Przeczytaj
Dane są punkty . Obliczymy długość odcinka rozważając jego różne położenie w układzie współrzędnych. Przypomnijmy - długość odcinka oznaczamy . Dwie pionowe kreski po obu stronach nazwy to ten sam symbol, który oznacza również wartość bezwzględną liczby, liczbę elementów zbioru i miarę kąta. Można powiedzieć, że symbol oznacza szeroko pojętą miarę. Tym razem to miara długości odcinka.
Przypadek
Odcinek jest równoległy do osi osi .
Oznacza to, że rzędne punktów i są równe. Wówczas długość odcinka to wartość bezwzględna różnicy odciętych tych punktów:
.
Przypadek
Odcinek jest równoległy do osi osi . Oznacza to, że odcięte punktów i są równe. Wówczas długość odcinka to wartość bezwzględna różnicy rzędnych tych punktów:
.
Przypadek
Odcinek nie jest równoległy do żadnej z osi układu współrzędnych. Oznacza to, że ani rzędne, ani odcięte punktów i nie są równe. W tym przypadku w celu obliczenia długości odcinka możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Tworzymy zatem trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych. Z rysunku wynika następująca równość
Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy
i dalej
.
Obliczymy długość odcinka o końcach w podanych punktach.
,
Ponieważ rzędne obu punktów są równe, możemy zauważyć, że odcinek jest równoległy do osi . Aby wyznaczyć długość odcinka wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy odciętych tych punktów. Zatem,
Ponieważ odcięte obu punktów są równe, możemy zauważyć, że odcinek jest równoległy do osi . Aby wyznaczyć długość odcinka wystarczy obliczyć wartość bezwzględną różnicy rzędnych tych punktów. Zatem,
Ponieważ ani odcięte, ani rzędne punktów , nie są równe, więc odcinek nie jest równoległy do żadnej z osi układu współrzędnych. Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka o końcach, których współrzędne są dane.
Obliczymy pole trapezu o wierzchołkach , , , .
Na podstawie rysunku możemy podejrzewać, że odcinki i są równoległe. Zweryfikujmy to przypuszczenie wyznaczając równania prostych zawierających te odcinki.
Ponieważ prosta przecina oś w punkcie , więc jej równanie ma postać
.
Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy, podstawimy do równania współrzędne punktu , otrzymując równanie
.
Zatem , czyli prosta ma równanie
.
Aby wyznaczyć równanie prostej , podstawimy współrzędne punktów i do równania , otrzymując układ równań
.
Odejmując równania stronami, otrzymujemy
,
.
Mamy więc
.
Zatem prosta ma równanie
.
Ponieważ równania prostych i mają równe współczynniki kierunkowe, więc odcinki i są równoległe.
W celu wyznaczenia pola trapezu obliczymy długości jego podstaw.
Obliczymy teraz wysokość trapezu. Wyznaczymy równanie prostej , podstawiając do równania
współrzędne punktów i . Ponieważ leży na osi , więc . Po podstawieniu współrzędnych punktu , otrzymujemy
,
czyli . Stąd równanie prostej to
.
Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych prostej i prostej jest równy , więc proste te są prostopadłe. Oznacza to, że odcinek jest wysokością trapezu.
Zatem pole trapezu jest równe .
Wyznaczymy wszystkie wartości parametru , dla których długość odcinka o końcach i jest równa .
Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zanotować równanie .
Ponieważ obie strony równania są nieujemne, możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne , które przekształca się kolejno:
,
,
,
.
Zatem warunki zadania spełniają dwie liczby: oraz .
Słownik
jedna z osi liczbowych tworzących układ współrzędnych, zwykle pozioma, oznaczana przez ; podając współrzędne punktów jako pierwszą podajemy współrzędną odczytaną z osi odciętych
jedna z osi liczbowych tworzących układ współrzędnych, zwykle pionowa, oznaczana przez ; podając współrzędne punktów jako drugą podajemy współrzędną odczytaną z osi rzędnych