Funkcja

Przypomnijmy definicję funkcji.

Funkcja
Definicja: Funkcja

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y (zbiory XY są niepuste) nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru Y.

Funkcję tę oznaczamy f:XY.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy Df.

Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.

Zbiorem wartości funkcji f nazywamy zbiór tych elementów ze zbioru Y, które zostały przypisane elementom ze zbioru X i oznaczamy symbolem ZWf.

Do opisu funkcji najczęściej wykorzystujemy:

  • graf,

  • opis słowny,

  • tabelkę,

  • zbiór par uporządkowanych,

  • wykres,

  • wzór.

Prześledźmy powyższe sposoby, analizując przykłady.

Graf

RSFcyeh2YTBaT1

Z grafu można odczytać, że dziedziną funkcji jest zbiór X=A, B, G, H, I, J, K, C, zaś przaciwdziedziną zbiór Y=D, E, L, M, N, O, Q, P, R. Strzałki pokazują sposób przyporządkowania elementom dziedziny elementów przeciwdziedziny. Zapis AD czytamy: dla argumentu A wartość funkcji jest równa D, czyli fA=D.

Opis słowny

Funkcję f opisujemy pełnym zdaniem, podajemy jej dziedzinę i dokładny opis przyporządkowania. Np.: „Funkcja f każdemu uczniowi klasy Ia przyporządkowuje jego numer w dzienniku.”

Znając opis funkcji można podać wartości funkcji przyporządkowane poszczególnym argumentom.

Tabelka

Tabelka zbudowana jest z dwóch wierszy. W górnym wierszu znajdują się argumenty funkcji, czyli elementy dziedziny funkcji. W dolnym wierszu umieszczone są wartości, jakie funkcja przyjmuje dla danych argumentów.

x

-2

-1

0

1

2

3

4

fx

-3

-5

2

7

8

0

10

Z tabelki możemy na przykład odczytać, że dla argumentu 1 funkcja f przyjmuje wartość 7, natomiast wartość 0 odpowiada argumentowi 3.

Zbiór par uporządkowanych

Funkcję można opisać za pomocą zbioru par uporządkowanych postaci x,fx, gdzie  pierwszy element pary oznacza argument, zaś drugi to wartość funkcji dla danego elementu.

Np.: 3,8, 4,9, 7,24, 8,32.

Zapis  4, 9 oznacza, że f4=9.

Wykres

Wykres funkcji
Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcjiwykres funkcjiWykres funkcji f jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych x, fx, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie x należy do dziedziny tej funkcji, natomiast fx jest wartością funkcji f dla argumentu x.

R1VKgGuVic5TT1

Rysunek przedstawia wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji f. Wykres składa się  z czterech punktów. Współrzędne tych punktów to: 2,1, -1, 2, 2,3, 4;4,5.

Z wykresu możemy odczytać na przykład, że f-1=2 oraz że fx=4,5 tylko wtedy, gdy x=4. Wykres funkcji składa się tylko z tylu punktów, ile elementów znajduje się w dziedzinie funkcji.

Wzór funkcji

Są trzy główne  sposoby zapisywania wzoru funkcji.  Na przykład:

  • f:x0,5x2, jeżeli x+,

  • fx=0,5x2, jeżeli x+,

  • y=0,5x2, jeżeli x+.

Znając wzór funkcji możemy stwierdzić, czy dany punkt należy do wykresu funkcjiwykres funkcjiwykresu funkcji. Możemy również obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu.

Np.: f4=0,5·42=8, f6=0,5·62=18.

Przykład 1

Dane są dwa zbiory X=2, 5, 7, 20, 32 oraz Y=-2, -4, -6, 0, 6. Rozważmy  funkcję, które odwzorowuje zbiór X w zbiór Y i opiszmy ją różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Opis słowny – każdej liczbie parzystej ze zbioru X przyporządkowujemy liczbę 0, a każdej liczbie nieparzystej liczbę 6.

Dziedzina funkcji – Df=2, 5, 7, 20, 32

Zbiór wartości – ZWf=0, 6

Graf

R5k6Rd1JiyPIK

Tabelka

x

2

5

7

20

32

fx

0

6

6

0

0

Zbiór par uporządkowanych

2,0, 5,6, 7,6, 20,0, 32,0.

Wykres

R14DNBLfivwXD

Wzór

Funkcja f zapisana jest  za pomocą wzoru:

fx=0, jeżeli x=2 lub x=20 lub x=326, jeżeli x=5 lub x=7
Przykład 2

Funkcja f każdej liczbie dodatniej x przyporządkowuje objętość sześcianu o krawędzi długości x. Opiszemy  tę funkcję różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji

fx=x3

Dziedzina funkcji – Df=+

Zbiór wartości – ZWf=+

Tabelka

Dziedzina funkcji jest zbiorem nieskończonym. Sporządzamy tabelkę częściową dla pięciu liczb rzeczywistych dodatnich.

x

1

1,5

2

2,5

3

fx

1

3,375

8

15,625

27

Zbiór par uporządkowanych (częściowy)

1; 1, 1,5; 3,375, 2; 8, 2,5; 15,625, 3; 27

Wykres (częściowy)

RtGt4siK96qkI

Słownik

wykres funkcji
wykres funkcji

wykres funkcji f jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych x, fx, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie x należy do dziedziny tej funkcji, natomiast fx jest wartością funkcji f dla argumentu x