Warto przeczytać

Kiedy opisujemy ruch, używamy różnych wielkości wektorowych. PołożeniePołożeniePołożenie, prędkośćprędkośćprędkość i przyspieszenieprzyspieszenieprzyspieszenie są wektorami – aby je określić nie wystarczy podać ich wartości, ale trzeba także wskazać ich kierunek i zwrot.

Możemy to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy polega na tym, że podajemy wartość wektora i opisujemy jego kierunek i zwrot. Na przykład prędkość ciała ma wartość 5 m/s i jest skierowana pionowo w dół.

Możemy także, i to zazwyczaj jest wygodniejszy sposób, wprowadzić układ współrzędnych i wyznaczyć współrzędne wektora w tym układzie. Na przykład, gdybyśmy oś $x$ umieścili równolegle do powierzchni Ziemi, a oś $y$ skierowali pionowo w górę, wówczas współrzędne opisanego przed chwilą wektora prędkości byłyby następujące:

W równaniach ruchu różne wielkości wektorowe często musimy mnożyć przez wielkości skalarne, a następnie dodawać. Te operacje wykonujemy oddzielnie dla każdego kierunku ruchu, tj. dla każdej współrzędnej. Oznacza to, że zmiany położenia, czy prędkości możemy rozpatrywać oddzielnie, biorąc pod uwagę każdą współrzędną osobno. W ten sposób ruch przedstawiamy jako złożenie ruchów odbywających się wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych.

Rozpatrzmy następujący przykład: Stojący na wieży o wysokości 20 m łucznik strzela z łuku, nadając strzale poziomą prędkość o wartości 40 m/s.

RVDY0ybaw71fh

Rys. 1. Na rysunku jest przedstawiona schematycznie wieża. Na szczycie wieży stoi łucznik z napiętym łukiem i strzałą celującą w lewo. Obok strzały zapisano prędkość początkową strzały 40 metrów na sekundę. Zaznaczono też odległość od podstawy wieży do strzały i zapisano, że odległość ta wynosi 20 metrów.

Chcąc opisać, w jaki sposób położenie strzały zależy od czasu, musimy zacząć od wprowadzenia układu współrzędnych. Oś $x$ umieścimy równolegle do prędkości początkowej strzały, a oś $y$ skierujemy pionowo w górę. W tym przykładzie oś $z$ nie będzie nam potrzebna, ponieważ ruch strzały będzie się odbywał w płaszczyźnie $xy$. Początek układu współrzędnych umieścimy na powierzchni Ziemi, bezpośrednio pod łukiem, z którego łucznik wypuścił strzałę.

R7BcRFTiyrFQy

Rys. 2. Na rysunku jest przedstawiona schematycznie wieża. Na szczycie wieży stoi łucznik z napiętym łukiem i strzałą celującą w lewo. Z prawej strony wieży narysowano układ współrzędnych. Oś pozioma, oznaczona literą x, znajduje się na poziomie podstawy wieży. Oś pionowa oznaczona jest literą y.

W pokazanym na Rys. 2. układzie współrzędnych, początkowe położenie strzały jest punktem o współrzędnych

Wektor początkowego położeniaPołożeniepołożenia strzały ma zatem postać:

a wektor początkowej prędkościPrędkośćprędkości można zapisać jako:

Oczywiście podczas całego ruchu strzała jest przyciągana przez Ziemię, zatem wektor przyspieszeniaprzyspieszenieprzyspieszenia ma postać:

Wyjaśnijmy, że znak '-' przy drugiej składowej wektora przyspieszenia oznacza, że przyspieszenie ziemskie (o przybliżonej wartości g = 10 m/sIndeks górny 2²) jest skierowane przeciwnie do kierunku osi $y$. Pomijamy tutaj wszelkiego rodzaju opory ruchu.

Zależność wektora położeniaPołożeniepołożenia strzały od czasu będzie zatem wyglądać następująco:

gdzie $x\left(t\right)$ i $y\left(t\right)$ są nazywane równaniami ruchu i mają postać

Z kolei wektor prędkościPrędkośćprędkości można zapisać jako:

gdzie

Ruch strzały jest zatem złożeniem dwóch ruchów prostoliniowych: ruchu jednostajnegoruch jednostajnyruchu jednostajnego wzdłuż osi $x$ oraz ruchu jednostajnie przyspieszonegoruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku osi $y$.

Z punktu widzenia łucznika najistotniejszą kwestią jest to, czy jego strzała trafi do celu. Dlatego teraz postaramy się wyznaczyć zasięg strzału, tzn. odpowiemy na pytanie, w jakiej odległości od wieży strzała uderzy w ziemię.

Strzała zakończy swój ruch, gdy współrzędna wektora położenia w kierunku osi $y$ będzie równa zeru. Stanie się to dla takiej wartości $t=t_k$, dla której $y\left(t_k\right)=0$, tj.

Aby wyznaczyć zasięg strzału, musimy obliczyć, jaka będzie wartość współrzędnej położenia w kierunku osi $x$ po tym czasie, tzn. musimy podstawić wartość $t=t_k$ do wyrażenia $x\left(t\right)$. Wykonując to podstawienie, dostajemy

A zatem, jeśli łucznik celował w obiekt znajdujący się 80 m od wieży, jego strzała trafi prosto do celu.

RGWUUWXMnxEIb

Rys. 3. Na rysunku jest przedstawiona schematycznie wieża. Na szczycie wieży stoi łucznik, który już wystrzelił strzałę. Zaznaczono przerywaną linią tor strzały. Tor jest łukiem, który biegnie w prawo wyginając się do dołu. Na końcu toru narysowano strzałę, która trafia w muchomorka, rosnącego na ziemi na poziomie podstawy wieży. Strzała skierowana jest ukośnie w prawo i dół. Zaznaczono odległość od wieży do punktu, gdzie strzała trafiła w muchomorka i zapisano, że odległość ta wynosi 80 metrów.

Słowniczek