Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
wektor
Definicja: wektor

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów. Innymi słowy każde dwa punkty, o ile wiadomo, który jest pierwszy (początek wektora), a który drugi (koniec wektora), nazywać będziemy wektorem. Początek wektora nazywamy punktem zaczepienia wektora.

R12qdEXOutAfc

Graficznie wektorwektorwektor przedstawiany jest jako “strzałka” - odcinek zakończony grotem. Dzięki grotowi wiemy, który punkt jest początkiem, a który końcem wektora.

R1bfs8Lkywzcw

Wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy AB, ale będziemy też używać jednej małej litery ze strzałką, np.: u,v,a,b, ...

długość wektora
Definicja: długość wektora

Odległość między początkiem a końcem wektora nazywamy długością (modułem lub wartością) wektora. Długość wektoradługość wektoraDługość wektora o początku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy AB.

kierunek wektora
Definicja: kierunek wektora

Gdy początek i koniec wektora AB nie pokrywają się, punkty A i B wyznaczają dokładnie jedną prostą l. Mówimy wtedy, że wektor AB jest równoległy do prostej l. Wektor AB jest także równoległy do każdej prostej równoległej do prostej l.

RwaT2rqhYkrLZ

Dwa niezerowe wektory nazywamy równoległymi, gdy proste wyznaczone przez te wektory są równoległe. O takich wektorach mówimy, że mają ten sam kierunek.

R1bsPkHXgOqv9
wektor zerowy
Definicja: wektor zerowy

Wektor, którego początek i koniec pokrywają się, nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy symbolem 0. Długość wektora zerowego jest równa 0. Wektor zerowywektor zerowyWektor zerowy nie ma kierunku.

R1YDy0kQ5bt67

Zwrot wektorazwrot wektoraZwrot wektora

bg‑azure

Dwa równoległe wektory mogą być skierowane zgodnie albo przeciwnie.

Rozważmy dwa niezerowe równoległe wektory ABCD takie, że proste ABCD są rozłączne. Łącząc początki tych dwóch wektorów, czyli punkt A z punktem C, otrzymamy odcinek AC. Dalej, gdy połączymy końce wektorów, czyli punkt B z punktem D, otrzymamy odcinek BD. Powiemy, że wektory ABCD mają zgodne zwroty (są zgodnie skierowane), gdy naniesione przez nas odcinki ACBD się nie przecinają. Jeśli natomiast się przecinają, oznacza to, że wektory ABCD mają przeciwne zwroty (są przeciwnie skierowane).

R1HRIKotyLbiD

Rozważmy dwa niezerowe równoległe wektory ABCD takie, że wektor AB leży na prostej k, a wektor CD leży na prostej l. Teraz, jeśli proste te pokrywają się, to możemy napisać, że są one sobie równe: k=l (rysunek poniżej). Jeżeli wektory leżą na dwóch prostych, które są rownoległe (lub w szczególności się pokrywają), to wiemy od razu, że wektory te mają ten sam kierunek, ponieważ kierunek określa prosta, na której się znajdują. Chcąc porównywać te wektory, musimy ustalić jeszcze ich zwroty, czyli ustalić ich początki i końce. Jeśli obierzemy punkt A na prostej i punkt B wyznaczymy po jego prawej stronie, to widzimy, że zwrot wektora AB jest od lewej do prawej. Jeśli analogicznie oznaczymy punkty C i po jego prawej stronie punkt D, to wektory bedą mieć ten sam zwrot. Jeśli natomiast drugi wektor oznaczymy odwrotnie, tzn. punkt D ustalimy po lewej stronie od punktu C, to wektor będzie miał zwrot z prawej do lewej strony, czyli będziemy mieć do czynienia z wektorami o przeciwnym zwrocie (drugi wariant na rysunku).

R1RCiBNbKP6Dw

Zwróćmy jeszcze uwagę, że niezerowe wektory ABBA mają przeciwne zwroty (są przeciwnie skierowane).

Zwróćmy jeszcze uwagę, że niezerowe wektory ABDC mają przeciwne zwroty (są przeciwnie skierowane).

bg‑azure

Cechy wektorów

Podsumujmy, każdy wektor ma następujące cechy:

  • długość,

  • kierunek,

  • zwrot,

Zastosowanie wektorów

Wektory stosuje się między innymi w geometrii elementarnej, geometrii analitycznej, fizyce i inżynierii. Przy pomocy wektorów można opisać niektóre przekształcenia płaszczyzny. Poza tym można je wykorzystać jako pomoc przy szkicowaniu wykresów funkcji oraz innych krzywych. Niektóre wielkości fizyczne (zwane wektorowymi), takie jak prędkość, siła, przemieszczenie, przyspieszenie i pęd, można reprezentować wektorem. Do ich opisu potrzebne są wartość, kierunekkierunek wektorakierunekzwrotzwrot wektorazwrot, w odróżnieniu od wielkości skalarnych, do scharakteryzowania których wystarczy liczba (skalar). Przykładami wielkości skalarnych są: pole powierzchni, objętość, gęstość, temperatura i wiele innych.

Słownik

wektor
wektor

uporządkowana para punktów

długość wektora
długość wektora

odległość między początkiem a końcem wektora

kierunek wektora
kierunek wektora

prosta poprowadzona przez początek i koniec wektora

wektor zerowy
wektor zerowy

wektor, którego początek i koniec pokrywają się

zwrot wektora
zwrot wektora

określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego wektor jest jego początkiem, a które końcem