Przeczytaj
Na początku przypomnijmy definicję, własności i wzory dotyczące graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup prostygraniastosłup prosty, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.
Bryła ta ma:
pięć ścian: dwie podstawy (trójkąty równoboczne) i trzy ściany boczne (prostokąty).
dziewięć krawędzi: sześć krawędzi podstaw (oznaczmy ich długość przez ) i trzy krawędzie boczne (oznaczmy ich długość przez )
sześć wierzchołków
Wzory
Warto zwrócić uwagę na charakterystyczne odcinki w tym graniastosłupie:
wysokość podstawy, o długości
przekątna ściany bocznej, o długości
Najdłuższym odcinkiem w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym jest przekątna ściany bocznej.
Przypomnijmy, jak obliczyć odpowiednie miary w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym:
Suma długości wszystkich krawędzi
Pole powierzchni podstawy
Pole powierzchni bocznej
Pole powierzchni całkowitej
Objętość
W zadaniach z kontekstem praktycznym mamy często do czynienia z takimi wielkościami jak gęstośćgęstość materiału czy gramatura papierugramatura papieru. Niezawodnym sposobem na wydedukowanie tego, jakim wzorem obliczana jest dana wielkość, jest zwrócenie uwagi na jednostkę, w jakiej jest wyrażana. I tak, jeżeli gramatura papieru podana jest w oznacza to, że aby ją wyliczyć, należy podzielić masę papieru (w gramach) przez jego pole powierzchni (w metrach kwadratowych).
Obliczymy, ile waży pudełko na czekoladę w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości i wysokości , zbudowane z papieru o gramaturze . Weźmiemy pod uwagę, że do sklejenia pudełka niezbędne są zakładki: jedna dodatkowa ściana boczna oraz po dwa dodatkowe trójkąty w każdej podstawie.
Rozwiązanie:
Spójrzmy na rysunek obok.
Po prawej stronie widzimy złożony graniastosłup. Po lewej jest on rozłożony na płaszczyźnie. Kolorem zaznaczone są ściany zewnętrzne bryły, białe natomiast są dodatkowe zakładki potrzebne do złożenia pudełka.
Obliczymy pole powierzchni całkowitej kartonu użytego do zbudowania opakowania. Składa się ono z pola całkowitego bryły oraz z pól dodatkowych zakładek.
Wstawiając dane z zadania, otrzymujemy:
Gramatura papieru jest równa , zatem masa pudełka w przybliżeniu wynosi:
Zaprojektujemy donicę, która ozdobi miejski rynek, według poniższych wymagań:
jest w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego,
jej wysokość jest razy mniejsza niż długość krawędzi w podstawie,
pomieści ok. litrów ziemi.
Rozwiązanie:
Przez oznaczmy długość wysokości. Wtedy długość krawędzi bocznej wynosi .
Objętość donicy wyrażona w litrach, a więc w decymetrach sześciennych, wynosi i jest równa wyrażeniu .
Donice będą miały wysokość oraz długość krawędzi w podstawie .
Poczujmy się jak projektanci opisanego we wstępie pomnika. Załóżmy, że krawędź jego podstawy ma długość , a wysokość to . Pomnik jest wykonany z patynowanego brązu, którego gęstość zazwyczaj wacha się w przedziale – . Przyjmijmy, że do odlania tego konkretnego pomnika użyjemy brązu o gęstości . Obliczymy przybliżoną wagę monumentu.
Rozwiązanie:
Objętość pomnika obliczymy korzystając ze wzoru:
Gęstość materiału wynosi:
Waga pomnika wynosi ok. , czyli ponad ton.
Obliczymy wagę pomnika opisanego w przykładzie trzecim zakładając, że jego ściany (boczne oraz górna podstawa) mają grubość , a poza tym jest w środku pusty.
Rozwiązanie:
Objętość materiału wykorzystanego do tak odlanego pomnika będzie różnicą pomiędzy obliczoną w przykładzie trzecim objętością zewnętrzną, a objętością graniastosłupa, który wytniemy ze środka. Na rysunku poniżej widzimy zarys tego pomnika.
Wysokość wewnętrznego graniastosłupa wynosi .
Zastanówmy się, jak obliczyć długość krawędzi jego podstawy. W tym celu rozrysujemy obok rzut płaski podstawy pomnika.
Punkt jest równoodległy od ramion kąta , zatem leży na jego dwusiecznej. Kąt ma miarę , a więc miara kąta to . Stąd wynika, że
Szukana długość krawędzi wynosi .
Obliczamy objętość wewnętrznego graniastosłupa:
Objętość użytego materiału to ok. , a jego masa wynosi ok. .
Słownik
graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami
masa wyrobu papierniczego wyrażona w gramach podana na metr kwadratowy
stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości: