Przeczytaj
Funkcja
Przypomnijmy definicję funkcji.
Funkcją ze zbioru w zbiór (zbiory i są niepuste) nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru został przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru .
Funkcję tę oznaczamy .
Zbiór nazywamy dziedziną funkcji i oznaczamy .
Zbiór nazywamy przeciwdziedziną funkcji .
Zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór tych elementów ze zbioru , które zostały przypisane elementom ze zbioru i oznaczamy symbolem .
Do opisu funkcji najczęściej wykorzystujemy:
graf,
opis słowny,
tabelkę,
zbiór par uporządkowanych,
wykres,
wzór.
Prześledźmy powyższe sposoby, analizując przykłady.
Graf
![Ilustracja przedstawia graf. Mamy tu dwa zbiory w postaci pionowo ustawionych elips: zbiór X po lewej stronie i zbiór Y po prawej. Elementy zbioru X to kolejno: A, G, H, K, C, I, J, B. Elementy zbioru Y to: D, L, M, N, O, R, P, Q, E. Przyporządkowanie elementów reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do odpowiadających im elementom ze zbioru Y. Każdy element ze zbioru X ma swoje przyporządkowanie, jednak w zbiorze Y jeden element pozostaje bez pary, jest to litera E. Przyporządkowanie jest następujące: A z D, G z L, H z M, K z N, C z O, I z R, J z Q, B z P.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RSFcyeh2YTBaT/1645455042/1GF3HhbpiYteRp0jBjnA720QlHsnUenF.jpg)
Z grafu można odczytać, że dziedziną funkcji jest zbiór , zaś przaciwdziedziną zbiór . Strzałki pokazują sposób przyporządkowania elementom dziedziny elementów przeciwdziedziny. Zapis czytamy: dla argumentu wartość funkcji jest równa , czyli .
Opis słowny
Funkcję opisujemy pełnym zdaniem, podajemy jej dziedzinę i dokładny opis przyporządkowania. Np.: „Funkcja każdemu uczniowi klasy Ia przyporządkowuje jego numer w dzienniku.”
Znając opis funkcji można podać wartości funkcji przyporządkowane poszczególnym argumentom.
Tabelka
Tabelka zbudowana jest z dwóch wierszy. W górnym wierszu znajdują się argumenty funkcji, czyli elementy dziedziny funkcji. W dolnym wierszu umieszczone są wartości, jakie funkcja przyjmuje dla danych argumentów.
Z tabelki możemy na przykład odczytać, że dla argumentu funkcja f przyjmuje wartość , natomiast wartość odpowiada argumentowi .
Zbiór par uporządkowanych
Funkcję można opisać za pomocą zbioru par uporządkowanych postaci , gdzie pierwszy element pary oznacza argument, zaś drugi to wartość funkcji dla danego elementu.
Np.: .
Zapis oznacza, że .
Wykres
Wykres funkcjiWykres funkcji jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie należy do dziedziny tej funkcji, natomiast jest wartością funkcji dla argumentu .
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery punkty o współrzędnych kolejno: -2;-1, -1;2, 2;3, 4;412.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1VKgGuVic5TT/1645455043/1c5GUAFCFE0eR6qedy9ESUiewQnREQv4.jpg)
Rysunek przedstawia wykres funkcjiwykres funkcji . Wykres składa się z czterech punktów. Współrzędne tych punktów to: , , , .
Z wykresu możemy odczytać na przykład, że oraz że tylko wtedy, gdy . Wykres funkcji składa się tylko z tylu punktów, ile elementów znajduje się w dziedzinie funkcji.
Wzór funkcji
Są trzy główne sposoby zapisywania wzoru funkcji. Na przykład:
, jeżeli ,
, jeżeli ,
, jeżeli .
Znając wzór funkcji możemy stwierdzić, czy dany punkt należy do wykresu funkcjiwykresu funkcji. Możemy również obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu.
Np.: , .
Dane są dwa zbiory oraz . Rozważmy funkcję, które odwzorowuje zbiór w zbiór i opiszmy ją różnymi sposobami.
Rozwiązanie:
Opis słowny – każdej liczbie parzystej ze zbioru przyporządkowujemy liczbę , a każdej liczbie nieparzystej liczbę .
Dziedzina funkcji –
Zbiór wartości –
Graf
![Ilustracja przedstawia graf. Mamy dwa zbiory w postaci pionowo ustawionych elips: zbiór X po lewej stronie i zbiór Y po prawej. Elementy zbioru X to kolejno: 2,5,7,20,32. Elementy zbioru Y to: -2,-4,-6,0,6. Przyporządkowanie elementów reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do odpowiadających im elementom ze zbioru Y. Każdy element ze zbioru X ma swoje przyporządkowanie, jednak w zbiorze Y wykorzystano tylko dwa z pięciu elementów. Przyporządkowanie jest następujące: 2,0, 5,6, 7,6, 20,0, 32,0.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R5k6Rd1JiyPIK/1645455043/DznysQgSYiihDB5QJ9UhY1ntJ9Ybx5ns.jpg)
Tabelka
Zbiór par uporządkowanych
.
Wykres
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do trzydziestu dwóch, przy czym po cyfrze osiem oś X narysowana jest linią przerywaną, następna liczba zaznaczona na osi to dwadzieścia, dalej oś jest narysowana ponownie linią przerywaną i kolejna liczba na osi to trzydzieści dwa. Linia przerywana informuje, że na potrzeby rysunku pominięta została część osi. Układ współrzędnych składa się także z pionowej osi Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są punkty, które prezentuje poprzedni graf. Punkty te mają współrzędne: 2,0, 5,6, 7,6, 20,0, 32,0.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R14DNBLfivwXD/1645455044/1nL1KVePLWuQGpoFL5lzY9FIxQraAnpn.jpg)
Wzór
Funkcja zapisana jest za pomocą wzoru:
Funkcja każdej liczbie dodatniej przyporządkowuje objętość sześcianu o krawędzi długości . Opiszemy tę funkcję różnymi sposobami.
Rozwiązanie:
Wzór funkcji
Dziedzina funkcji –
Zbiór wartości –
Tabelka
Dziedzina funkcji jest zbiorem nieskończonym. Sporządzamy tabelkę częściową dla pięciu liczb rzeczywistych dodatnich.
Zbiór par uporządkowanych (częściowy)
Wykres (częściowy)
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery punkty: niezamalowany punkt 0;0 oraz zamalowane punkty: 1;1,1,5;3,5,2;8. Pomiędzy punktami narysowane jest prawe górne ramię paraboli, przy czym punkt 0;0 nie należy do wykresu, ponieważ jest niezamalowany.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RtGt4siK96qkI/1645455045/2ccLz4g8RPHWpqs4nVhOlH8HIl2PyxZv.jpg)
Słownik
wykres funkcji jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie należy do dziedziny tej funkcji, natomiast jest wartością funkcji dla argumentu