To ciekawe

Każde ciało mające masę modyfikuje przestrzeń wokół siebie tak, że na umieszczone w jego pobliżu inne ciało, działają siły grawitacyjne. Jednak im dalej od ciała centralnego, tym te siły mają mniejsze wartości. Czy istnieje jakieś fizyczne pojęcie pozwalające na scharakteryzowanie takiego zjawiska? O tym w niniejszym materiale.

Warto przeczytać

Polem grawitacyjnym nazywamy modyfikację własności przestrzeni, wywołaną obecnością w niej masy. Jeżeli w polu tym znajdzie się obiekt o masie $m$, to na będzie nań działać siła grawitacji $\vec{F}_g$. Dla scharakteryzowania pola grawitacyjnego wprowadzone zostało pojęcie jego natężenianatężenie pola grawitacyjnegonatężenia $\vec{\gamma}$. Jest ono zdefiniowane poprzez związek

Widać więc, że jednostka natężenia pola grawitacyjnego to $\text{m/s}^2$, czyli jednostka przyspieszenia. Czy ma to jakieś głębsze znaczenie? Tak; więcej na ten temat dowiesz się z materiału Natężenie pola grawitacyjnego a przyspieszenie grawitacyjne.

Z drugiej strony, jeśli oba obiekty (niech pierwszy z nich ma masę $M$) mają rozmiary pomijalne w porównaniu z odległością między nimi $r$, dobrym przybliżeniem dla $\vec{F}_g$ jest prawo powszechnego ciążenia,

gdzie $\vec{r}$ to położenie ciała o masie $m$ względem ciała o masie $M$. Zwykle ciała te nazywa się, odpowiednio, cząstką próbną oraz źródłem pola.

Natężenie pola grawitacyjnego jest więc wielkością wektorową. Kierunek i zwrot natężenia pola są zgodne z kierunkiem i zwrotem działającej siły grawitacyjnej, a jego wartość jest równa

Pole grawitacyjne można zobrazować za pomocą linii pola wskazujących kierunek i zwrot działania sił grawitacji. W przypadku, gdy pole ma charakter centralny, układają się one promieniście (Rys. 2.). W sytuacji, gdy mamy do czynienia ze źródłami bardziej skomplikowanymi (np. kilka mas punktowych, bryła itp.) – dla uzyskania $\vec{\gamma}$ stosujemy zasadę superpozycjizasada superpozycjizasadę superpozycji pól (więcej na ten temat dowiesz się z materiału Zasada superpozycji pól)

RZD1A4KZJJIPh

Rys. 2. Rysunek przedstawia symbolicznie Ziemię z niebieskimi zarysami kontynentów, do której wnętrza wchodzą promieniście czarne linie pola grawitacyjnego.

Jeżeli zaczniemy przybliżać się do Ziemi i znajdziemy się w bardzo bliskiej odległości od jej powierzchni, możemy przyjąć z dobrym przybliżeniem, że linie pola $\vec{\gamma}$ są równoległe, a natężenie jest stałe. Takie pole określamy mianem jednorodnego (Rys. 3.).

RnwEq8SNw6kRq

Rys. 3. Rysunek przedstawia symbolicznie kota i drzewo znajdujące się na powierzchni Ziemi. Przez rysunek przeprowadzono skierowane pionowo w dół czarne linie pola grawitacyjnego.

Czy pole grawitacyjne przy powierzchni Ziemi można traktować jako jednorodne? W dobrym przybliżeniu (jeśli przyjmiemy, że Ziemia jest kulą o promieniu $R$) Oszacujmy, na ile zmienia się natężenie pola grawitacyjnego na wysokości $x\ll R$. Zmiana ta może zostać wyrażona wzorem

gdzie $\varepsilon = x/R$. Chcąc ocenić wkład, jaki wnosi do wzoru (2) drugi czynnik, zauważmy, że

skoro $\varepsilon^2 > 0$. Ale wyrażenie po prawej stronie da się zapisać w postaci sumy szeregu geometrycznego o ilorazie $-2\varepsilon$:

Zatem

dla odpowiednio małego $\varepsilon$. Pierwszy z czynników zastąpiliśmy wartością przyspieszenia ziemskiego (jest to natężenie pola grawitacyjnego Ziemi na jej powierzchni).

Oszacowanie $\Delta\gamma$ dla $x = 100\,\text{m}$ daje więc

co pozwala uznać, że przybliżenie pola centralnego polem jednorodnym jest w tym przypadku uprawnione.

Słowniczek