie spełniają. Liczby te nazywamy rozwiązaniem równaniarozwiązaniem równania lub jego pierwiastkami.
Aby rozwiązać równanie należy przekształcać równanie równoważnierównanie równoważnie, tak aby znaleźć wszystkie jego pierwiastki lub wykazać, że równanie nie ma rozwiązania.
Zapoznaj się z przykładami. Zwróć uwagę na różne metody rozwiązywania równań.
Rozwiąż równania:
a)
Najprostszą metodą jest odgadnięcie, jaką liczbą jest , jeśli jego wartość bezwzględna wynosi .
Taką liczbą jest lub .
A zatem pierwiastki tego równania, to:
lub .
Odpowiedź:
b)
Podobnie ja w poprzednim przykładzie odgadujemy, jaka to liczba, której moduł wynosi .
Taką liczbą jest lub .
A zatem
lub
Stąd
lub
lub
Odpowiedź:
Rozwiąż równania:
a)
Korzystając z definicji geometrycznej wartości bezwzględnej, wiemy, że powyższy warunek spełniają liczby, których odległość na osi liczbowej od liczby zero wynosi .
![Ilustracja przedstawia oś x z opisanymi wartościami od minus siedem do osiem. Na osi zaznaczono punkty minus sześć, zero i sześć. Od minus sześć do zera i od zera do sześć zaznaczono przedziały sześć jednostek.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1EfXF7DSn6ws/1645454414/2Lr5xU4CG5HEoDkn3ZZMvaWt6MaysYqo.jpg)
Są dwie takie liczby: i .
A zatem
lub .
Odpowiedź:
b)
Zgodnie z geometryczną definicją wartości bezwzględnej, wiemy, że powyższy warunek spełniają liczby, których odległość od liczby na osi liczbowej wynosi .
![Ilustracja przedstawia oś x z opisanymi wartościami od minus siedem do osiem. Na osi zaznaczono punkty jeden, 4 i siedem. Od minus jeden do 4 i od 4 do 7 zaznaczono przedziały trzy jednostki.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RPKeUom02TcJV/1645454415/Y9lqR4hytlJX4Kut1qUEaPmJXNo9vnCT.jpg)
Są dwie takie liczby: i .
A zatem
lub
Odpowiedź:
Rozwiąż równania:
a)
Tym razem skorzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej.
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) Dla
Wtedy
Zatem równanie przyjmuje postać
, więc warunek jest spełniony.
2) Dla
Wtedy
Zatem równanie przyjmuje postać
, więc warunek jest spełniony.
A zatem
lub
Odpowiedź:
b)
Ponownie korzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki:
1) Dla
A więc
Wtedy
Zatem równanie przyjmuje postać
, więc warunek jest spełniony.
2) Dla
A więc
Wtedy
Zatem równanie przyjmuje postać
, więc warunek jest spełniony.
A zatem
lub
Odpowiedź:
Rozwiąż równania:
a)
Zauważ, że w tym równaniu niewiadoma znajduje się zarówno pod modułem jak i poza nim. Musimy wtedy skorzystać z definicji algebraicznej wartości bezwzględnej, a zatem rozpatrzeć dwa przypadki.
1) Dla
mamy
Wtedy równanie przyjmuje postać
, więc warunek jest spełniony.
2) Dla
mamy
Wtedy równanie przyjmuje postać
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.
A zatem równanie ma tylko jeden pierwiastek .
Odpowiedź:
b)
Ponownie korzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki:
1) Dla
A więc
Wtedy
Zatem równanie przyjmuje postać
, więc warunek jest spełniony.
2) Dla
A więc
Wtedy
Zatem równanie przyjmuje postać
, więc warunek jest spełniony.
Równanie ma dwa pierwiastki oraz .
Odpowiedź:
Wróćmy do zadania, od którego rozpoczęliśmy ten materiał.
Pan Tomasz jest właścicielem firmy znajdującej się między Warszawą a Łodzią. Przyjmijmy, że odległość między tymi miastami wynosi ok. .
W poniedziałek do Łodzi pojechało transportów, a do Warszawy . Samochody pokonały łącznie . W jakiej odległości od Łodzi znajduje się firma pana Tomasza?
Opisaną w zadaniu sytuację możemy zilustrować, korzystając z graficznej definicji wartości bezwzględnej.
![Ilustracja przedstawia oś x na której zaznaczone zostały 3 punkty. Pierwszy punkt został zaznaczony przy wartości zero i jest on podpisany Łódź. Drugi punkt ma wartość x i jest podpisany Firma, trzeci punkt ma wartość 135 i jest podpisany Warszawa. Odległość od 0 do x została podpisana: odległość od firmy do Łodzi |0−x|, odległość pomiędzy x a 135 jest podpisana: odległość od firmy do Warszawy |x−135|.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R146uEzOX5uXq/1645454416/19A6AV3cuTUZUCdIsQ9w7smv0byBdXYS.jpg)
Możemy zatem zapisać równanie
Stosując poznane metody rozwiązujemy równanie.
oraz
Uwzględniając warunki zadania, wiemy, że .
A zatem
oraz .
Wtedy
Odpowiedź: Firma pana Tomasza znajduje się od Łodzi.
Słownik
liczba spełniająca równanie
równania posiadające taki sam zbiór rozwiązań