Rozwiąż nierówność $\left|x-5\right|>3$.

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $5$ na osi liczbowej wynosi więcej niż $3$ jednostki.

Zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej $5$ i wyznaczamy liczby, których odległość od niego wynosi $3$.

RsafUDlo6TBUl

Ilustracja przedstawia oś X z opisanymi wartościami od zera do dziesięciu. Na osi za pomocą zamalowanych kropek zaznaczono punkty kolejno: 2, 5 oraz 8, przy czym punkty 2 i 8 są zamalowane na kolor niebieski, a punkt 5 jest zamalowany na kolor pomarańczowy. Od punktu pięć w lewo do punktu dwa narysowano strzałkę z napisem minus trzy a w prawą stronę od punktu pięć do punktu osiem strzałkę opisano jako plus trzy.

Są to punkty o współrzędnych $2$ oraz $8$.

Szukamy liczb, których odległość od liczby $5$ jest większa niż odległość od punktów tak wyznaczonych.

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: lewostronnie otwarty $\left(-\infty , 2\right)$ oraz prawostronnie otwarty $\left(8, \infty \right)$.

RP47RcyNF0lLY

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od zera do dziesięciu. Na osi pomarańczową kropką zaznaczono punkt pięć, oraz niezamalowanymi kropkami punkty dwa i osiem. Zaznaczono obszar od minus nieskończoności do punktu dwa, oraz od punktu osiem do plus nieskończoności.

Zbiór rozwiązań możemy zapisać za pomocą sumy przedziałówsuma przedziałówsumy przedziałów: $\left(-\infty , 2\right)$ oraz $\left(8, \infty \right)$,

co zapisujemy symbolicznie:

Rozwiąż nierówność $\left|x+6\right|\ge 2$.

Taka nierówność jest równoważna nierówności:

$\left|x-\left(-6\right)\right|\ge 2$

Warunek ten spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, których odległość od liczby $\left(-6\right)$ jest równa $2$ oraz te, których ta odległość wynosi więcej niż $2$.

Zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej $\left(-6\right)$ i wyznaczamy liczby, których odległość od niego wynosi $2$.

RTEh7GmpH0FkY

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od minus dziesięciu do zera Na osi za pomocą zamalowanych kropek zaznaczono punkty kolejno: minus 8, minus 6 oraz minus 4, przy czym punkty minus 8 i minus 4 mają kolor niebieski, a punkt minus 6 jest zamalowany na kolor pomarańczowy. Od punktu minus 6 w lewo do punktu minus 8 narysowano strzałkę z napisem minus dwa a w prawą stronę od punktu minus 6 do punktu minus 4 strzałkę opisano jako plus dwa.

Są to punkty o współrzędnych $\left(-8\right)$ oraz $\left(-4\right)$. Liczby te spełniają powyższą nierówność.

Szukamy jeszcze liczb, których odległość od liczby $\left(-6\right)$ jest większa niż $2$ jednostki.

Zaznaczamy zatem na osi dwa przedziały nieograniczone: lewostronnie domknięty $\left(-\infty , -8\right.⟩$ oraz prawostronnie domknięty $\left.⟨-4, \infty \right)$.

R1ZZOonsxdIZR

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od minus 10 do zera. Na osi pomarańczową kropką zaznaczono punkt minus 6, oraz zamalowanymi na niebiesko kropkami punkty minus 8 i minus 4. Na osi zaznaczono obszary od minus nieskończoności do punktu minus osiem, oraz od punktu minus 4 do plus nieskończoności.

Zbiór ten możemy zapisać za pomocą sumy przedziałówsuma przedziałówsumy przedziałów $\left(-\infty , -8\right.⟩\cup \left.⟨-4, \infty \right)$.

A zatem:

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające warunek $4-\left|x-3\right|\ge 1$.

Przekształcamy nierówność równoważnie:

$4-\left|x-3\right|\ge 1 \left|-4\right.$

$-\left|x-3\right|\ge -3 \left|:\left(-1\right)\right.$

$\left|x-3\right|\le 3$

Otrzymaliśmy nierówność, którą już potrafisz rozwiązać. Spełniają ją liczby, których odległość od liczby $3$ na osi liczbowej jest mniejsza lub równa $3$ jednostkom.

R1BWmUdI34zQE

Ilustracja przedstawia oś liczbową X z opisanymi wartościami od minus dwóch do ośmiu. Na osi pomarańczową kropką zaznaczono punkt trzy, oraz zamalowanymi na niebiesko kropkami punkty 0 i sześć. Na osi zaznaczono obszar od zera do sześciu. Od punktu trzy, znajdującego się wewnątrz przedziału w lewą stronę do punktu 0 narysowano strzałkę z napisem minus trzy a w prawą stronę od punktu 3 do punktu 6 strzałkę opisano jako plus trzy.

Zapisujemy zbiór rozwiązań:

Rozwiąż nierówność: $-2·\left|x-8\right|\ge 5$.

Ponownie przekształcamy nierówność równoważnie:

$-2·\left|x-8\right|\ge 5 \left|:\left(-2\right)\right.$

$\left|x-8\right|\le -\frac{5}{2}$

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną.

A zatem:

suma przedziałów $A$ oraz $B$, symbolicznie: $A\cup B$ to liczby należące do przedziału $A$ lub do przedziału $B$: $x\in A\cup B\iff x\in A\vee x\in B$