Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, który ma w podstawie trójkąt równoboczny.

Bryła ta ma:

• pięć ścian: dwie podstawy (trójkąty równoboczne) i trzy ściany boczne (prostokąty).

• dziewięć krawędzi: sześć krawędzi podstaw (oznaczmy ich długość przez $a$) i trzy krawędzie boczne (oznaczmy ich długość przez $h$)

• sześć wierzchołków

Obliczymy, ile waży pudełko na czekoladę w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości $3,5 \mathrm{cm}$ i wysokości $21 \mathrm{cm}$, zbudowane z papieru o gramaturze $300 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^2}$. Weźmiemy pod uwagę, że do sklejenia pudełka niezbędne są zakładki: jedna dodatkowa ściana boczna oraz po dwa dodatkowe trójkąty w każdej podstawie.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na rysunek obok.

RGNyu7gFstwlv

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Składa się z czterech prostokątów o wymiarach 21 oraz krótszy bok o długości trzy i pół jednostek. Do trzech prostokątów doklejono po dwa trójkąty na przeciwległych krótszych bokach. Obok przedstawiono bryłę graniastosłupa.

Po prawej stronie widzimy złożony graniastosłup. Po lewej jest on rozłożony na płaszczyźnie. Kolorem zaznaczone są ściany zewnętrzne bryły, białe natomiast są dodatkowe zakładki potrzebne do złożenia pudełka.

Obliczymy pole powierzchni całkowitej kartonu użytego do zbudowania opakowania. Składa się ono z pola całkowitego bryły oraz z pól dodatkowych zakładek.

$P=3ah+2·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+ah+4·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$P=4ah+\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Wstawiając dane z zadania, otrzymujemy:

$P=4·3,5·21+\frac{3·{\left(3,5\right)}^2·\sqrt{3}}{2}\approx 294+32=326 \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

$326 {\mathrm{cm}}^2=3,26 {\mathrm{dm}}^2=0,0326 {\mathrm{m}}^2$

Gramatura papieru jest równa $300 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^2}$, zatem masa pudełka w przybliżeniu wynosi:

$0,0326 {\mathrm{m}}^2·300 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^2}=9,78 \mathrm{g}$

Zaprojektujemy donicę, która ozdobi miejski rynek, według poniższych wymagań:

• jest w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego,

• jej wysokość jest $2$ razy mniejsza niż długość krawędzi w podstawie,

• pomieści ok. $3000$ litrów ziemi.

Rozwiązanie:

Przez $x$ oznaczmy długość wysokości. Wtedy długość krawędzi bocznej wynosi $2x$.

Objętość donicy wyrażona w litrach, a więc w decymetrach sześciennych, wynosi $3000$ i jest równa wyrażeniu $\frac{{\left(2x\right)}^2\sqrt{3}}{4}·x$.

$\frac{{\left(2x\right)}^2\sqrt{3}}{4}·x=3000$

$\frac{4x^2\sqrt{3}}{4}·x=3000$

$x^3=\frac{3000}{\sqrt{3}}$

$x^3\approx 1732$

$x\approx 12 \left[\mathrm{dm}\right]$

Donice będą miały wysokość $120 \mathrm{cm}$ oraz długość krawędzi w podstawie $240 \mathrm{cm}$.

Poczujmy się jak projektanci opisanego we wstępie pomnika. Załóżmy, że krawędź jego podstawy ma długość $1 \mathrm{m}$, a wysokość to $3,5 \mathrm{m}$. Pomnik jest wykonany z patynowanego brązu, którego gęstość zazwyczaj wacha się w przedziale $7,5$– $9,3 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{cm}}^3}$. Przyjmijmy, że do odlania tego konkretnego pomnika użyjemy brązu o gęstości $8,5 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{cm}}^3}$. Obliczymy przybliżoną wagę monumentu.

Rozwiązanie:

Objętość pomnika obliczymy korzystając ze wzoru:

$V=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}·3,5\approx 1,516 \left[{\mathrm{m}}^3\right]$

Gęstość materiału wynosi:

$8,5 \frac{\mathrm{g}}{{\mathrm{cm}}^3}=8,5 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{dm}}^3}=8500 \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$

Waga pomnika wynosi ok. $1,516·8500=12886$, czyli ponad $12$ ton.

Obliczymy wagę pomnika opisanego w przykładzie trzecim zakładając, że jego ściany (boczne oraz górna podstawa) mają grubość $10 \mathrm{cm}$, a poza tym jest w środku pusty.

Rozwiązanie:

Objętość materiału wykorzystanego do tak odlanego pomnika będzie różnicą pomiędzy obliczoną w przykładzie trzecim objętością zewnętrzną, a objętością graniastosłupa, który wytniemy ze środka. Na rysunku poniżej widzimy zarys tego pomnika.

R1HNfYxF8Kiby

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny ABC o wymiarach $x+ (1-2x)+x$. W środku trójkąta umieszczono trzy prostokąty mające wspólną krawędź z krawędzią trójkąta. Boki prostokąta mają wymiary 0 przecinek 1 oraz $1-2x$. Prostokąty tworzą trójkąt DEF. Oraz dwa małe trójkąty prostokąty BNE oraz BME o długości przyprostokątnych równych 0 przecinek 1 oraz x.

Wysokość wewnętrznego graniastosłupa wynosi $3,5-0,1=3,4 \left[\mathrm{m}\right]$.

Zastanówmy się, jak obliczyć długość krawędzi jego podstawy. W tym celu rozrysujemy obok rzut płaski podstawy pomnika.

Punkt $E$ jest równoodległy od ramion kąta $NBM$, zatem leży na jego dwusiecznej. Kąt $NBM$ ma miarę $60°$, a więc miara kąta $NBE$ to $30°$. Stąd wynika, że

$\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{0,1}{x}$

$x=\frac{0,1}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}}=0,1\sqrt{3}$

Szukana długość krawędzi $ED$ wynosi $\left(1-0,2\sqrt{3}\right) \mathrm{m}$.

Obliczamy objętość wewnętrznego graniastosłupa:

$V_W=\frac{{\left(1-0,2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}·3,4=\frac{\left(1-0,4\sqrt{3}+0,12\right)\sqrt{3}}{4}·3,4=$

$=\left(1,12\sqrt{3}-1,2\right)·0,85=0,952\sqrt{3}-1,02\approx 0,629 \left[{\mathrm{m}}^3\right]$

Objętość użytego materiału to ok. $1,516-0,629=0,887 {\mathrm{m}}^3$, a jego masa wynosi ok. $0,877·8500=7539,5 \mathrm{kg}$.

graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a więc wszystkie ściany boczne są prostokątami

masa wyrobu papierniczego wyrażona w gramach podana na metr kwadratowy

stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości: $\rho =\frac{m}{V}$