Wiesz już, że rozwiązać równanie, to znaleźć liczby, które to równanie spełniają. Liczby te nazywamy rozwiązaniem równaniarozwiązanie równaniarozwiązaniem równania lub jego pierwiastkami.

Aby rozwiązać równanie należy przekształcać równanie równoważnierównania równoważnerównanie równoważnie, tak aby znaleźć wszystkie jego pierwiastki lub wykazać, że równanie nie ma rozwiązania.

Zapoznaj się z przykładami. Zwróć uwagę na różne metody rozwiązywania równań.

Przykład 1

Rozwiąż równania:

a) x=10

Najprostszą metodą jest odgadnięcie, jaką liczbą jest x, jeśli jego wartość bezwzględna wynosi 10.

Taką liczbą jest 10 lub -10.

A zatem pierwiastki tego równania, to:

x=-10 lub x=10.

Odpowiedź: x-10, 10

b) 2x-4=8

Podobnie ja w poprzednim przykładzie odgadujemy, jaka to liczba, której moduł wynosi 8.

Taką liczbą jest 8 lub -8.

A zatem

2x-4=8 lub 2x-4=-8

Stąd

2x=12 lub 2x=-4

x=6 lub x=-2

Odpowiedź: x-2, 6

Przykład 2

Rozwiąż równania:

a) x=6

Korzystając z definicji geometrycznej wartości bezwzględnej, wiemy, że powyższy warunek spełniają liczby, których odległość na osi liczbowej od liczby zero wynosi 6.

R1EfXF7DSn6ws

Są dwie takie liczby: -66.

A zatem

x=-6 lub x=6.

Odpowiedź: x-6, 6

b) x-4=3

Zgodnie z geometryczną definicją wartości bezwzględnej, wiemy, że powyższy warunek spełniają liczby, których odległość od liczby 4 na osi liczbowej wynosi 3.

RPKeUom02TcJV

Są dwie takie liczby: 17.

A zatem

x=1 lub x=7

Odpowiedź: x1, 7

Przykład 3

Rozwiąż równania:

a) x=15

Tym razem skorzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej.

a=a,dla a0-a,dla a<0

Rozpatrujemy dwa przypadki:

1) Dla x0

Wtedy x=x

Zatem równanie przyjmuje postać

x=15

150, więc warunek x0 jest spełniony.

2) Dla x<0

Wtedy x=-x

Zatem równanie przyjmuje postać

-x=15 |:-1

-15<0, więc warunek x<0 jest spełniony.

A zatem

x=15 lub x=-15

Odpowiedź: x-15, 15

b) 3x-9=15

Ponownie korzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki:

1) Dla 3x-90

3x9 :3

x3

A więc x3, 

Wtedy 3x-9=3x-9

Zatem równanie przyjmuje postać

3x-9=15

3x=15+9

3x=24 :3

x=8

83, , więc warunek x3,  jest spełniony.

2) Dla 3x-9<0

3x<9 :3

x<3

A więc x-, 3

Wtedy 3x-9=-3x+9

Zatem równanie przyjmuje postać

-3x+9=15

-3x=15-9

-3x=6 :3

x=-2

-2-, 3, więc warunek x-, 3 jest spełniony.

A zatem

x=8 lub x=-2

Odpowiedź: x-2, 8

Przykład 4

Rozwiąż równania:

a) x+x=10

Zauważ, że w tym równaniu niewiadoma znajduje się zarówno pod modułem jak i poza nim. Musimy wtedy skorzystać z definicji algebraicznej wartości bezwzględnej, a zatem rozpatrzeć dwa przypadki.

1) Dla x0

mamy x=x

Wtedy równanie przyjmuje postać

x+x=10

2x=10 :2

x=5

50, więc warunek x0 jest spełniony.

2) Dla x<0

mamy x=-x

Wtedy równanie przyjmuje postać

-x+x=10

0=10

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.

A zatem równanie x+x=10 ma tylko jeden pierwiastek x=5.

Odpowiedź: x5

b) 4x-5+3x=20

Ponownie korzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej i rozpatrujemy dwa przypadki:

1) Dla 4x-50

4x5 :4

x54

A więc x54, 

Wtedy 4x-5=4x-5

Zatem równanie przyjmuje postać

4x-5+3x=20

7x=20+5

7x=25 :6

x=257

x=347

34754, , więc warunek x54,  jest spełniony.

2) Dla 4x-5<0

4x<5 :4

x<54

A więc x-, 54

Wtedy 4x-5=-4x+5

Zatem równanie przyjmuje postać

-4x+5+3x=20

-x=20-5

-x=15 :-1

x=-15

-15-, 54, więc warunek x-, 54 jest spełniony.

Równanie 4x-5+3x=20 ma dwa pierwiastki x=347 oraz x=-15.

Odpowiedź: x-15, 347

Przykład 5

Wróćmy do zadania, od którego rozpoczęliśmy ten materiał.

Pan Tomasz jest właścicielem firmy znajdującej się między Warszawą a Łodzią. Przyjmijmy, że odległość między tymi miastami wynosi ok. 135 km.
W poniedziałek do Łodzi pojechało 5 transportów, a do Warszawy 7. Samochody pokonały łącznie 885 km. W jakiej odległości od Łodzi znajduje się firma pana Tomasza?

Opisaną w zadaniu sytuację możemy zilustrować, korzystając z graficznej definicji wartości bezwzględnej.

R146uEzOX5uXq

Możemy zatem zapisać równanie

5·0-x+7·x-135=885

Stosując poznane metody rozwiązujemy równanie.

x=x,dla x0-x,dla x<0

oraz

x-135=x-135,dla x135-x+135,dla x<135

Uwzględniając warunki zadania, wiemy, że 0<x<135.

A zatem

x=x oraz x-135=-x+135.

Wtedy

5x+7·-x+135=885

5x-7x+945=885

-2x=-60

x=30

Odpowiedź: Firma pana Tomasza znajduje się 30 km od Łodzi.

Słownik

rozwiązanie równania
rozwiązanie równania

liczba spełniająca równanie

równania równoważne
równania równoważne

równania posiadające taki sam zbiór rozwiązań