Przeczytaj
Warto przeczytać
Modele matematyczne mają zastosowanie w wielu dziedzinach nauki. W fizyce matematyczny model zjawiska powstaje na podstawie jego modelu fizycznego – wszak całą fizykę staramy się wyrażać za pomocą matematyki. Warto więc sięgnąć do e‑materiału „Jak modelować wybrane zjawiska za pomocą modeli fizycznych?”. Uzupełni niniejszy tekst i pozwoli Ci szerzej spojrzeć na problematykę modelowania w fizyce.
Zjawiska zachodzące w przyrodzie, w tym także wywoływane działalnością człowieka, stanowią splot procesów wzajemnie się przenikających i współzależnych. Nawet najprostsze czynności, na przykład czytanie tego tekstu, to działanie zarówno skomplikowanych urządzeń technicznych: komputer, monitor, nie wspominając już o wszystkim, co wiąże się z Internetem, jak i skomplikowanych procesów zachodzących w nas samych, bo przecież nie tylko zmysł wzroku bierze udział w czytaniu tego tekstu.
Pomimo wspaniałego rozwoju nauki i techniki, wciąż nie potrafimy opisać przyrody ze wszystkimi szczegółami. Nawet kiedy wydzielamy tylko wybrane zjawiska, to i tak musimy zadowolić się opisem przybliżonym. Konieczne staje się wyróżnienie tych czynników, które mają istotny wpływ na przebieg procesu, przy potraktowaniu innych jako poprawki, która w wielu przypadkach może być zaniedbana.
Właśnie taki uproszczony opis, w postaci innej niż zjawisko rzeczywiste, ale ujmujący wyraziście i jednoznacznie istotne jego cechy – nazywamy modelemmodelem, a czynności prowadzące do uzyskania modelu – modelowaniem. Dla przykładu: parabola jest modelem kształtu toru ciała w rzucie ukośnym.
Model to przedstawienie badanego zjawiska, procesu, obiektu itd. w postaci innej niż występuje on w rzeczywistości, zwykle uproszczonej, ale odzwierciedlającej najistotniejsze jego cechy, a niezawierającej elementów nieistotnych dla realizacji celu modelownia.
Dobry model pokazuje to, co jest istotne dla danej klasy zjawisk. Nie bez powodu mówi się o modelu zachowania się, myślenia, wyrażania się, pisania itp. Zasady gramatyki są modelem języka, a schematy i mapy są modelami obiektów rzeczywistych, np. budowli czy terenu.
Model matematyczny to przedstawienie istotnych cech zjawiska, procesu, obiektu itd. w języku matematyki. Przedstawienie takie ma wiele zalet. Posługiwanie się językiem ścisłych zależności funkcyjnych, związkami ilościowymi, umożliwiającymi ich precyzyjną weryfikację, korzystanie z pojęć, twierdzeń i całego arsenału metod matematyki sprawia, że modele matematyczne stanowią niezwykle wartościowy sposób opisu zjawisk w przyrodzie i aktywności człowieka.
Wyróżnienie istotnych cech badanego zjawiska pozwala na lepsze zrozumienie jego przebiegu, ale także na dokonanie uogólnień - wskazujących na związki z innymi procesami, niekiedy bardzo odległymi tematycznie. Ujawniają się wtedy wspólne własności zjawisk zachodzących w przyrodzie, przybliżając nas do spełnienia marzeń filozofów o znalezieniu jednolitego opisu całej przyrody. Jest to także dążenie fizyków. Przejawem tego jest opis zjawisk mechaniki w postaci równań Newtona, czy elektromagnetyzmu w postaci równań Maxwella, a obecnie zjawisk mikroświata w postaci „Modelu Standardowego”. Celem dalekosiężnym jest „Teoria Wszystkiego” (Theory of Everything), która przy pomocy jednolitego formalizmu matematycznego byłaby w stanie opisać wszystkie zjawiska w przyrodzie.
Czy cel ten będzie kiedykolwiek osiągnięty – nie wiemy. Na razie musimy zadowolić się opisem interesujących nas zjawisk za pomocą modeli. Napiszmy więc, na czym polega proces modelowania matematycznego. Przedstawimy podstawowe elementy i etapy procedury modelowania.
Elementy składowe procedury modelowania matematycznego
Sformułowanie problemu w języku danej dziedziny wiedzy.
Wyrażenie problemu w języku matematyki – zdefiniowanie symboli, zmiennych i zależności matematycznych, reprezentujących obiekty i zależności rzeczywiste.
Sformułowanie algorytmu obliczeń z użyciem zdefiniowanych wielkości.
Opracowanie kodu komputerowego zgodnie z przyjętym algorytmem obliczeń.
Wykonanie obliczeń w określonym języku programowania z wykorzystaniem adekwatnych aplikacji.
Uzyskanie rozwiązania.
Przedstawienie rozwiązania w języku tej dziedziny, w której sformułowany został problem.
Weryfikacja poprawności rozwiązania przez porównanie z rzeczywistym zjawiskiem, które było przedmiotem modelowania.
Analiza przyczyn ewentualnych niezgodności; modyfikacja tych elementów, które są za nie odpowiedzialne.
Powtórne modelowanie z uwzględnieniem wprowadzonych modyfikacji.
Oznacza to, że wracamy do początku i wyrażamy problem w języku matematyki z uwzględnieniem zauważonych niezgodności i wprowadzając odpowiednie modyfikacje. Następnie formułujemy nowy algorytm…
Zdarza się, szczególnie gdy modelujemy zjawiska proste, że równania modelu dadzą się rozwiązać ściśle (używa się też różnych bliskoznacznych wyrażeń, np. rozwiązania analityczne, jawne, zamknięte). Nie jest to pojęcie ostro definiowalne, ale chodzi o rozwiązania zapisywalne jednym wzorem, z pomocą funkcji o znanych z góry własnościach. Wtedy w powyższym schemacie postępowania punkty 3, 4 i 5 - charakterystyczne dla rozwiązań numerycznych - zastępujemy postępowaniem bardziej rygorystycznym, w którym komputery używane są do pisania tekstów naukowych, ewentualnie do obliczeń symbolicznych.
Oczywiście - marzenie o ścisłym rozwiązaniu np. zagadnienia przewidywania pogody czy ewolucji skomplikowanego układu przyciągających się grawitacyjnie mas raczej nie ma perspektyw realizacji. Są to zbyt złożone układy fizyczne, zależne od zbyt wielu zmiennych, ich równania są silnie nieliniowe.
Mówi się, że ściśle rozwiązywalne zjawiska są „akademickie”, a przez to niepraktyczne. Nic bardziej mylnego: wiele takich rozwiązań dało impuls dla rozwoju ciekawych zagadnień w matematyce, w tym do jakościowej analizy ważnych równań fizyki.
Często badane zjawisko daje się – w ramach modelu i w „naturalny” dla fizyka teoretyka sposób - rozdzielić na „część znaną” (dla której często dysponujemy rozwiązaniem jawnym!) oraz „małą poprawkę”. Owa „małość” pozwala - niekiedy z luźnym podejściem do rygoru matematyki - oszacować wkład poprawki do rozwiązania ostatecznego - siłą rzeczy przybliżonego - uzyskiwanego niekiedy metodami numerycznymi. Takie podejście nazywamy rachunkiem zaburzeń.
Słowniczek
(ang.: mathematical model) - zestaw obiektów i wiążących je równań i/albo nierówności pozwalających opisać model fizyczny badanego zjawiska oraz - najchętniej - przewidzieć jego przebieg w innych warunkach niż dostępne w doświadczeniu.
(ang.: algorithm) - uszeregowany spis czynności prowadzących do wykonania określonych zadań i rozwiązania problemu.
(ang.: prediction) - naukowa metoda przewidywania rozwoju zjawiska lub przebiegu danego procesu w przyszłości. Prognozowanie jest naturalną konsekwencją modelowania, którego rezultaty nie ograniczają się zwykle ramami czasowymi badanego zjawiska, ale mogą być ekstrapolowane w stronę szerszych przedziałów czasowych.