Warto przeczytać

Kiedy opisujemy ruch, używamy różnych wielkości wektorowych. PołożeniePołożeniePołożenie, prędkośćprędkośćprędkośćprzyspieszenieprzyspieszenieprzyspieszenie są wektorami – aby je określić nie wystarczy podać ich wartości, ale trzeba także wskazać ich kierunek i zwrot.

Możemy to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy polega na tym, że podajemy wartość wektora i opisujemy jego kierunek i zwrot. Na przykład prędkość ciała ma wartość 5 m/s i jest skierowana pionowo w dół.

Możemy także, i to zazwyczaj jest wygodniejszy sposób, wprowadzić układ współrzędnych i wyznaczyć współrzędne wektora w tym układzie. Na przykład, gdybyśmy oś x umieścili równolegle do powierzchni Ziemi, a oś y skierowali pionowo w górę, wówczas współrzędne opisanego przed chwilą wektora prędkości byłyby następujące:

vx=0,
      v y = 5   m s .

W równaniach ruchu różne wielkości wektorowe często musimy mnożyć przez wielkości skalarne, a następnie dodawać. Te operacje wykonujemy oddzielnie dla każdego kierunku ruchu, tj. dla każdej współrzędnej. Oznacza to, że zmiany położenia, czy prędkości możemy rozpatrywać oddzielnie, biorąc pod uwagę każdą współrzędną osobno. W ten sposób ruch przedstawiamy jako złożenie ruchów odbywających się wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych.

Rozpatrzmy następujący przykład: Stojący na wieży o wysokości 20 m łucznik strzela z łuku, nadając strzale poziomą prędkość o wartości 40 m/s.

RVDY0ybaw71fh
Rys. 1. Warunki początkowe złożonego ruchu strzały, która została wystrzelona przez łucznika z wieży o wysokości 20 m, z poziomą prędkością początkową o wartości 40 m/s.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Chcąc opisać, w jaki sposób położenie strzały zależy od czasu, musimy zacząć od wprowadzenia układu współrzędnych. Oś x umieścimy równolegle do prędkości początkowej strzały, a oś y skierujemy pionowo w górę. W tym przykładzie oś z nie będzie nam potrzebna, ponieważ ruch strzały będzie się odbywał w płaszczyźnie xy. Początek układu współrzędnych umieścimy na powierzchni Ziemi, bezpośrednio pod łukiem, z którego łucznik wypuścił strzałę.

R7BcRFTiyrFQy
Rys. 2. Układ współrzędnych, w którym opisujemy złożony ruch strzały.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

W pokazanym na Rys. 2. układzie współrzędnych, początkowe położenie strzały jest punktem o współrzędnych

x 0 = 0   m ,
y 0   =   20   m .

Wektor początkowego położeniaPołożeniepołożenia strzały ma zatem postać:

r 0 = [ x 0 , y 0 ] = [ 0   m , 20   m ] ,

a wektor początkowej prędkościPrędkośćprędkości można zapisać jako:

v 0 = [ v 0 x , v 0 y ] = [ 40 ; 0 ] m/s   .

Oczywiście podczas całego ruchu strzała jest przyciągana przez Ziemię, zatem wektor przyspieszeniaprzyspieszenieprzyspieszenia ma postać:

a = [ 0 , g ] = [ 0 m s 2 , 10 m s 2 ] .

Wyjaśnijmy, że znak '-' przy drugiej składowej wektora przyspieszenia oznacza, że przyspieszenie ziemskie (o przybliżonej wartości g = 10 m/sIndeks górny 2) jest skierowane przeciwnie do kierunku osi y. Pomijamy tutaj wszelkiego rodzaju opory ruchu.

Zależność wektora położeniaPołożeniepołożenia strzały od czasu będzie zatem wyglądać następująco:

r ( t ) = [ x ( t ) ; y ( t ) ] ,

gdzie x(t)y(t) są nazywane równaniami ruchu i mają postać

x ( t ) = v 0 x t + x 0 = ( 40   m/s ) t ,
y ( t ) = 1 2 g t 2 + v 0 y t + y 0 = 1 2 ( 10 m/s 2 ) t 2 + 20   m   .

Z kolei wektor prędkościPrędkośćprędkości można zapisać jako:

v ( t ) = [ x ( t ) ; y ( t ) ]   .  

gdzie

v x ( t ) = v 0 x = 40   m s ,
      v y ( t ) = g t + v 0 y = ( 10 m/s 2 ) t .

Ruch strzały jest zatem złożeniem dwóch ruchów prostoliniowych: ruchu jednostajnegoruch jednostajnyruchu jednostajnego wzdłuż osi x oraz ruchu jednostajnie przyspieszonegoruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku osi y.

Z punktu widzenia łucznika najistotniejszą kwestią jest to, czy jego strzała trafi do celu. Dlatego teraz postaramy się wyznaczyć zasięg strzału, tzn. odpowiemy na pytanie, w jakiej odległości od wieży strzała uderzy w ziemię.

Strzała zakończy swój ruch, gdy współrzędna wektora położenia w kierunku osi y będzie równa zeru. Stanie się to dla takiej wartości t=tk, dla której y(tk)=0, tj.

t k = 2 20   m 10 m s 2 = 2   s .

Aby wyznaczyć zasięg strzału, musimy obliczyć, jaka będzie wartość współrzędnej położenia w kierunku osi x po tym czasie, tzn. musimy podstawić wartość t=tk do wyrażenia x(t). Wykonując to podstawienie, dostajemy

x k = x ( t k ) = 40   m s 2   s = 80   m .

A zatem, jeśli łucznik celował w obiekt znajdujący się 80 m od wieży, jego strzała trafi prosto do celu.

RGWUUWXMnxEIb
Rys. 3. Tor (krzywa przerywana) i zasięg strzały w analizowanym przykładzie.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Słowniczek

Droga
Droga

(ang.: distance) – długość odcinka toru, po jakim porusza się ciało.

Położenie
Położenie

(ang.: position or position vector) – (inaczej wektor położenia lub wodzący) wektor określający umiejscowienie ciała w zadanym układzie odniesienia.

Prędkość
Prędkość

(ang.: velocity) – wielkość wektorowa określająca, jak szybko zmienia się położenie ciała w czasie.

Przyspieszenie
Przyspieszenie

(ang.: acceleration) – wielkość wektorowa opisująca, jak szybko w czasie zmienia się wektor prędkości.

Ruch jednostajny
Ruch jednostajny

(ang.: motion with constant velocity) – ruch, w którym wartość prędkości jest stała.

Ruch jednostajnie przyspieszony
Ruch jednostajnie przyspieszony

(ang.: uniformly accelerated motion) – ruch, w którym wektor przyspieszenia ma stałą wartość. W takim ruchu wartość prędkości zmienia się liniowo z czasem.

Szybkość
Szybkość

(ang.: speed) – wielkość skalarna, równa ilorazowi długości toru ruchu (drogi) i czasu, w którym ten tor został pokonany.

Tor ruchu
Tor ruchu

(ang.: trajectory) – (inaczej trajektoria) krzywa zakreślana przez poruszające się ciało.