Funkcję $f$ określoną na zbiorze $\mathrm{ℝ}$ wzorem

gdzie $a$, $b\in \mathrm{ℝ}$ nazywamy funkcją liniową.

Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a $b$ wyrazem wolnym.

Określimy wartości współczynników liczbowych funkcji liniowej określonej wzorem $f\left(x\right)=ax+b$, jeżeli wiadomo, że do prostej, będącej wykresem tej funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(0,4\right)$ oraz $\left(2,5\right)$.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt o współrzędnych $\left(0,4\right)$ należy do prostej, będącej wykresem tej funkcji, to $b=4$.

Obliczamy wartość współczynnika $a$, korzystając ze wzoru.

Zatem:

$a=\frac{5-4}{2-0}=\frac{1}{2}$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f\left(x\right)=\left(m+2\right)x+\left(m^2-m\right)$ należy do $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$ i $\mathrm{IV}$ ćwiartki układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wartości współczynników $a$ i $b$ ze wzoru funkcji wynoszą odpowiednio:

$a=m+2$,

$b=m^2-m$.

Jeżeli prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f\left(x\right)=\left(m+2\right)x+\left(m^2-m\right)$ należy do $\text{I}$, $\text{II}$ i $\text{IV}$ ćwiartki układu współrzędnych, to zachodzą następujące warunki:

$a<0$ i $b>0$.

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówności:

$m+2<0$, więc $m<-2$, zatem $m\in \left(-\infty ,-2\right)$,

$m^2-m>0$, więc $m\left(m-1\right)>0$ , zatem $m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,\infty \right)$.

Wobec tego oba warunki są spełnione, gdy $m\in \left(-\infty ,-2\right)$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f\left(x\right)=\left(m^3-4m^2+m-4\right)x+2$ jest prosta, która jest równoległa do osi $X$ układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f\left(x\right)=ax+b$ jest równoległa do osi $X$, to $a=0$ i $b\in \mathrm{ℝ}$.

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie, wykorzystując metodę grupowania wyrazów:

$m^3-4m^2+m-4=0$

$m^2·\left(m-4\right)+1·\left(m-4\right)=0$

$\left(m-4\right)·\left(m^2+1\right)=0$

$m-4=0$, czyli $m=4$,

$m^2+1=0$, czyli $m\in \varnothing$.

Wobec tego $m=4$.

Sprawdzenie:

$4^3-4·4^2+4-4=64-64=0$

Zatem funkcja liniowa jest określona wzorem:

$f\left(x\right)=2$

Ponieważ $a=0$ i $b\in \mathrm{ℝ}$, to prosta, będąca wykresem funkcji $f$ jest równoległa do osi $X$ układu współrzędnych.

Sprawdzimy, czy prosta, będąca wykresem funkcji liniowej określonej wzorem $f\left(x\right)=\left(3m^2-4\right)x+\left(m+3\right)$ należy do $\text{I}$, $\text{II}$ i $\text{III}$ ćwiartki układu współrzędnych, jeżeli do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(-1,3\right)$.

Rozwiązanie:

Jeżeli do prostej, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $\left(-1,3\right)$, to do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$3=\left(3m^2-4\right)·\left(-1\right)+\left(m+3\right)$

$-3m^2+m+4=0$

$∆=1+4·3·4=49$

$m_1=\frac{-1-7}{-6}=\frac{4}{3}$

$m_2=\frac{-1+7}{-6}=\frac{6}{-6}=-1$.

Dla $m=\frac{4}{3}$ mamy:

$f\left(x\right)=\left(3·{\left(\frac{4}{3}\right)}^2-4\right)x+\left(\frac{4}{3}+3\right)=\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}$.

Ponieważ $a=\frac{4}{3}$ i $b=\frac{13}{3}$, to prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w $\text{I}$, $\text{II}$ i $\text{III}$ ćwiartce układu współrzędnych.

Dla $m=-1$ mamy:

$f\left(x\right)=\left(3·{\left(-1\right)}^2-4\right)x+\left(-1+3\right)=-x+2$

Ponieważ $a=-1$ oraz $b=2$, to prosta, będąca wykresem tej funkcji znajduje się w $\text{I}$, $\text{II}$ i $\text{IV}$ ćwiartce układu współrzędnych.

Określimy wartości współczynników liczbowych $a$ i $b$ we wzorze funkcji liniowej określonej wzorem $f\left(x\right)=ax+b$ jeżeli wiadomo, że prosta, będąca wykresem tej funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych $\left(3,0\right)$ i wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu równym $6$.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania. Zauważmy, że istnieją takie dwie proste, będące wykresami funkcji liniowych, które spełniają warunki określone w zadaniu.

R4AlfJslnWBoo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 6 do sześciu oraz pionową osią od minus 5 do pięciu. Zaznaczono dwie proste f indeks dolny jeden koniec indeksu przecinającą oś Y w punkcie 4 oraz oś X w punkcie trzy. oraz f indeks dolny dwa koniec indeksu przecinającą oś Y w punkcie minus dwa oraz oś X w punkcie trzy.

Ponieważ pole trójkąta ograniczonego przez prostą, będącą wykresem funkcji liniowej oraz osie układu współrzędnych wynosi $6$, to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$6=\frac{1}{2}·3·b$

$6=\frac{3}{2}b$

$b=4$

Zauważmy, że wartość współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej $f\left(x\right)=ax+b$ może też wynosić $-4$.

Zatem funkcja liniowa, której wykres ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych podany trójkąt jest określona za pomocą wzoru:

$f\left(x\right)=ax+4$ lub $f\left(x\right)=ax-4$

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(3,0\right)$ należy do prostej, będącej wykresem funkcji $f$, zatem:

• $0=a·3+4$, wtedy $a=\frac{-4}{3}$, czyli $f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x+4$

• $0=a·3-4$, wtedy $a=\frac{4}{3}$, czyli $f\left(x\right)=\frac{4}{3}x-4$

Uzasadnimy, że jeśli $a\ne 0$ i $b\ne 0$, to równanie prostej $y=ax+b$, będącej wykresem funkcji liniowej można zapisać w postaci $\frac{x}{-{\displaystyle \frac{b}{a}}}+\frac{y}{b}=1$.

Rozwiązanie:

Dana jest prosta o równaniu $y=ax+b$, będąca wykresem funkcji liniowej.

Przekształcamy równanie tej prostej do postaci:

$y-ax=b$

Po podzieleniu obu stron równania przez $b$ otrzymujemy:

$\frac{y}{b}-\frac{ax}{b}=1$

Równanie zapisujemy w szukanej postaci:

$\frac{x}{{\displaystyle -\frac{b}{a}}}+\frac{y}{b}=1$

funkcja $f$ określona na zbiorze $\mathrm{ℝ}$ wzorem $f\left(x\right)=ax+b$, gdzie $a$, $b\in \mathrm{ℝ}$