Rozwiązać równanie, to znaczy znaleźć wszystkie jego rozwiązania lub wykazać, że takich rozwiązań nie ma.

RwqHtycVgiqfX

Zdjęcie prezentuje rzeźbę przedstawiającą dwóch mężczyzn, jeden jest w pozycji siedzącej, drugi stoi, wskazuję coś w oddali, a drugą ręką obejmuje swojego towarzysza.

Libusza to legendarna władczyni Czech, założycielka Pragi. Podobno posiadała dar wieszczy, była dobra dla poddanych, przezorna i prawa. Stała się dla Czechów symbolem świadomości narodowej.

O rękę Libuszy ubiegało się trzech rycerzy. Libusza obiecała, że wyjdzie za mąż za tego, który jako pierwszy rozwiąże podaną przez nią zagadkę.

Jednak żaden z rycerzy zagadki nie rozwiązał i Libusza wybrała na męża Przemysława Oracza.

Zagadka Libuszy:

Kto zgadnie – ile śliwek mieści się w moim koszyku, jeśli koszyk pozostanie pusty, gdy pierwszemu z was oddam połowę śliwek i jeszcze jedną śliwkę, drugiemu z was oddam połowę śliwek, które pozostały i jeszcze jedną śliwkę, a trzeci z was dostanie połowę pozostałych śliwek i jeszcze trzy śliwki?

Rozwiązanie:

W szkole podstawowej tego typu zadania rozwiązują uczniowie za pomocą grafów – wykorzystując metodę „działania odwrotne”. I dość szybko uzyskując wynik.

My jednak utrudnimy nieco pracę – ułożymy i rozwiążemy odpowiednie równanie.

Analiza zadania

$x$ – liczba śliwek znajdujących się w koszyku

$\frac{1}{2}x+1$ – tyle śliwek otrzyma pierwszy zalotnik

$x-\frac{1}{2}x-1=\frac{1}{2}x-1$ – tyle śliwek zostanie w koszyku

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x-1\right)+1=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$ – tyle śliwek otrzyma drugi zalotnik

$\frac{1}{2}x-1-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}$ – tyle śliwek pozostanie w koszyku

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}\right)+3=\frac{1}{8}x+\frac{9}{4}$ – tyle śliwek otrzyma trzeci zalotnik

Zapisujemy uzyskane równanie.

$\frac{1}{2}x+1+\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}x+\frac{9}{4}=x$

$\frac{4}{8}x+1+\frac{2}{8}x+\frac{4}{8}+\frac{1}{8}x+\frac{18}{8}=x$

$\frac{7}{8}x+\frac{30}{8}=x$

$7x+30=8x$

$x=30$

Odpowiedź:

W koszyku jest $30$ śliwek.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x$, $y$ nazywamy każdą parę liczb $\left(x, y\right)$, która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.

Zagadka Isaaca Newtona:

Na łące rośnie trawa. Aż sześćdziesiąt krów mogłoby paść się na tej łące przez czternaście dni. A pięćdziesiąt krów mogłoby paść się przez dwadzieścia osiem dni. Ile krów mogłoby paść się stale na tej łące dzięki stale, równomiernie odrastającej trawie?

Rozwiązanie:

Opisana w zadaniu sytuacja wydaje się trochę dziwna, ale teoretycznie możliwa, z uwzględnieniem założenia, że trawa rośnie równomiernie.

Poniżej wersja rozwiązaniarozwiązanie równaniarozwiązania podawana podobno przez Newtona.

Oznaczmy:

$t$ – początkowa ilość trawy rosnącej na łące,

$x$ – ilość trawy, która odrasta w ciągu jednego dnia,

$y$ – ilość trawy, którą zjada krowa w ciągu jednego dnia.

Na podstawie treści zadania zapisujemy układ równań.

$\left\{\begin{array}{l}t+14x=60·14y\\ t+28x=50·28y\end{array}\right.$

Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego.

$14x=1400y-840y$

$14x=560y$

$x=40y$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania układu.

$t+14·40y=60·14y$

$t+560y=840y$

$t=280y$

$t=7·40y=7x$

$x=40y$

Odpowiedź:

Na łące mogłoby paść się na stałe czterdzieści krów.

Zadanie Lwa Tołstoja:

Zespół kosiarzy miał skosić dwie łąki, przy czym pole powierzchni pierwszej łąki było dwa razy większe od pola powierzchni drugiej łąki.
Cały zespół kosił pół dnia pierwszą łąkę. W drugiej połowie dnia zespół podzielił się na dwie równe grupy. Pierwsza grupa w dalszym ciągu kosiła pierwszą łąkę i do końca dnia skosiła ją całkowicie. Druga grupa kosiła mniejszą łąkę, ale do końca dnia nie skosiła jej całkowicie. Reszta drugiej łąki została skoszona dopiero na drugi dzień – skosił ją jeden kosiarz w ciągu całego dnia pracy. Z ilu osób składał się zespół kosiarzy?

Rozwiązanie:

Znajdziemy odpowiedź na pytanie postawione przez Tołstoja, układając i rozwiązując odpowiedni układ równań.

Spróbuj samodzielnie znaleźć inny sposób rozwiązania zadania o kosiarzach pamiętając, że było ono przeznaczone dla dzieci chłopskich, które zapewne nie potrafiły jeszcze rozwiązywać układów równań!

Oznaczmy:

$x$ – liczba kosiarzy,

$y$ – wydajność jednego kosiarza, czyli pole powierzchni części łąki, którą skosi w ciągu jednego dnia,

$P$ – pole powierzchni mniejszej łąki (czyli drugiej łąki),

$2P$ – pole powierzchni większej łąki (czyli pierwszej łąki).

Pierwszą łąkę $\frac{1}{2}$ dnia kosił cały zespół i $\frac{1}{2}$ dnia połowa zespołu. Łąka została skoszona w całości:

$\frac{1}{2}·x·y+\frac{1}{2}·\frac{1}{2}x·y=2P$

Drugą łąkę $\frac{1}{2}$ dnia kosiła połowa zespołu i cały dzień kosił ją jeden kosiarz. Łąka została skoszona w całości:

$\frac{1}{2}·\frac{1}{2}x·y+1·y=P$

W ten sposób otrzymaliśmy układ równań z dwiema niewiadomymi, który rozwiązujemy, pamiętając, że $x$ musi być liczbą naturalną.

Zapisujemy otrzymany układ równań.

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4}xy=2P\\ \frac{1}{4}xy+y=P\end{array}\right.$

Pierwsze równanie układu mnożymy przez $4$, a drugie przez $\left(-12\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}3xy=8P\\ -3xy-12y=-12P\end{array}\right.$

Dodajemy równania układu stronami.

$12y=4P$

$y=\frac{P}{3}$

Podstawiamy otrzymane wyrażenie do równania pierwszego.

$3·\frac{P}{3}·x=8P$

$x=8$

Odpowiedź:

Zespół kosiarzy składał się z $8$ osób.

Zadanie Leonarda Fibonacciego:

R134EvEVDPvoY

Ilustracja przedstawia ruiny dwóch wież na skalnych wzniesieniach.

Dwie wieże, jedna o wysokości $\mathit{40}$ stóp, a druga o wysokości $\mathit{30}$ stóp, oddalone są od siebie o $\mathit{50}$ stóp. Pomiędzy nimi znajduje się wodotrysk. Na szczycie każdej z wież siedzi ptak. Ptaki jednocześnie sfrunęły z jednakową prędkością do wodotrysku i dotarły do niego jednocześnie. Oblicz odległość każdej z wież od wodotrysku.

Rozwiązanie:

Treść zadania zobrazujemy za pomocą dwóch trójkątów prostokątnych o równych przeciwprostokątnych.

R11wPdsD9OGrm

Na rysunku zaznaczono dwie wieże, lewa ma wysokość 40, a prawa trzydzieści. Dystans pomiędzy nimi wynosi pięćdziesiąt. Z wierzchołka prawej wieży poprowadzono ukośny odcinek do poziomej drogi między wieżami i stąd poprowadzono kolejny odcinek do wierzchołka niższej wieży. Punkt wspólny odcinków podzielił dystans pięćdziesięciu metrów na dwa odcinki: z lewej x i z prawej y.

Oznaczmy:

$x$ – odległość wyższej wieży od wodotrysku (w stopach),

$y$ – odległość niższej wieży od wodotrysku (w stopach).

Na podstawie treści zadania (korzystając z twierdzenia Pitagorasa) zapisujemy i rozwiązujemy układ równań.

$\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\ x^2+{40}^2=y^2+{30}^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\ x^2-y^2=-1600+900\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\ y^2-x^2=700\end{array}\right.$

Rozkładamy na czynniki lewą stronę drugiego równania, przekształcamy otrzymane wyrażenie.

$\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\ \left(y+x\right)\left(y-x\right)=700\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\ 50\left(y-x\right)=700\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\ y-x=14\end{array}\right.$

Dodajemy równania stronami.

$2y=64$

$y=32$

$x=50-32=18$

Odpowiedź:

Wyższa fontanna znajduje się w odległości $18$ stóp od wodotrysku, a niższa w odległości $32$ stóp.

Zadanie Eulera:

RMbseWJutvBn7

Ilustracja przedstawia bazar, gdzie kobiety mają w koszach i skrzynkach owoce.

Dwie gospodynie sprzedały łącznie sto jajek na targu, przy czym każda z nich sprzedała inną liczbę jajek. Jednak każda z nich otrzymała za sprzedane jajka taką samą kwotę.

- Gdybym ja sprzedała twoje jajka, utargowałabym $\mathit{15}$ grajcarów – powiedziała pierwsza gospodyni do drugiej.

- Gdybym ja sprzedawała twoje jajka, to otrzymałabym za nie $\mathit{6}\frac{\mathit{2}}{\mathit{3}}$ grajcara – odpowiedziała druga gospodyni.

Ile jajek sprzedała każda gospodyni?

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać zadanie, ułożymy układ równań z trzema niewiadomymi, co w konsekwencji doprowadzi nas do równania kwadratowego.

Oznaczmy:

$x$ – cena (w grajcarach) jajka, które sprzedawała pierwsza gospodyni,

$y$ – cena (w grajcarach) jajka, które sprzedawała druga gospodyni,

$w$ – liczba jajek, które sprzedała pierwsza gospodyni,

$100-w$ – liczba jajek, które sprzedała druga gospodyni.

$\left\{\begin{array}{l}wx=\left(100-w\right)·y\\ \left(100-w\right)·x=15\\ wy=6\frac{2}{3}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}wx=100y-wy\\ 100x-wx=15\\ wy=6\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Z trzeciego równania wyznaczamy $y$ i podstawiamy do pierwszego równania układu.

$\left\{\begin{array}{l}wx=100·\frac{20}{3w}-w·\frac{20}{3w}\\ 100x-wx=15\\ y=\frac{20}{3w}\end{array}\right.$

Przekształcamy drugie równanie układu.

$\left\{\begin{array}{l}wx=100·\frac{20}{3w}-\frac{20}{3}\\ x=\frac{15}{100-w}\\ y=\frac{20}{3w}\end{array}\right.$

Wyznaczone $x$ podstawiamy do równania pierwszego.

$\left\{\begin{array}{l}w·\frac{15}{100-w}=100·\frac{20}{3w}-\frac{20}{3}\\ x=\frac{15}{100-w}\\ y=\frac{20}{3w}\end{array}\right.$

Pierwsze równanie jest równaniem z jedną niewiadomą. Rozwiążemy je oddzielnie, aby nie komplikować zapisów.

$w·\frac{15}{100-w}=100·\frac{20}{3w}-\frac{20}{3}$

$\frac{15w}{100-w}=\frac{2000}{3w}-\frac{20}{3}$

$\frac{15w}{100-w}=\frac{2000}{3w}-\frac{20w}{3w} |:5$

$\frac{3w}{100-w}=\frac{400-4w}{3w}$

Mnożymy równanie „na krzyż”.

$\left(100-w\right)\left(400-4w\right)=9w^2$

$40000-400w-400w+4w^2=9w^2 |:\left(-5\right)$

$w^2+160w-8000=0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

$∆={160}^2+32000=57600$

$\sqrt{∆}=240$

$w_1=\frac{-160-240}{2}<0$ – nie spełnia warunków zadania

$w_2=\frac{-160+240}{2}=40$

Obliczamy, ile jajek sprzedała druga gospodyni.

$100-40=60$

Odpowiedź:

Pierwsza gospodyni sprzedała $40$ jajek, a druga $60$.

rozwiązać równanie, to znaczy znaleźć wszystkie jego rozwiązania lub wykazać, że takich rozwiązań nie ma

rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x$, $y$ nazywamy każdą parę liczb $\left(x, y\right)$, która spełnia jednocześnie oba równania układu; liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu