Przeczytaj

Dane są punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ . Obliczymy długość odcinka $A B$ rozważając jego różne położenie w układzie współrzędnych. Przypomnijmy - długość odcinka oznaczamy $|A B|$ . Dwie pionowe kreski po obu stronach nazwy to ten sam symbol, który oznacza również wartość bezwzględną liczby, liczbę elementów zbioru i miarę kąta. Można powiedzieć, że symbol $|\cdot|$ oznacza szeroko pojętą miarę. Tym razem to miara długości odcinka.

Przypadek $I$

Odcinek $A B$ jest równoległy do osi $X$ oś odciętychosi $X$ .

Oznacza to, że rzędne punktów $A$ i $B$ są równe. Wówczas długość odcinka $A B$ to wartość bezwzględna różnicy odciętych tych punktów:

$|A B| = |x_{A} - x_{B}| = |x_{B} - x_{A}|$ .

RCNfzkMfjveeo

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez jednostek. Na płaszczyźnie zaznaczono poziomy odcinek AB, gdzie punkt A ma współrzędne xA,yA, natomiast punkt B ma współrzędne xB,yB. Z uwagi na fakt, iż odcinek jest poziomy, drugie współrzędne punktów są równe. Odcinek podpisano następująco: xB-xA, yA=yB.

Przypadek $II$

Odcinek $A B$ jest równoległy do osi $Y$ oś rzędnychosi $Y$ . Oznacza to, że odcięte punktów $A$ i $B$ są równe. Wówczas długość odcinka $A B$ to wartość bezwzględna różnicy rzędnych tych punktów:

$|A B| = |y_{A} - y_{B}| = |y_{B} - y_{A}|$ .

R1BUv3jXc5jRe

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez jednostek. Na płaszczyźnie zaznaczono pionowy odcinek AB, gdzie punkt A ma współrzędne xA,yA, natomiast punkt B ma współrzędne xB,yB. Z uwagi na fakt, iż odcinek jest pionowy, pierwsze współrzędne punktów są równe. Odcinek podpisano następująco: yB-yA, xA=xB.

Przypadek $III$

Odcinek $A B$ nie jest równoległy do żadnej z osi układu współrzędnych. Oznacza to, że ani rzędne, ani odcięte punktów $A$ i $B$ nie są równe. W tym przypadku w celu obliczenia długości odcinka $A B$ możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Tworzymy zatem trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych. Z rysunku wynika następująca równość ${|A B|}^{2} = {|x_{B} - x_{A}|}^{2} + {|y_{B} - y_{A}|}^{2}$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej ${|a|}^{2} = a^{2}$ otrzymujemy

${|A B|}^{2} = {(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}$

i dalej

$|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

Rvkc74MgyzkvM

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez jednostek. Przedstawiono głównie pierwszą ćwiartkę układu. Na płaszczyźnie zaznaczono trójkąt prostokątny BCA. Wierzchołki tego trójkąta mają współrzędne odpowiednio: B=xB,yB, wierzchołek C=xA,yB, czyli te dwa wierzchołki leżą na poziomej podstawie, gdyż ich druga współrzędna jest taka sama, oraz wierzchołek A=xA,yA, czyli wierzchołki C oraz A leżą na odcinku pionowym, gdyż mają identyczną pierwszą współrzędną. Boki trójkąta są podpisane odpowiednio: bok BC podpisano następująco: xA-xB. Bok CA podpisano następująco: yA-yB. Bok BA podpisano następująco: AB.

Przykład 1

Obliczymy długość odcinka $A B$ o końcach w podanych punktach.

$A = (2, 3)$ , $B = (- 4, 3)$
Ponieważ rzędne obu punktów są równe, możemy zauważyć, że odcinek $A B$ jest równoległy do osi $X$ . Aby wyznaczyć długość odcinka $A B$ wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy odciętych tych punktów. Zatem
$|A B| = |x_{A} - x_{B}| = |2 - (- 4)| = 6$
$A = (1, 2)$ , $B = (1, - 5)$
Ponieważ odcięte obu punktów są równe, możemy zauważyć, że odcinek $A B$ jest równoległy do osi $Y$ . Aby wyznaczyć długość odcinka $A B$ wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy rzędnych tych punktów. Zatem
$|A B| = |y_{A} - y_{B}| = |2 - (- 5)| = 7$
$A = (2, - 3)$ , $B = (- 1, 5)$
Ponieważ ani odcięte, ani rzędne punktów $A$ , $B$ nie są równe, więc odcinek $A B$ nie jest równoległy do żadnej z osi układu współrzędnych. Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka o końcach, których współrzędne są dane.
$|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 - 2)}^{2} + {(5 - (- 3))}^{2}} = \sqrt{73}$

Przykład 2

Obliczymy pole trapezu o wierzchołkach $A (0, 2)$ , $B (2, 6)$ , $C (8, 8)$ , $D (4, 0)$ .

Na podstawie rysunku możemy podejrzewać, że odcinki $A B$ i $C D$ są równoległe. Zweryfikujmy to przypuszczenie wyznaczając równania prostych zawierających te odcinki.

RM5eAwoI3UMyk

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do ośmiu. Na płaszczyźnie zaznaczono trapez ABCD. Wierzchołki trapezu mają współrzędne odpowiednio: A=0,2, wierzchołek B=2,6, wierzchołek C=8,8, wierzchołek D=4,0.

Ponieważ prosta $A B$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ , więc jej równanie ma postać
$y = a x + 2$ .
Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy, podstawimy do równania $y = a x + 2$ współrzędne punktu $B (2, 6)$ , otrzymując równanie
$6 = 2 a + 2$ .
Zatem $a = 2$ , czyli prosta $A B$ ma równanie
$y = 2 x + 2$ .
Aby wyznaczyć równanie prostej $C D$ , podstawimy współrzędne punktów $C (8, 8)$ i $D (4, 0)$ do równania $y = c x + d$ , otrzymując układ równań

$\{\begin{cases} 8 = 8 c + d \\ 0 = 4 c + d \end{cases}$ .

Odejmując równania stronami, otrzymujemy
$8 = 4 c$ ,
$c = 2$ .

Mamy więc
$\{\begin{cases} c = 2 \\ d = - 8 \end{cases}$ .

Zatem prosta $C D$ ma równanie
$y = 2 x - 8$ .
Ponieważ równania prostych $A B$ i $C D$ mają równe współczynniki kierunkowe, więc odcinki $A B$ i $C D$ są równoległe.

W celu wyznaczenia pola trapezu obliczymy długości jego podstaw.
$|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(6 - 2)}^{2}} =$
$= \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$
$|C D| = \sqrt{{(x_{C} - x_{D})}^{2} + {(y_{C} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(8 - 4)}^{2} + {(8 - 0)}^{2}} =$
$= \sqrt{{(8 - 4)}^{2} + {(8 - 0)}^{2}} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$

Obliczymy teraz wysokość trapezu. Wyznaczymy równanie prostej $A D$ , podstawiając do równania
$y = k x + m$
współrzędne punktów $A (0, 2)$ i $D (4, 0)$ . Ponieważ $A$ leży na osi $Y$ , więc $m = 2$ . Po podstawieniu współrzędnych punktu $D$ , otrzymujemy
$0 = 4 k + 2$ ,
czyli $k = - \frac{1}{2}$ . Stąd równanie prostej $A D$ to
$y = - \frac{1}{2} x + 2$ .
Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych prostej $A D$ i prostej $A B$ jest równy $- 1$ , więc proste te są prostopadłe. Oznacza to, że odcinek $A D$ jest wysokością trapezu.
$|A D| = \sqrt{{(x_{A} - x_{D})}^{2} + {(y_{A} - y_{D})}^{2}} = \sqrt{{(0 - 4)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} =$
$= \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

Zatem pole trapezu jest równe $P = (2 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}) \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{2} = 30$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru $m$ , dla których długość odcinka o końcach $A = (2 m, m)$ i $B = (- 3 m, - 11 m)$ jest równa $13$ .

Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zanotować równanie $\sqrt{{(- 3 m - 2 m)}^{2} + {(- 11 m - m)}^{2}} = 13$ .

Ponieważ obie strony równania są nieujemne, możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne ${(- 3 m - 2 m)}^{2} + {(- 11 m - m)}^{2} = 169$ , które przekształca się kolejno:
${(- 5 m)}^{2} + {(- 12 m)}^{2} = 169$ ,
$25 m^{2} + 144 m^{2} = 169$ ,
$169 m^{2} = 169$ ,
$m^{2} = 1$ .

Zatem warunki zadania spełniają dwie liczby: $1$ oraz $- 1$ .

Słownik

oś odciętych

jedna z osi liczbowych tworzących układ współrzędnych, zwykle pozioma, oznaczana przez $X$ ; podając współrzędne punktów jako pierwszą podajemy współrzędną odczytaną z osi odciętych

oś rzędnych

jedna z osi liczbowych tworzących układ współrzędnych, zwykle pionowa, oznaczana przez $Y$ ; podając współrzędne punktów jako drugą podajemy współrzędną odczytaną z osi rzędnych

Wprowadzenie

Animacja

Słownik